SÂ’ = SE.SD

SA = 2 R (R-t-x),

y*=27rR . (R -+- x)’ (R — x).

La quantité qu’il faut rendre maximum est donc (R 4- x)’ (R — x),

et la condition sera

d’où l’on tire et

Comme la nature de la question indique presque toujours" s’il faut trouver un maximum ou un minimum , il est généralement inutile de chercher la seconde dérivée de la fonction ; on devrait cependant le faire si l’on soupçonnait que la même valeur qui a donné f (x) == o donne aussi f" (x) = o. Nous avons vu ce qu’il y avait alors à faire, mais quand la méthode est en défaut, c’est d’ordinaire parce que f (x) se présente sous la forme — ou — •

11 faut alors chercher à lever l’indétermination; nous en verrons des exemples dans la théorie des courbes.

59. Lorsque la fonction dont oiv cherche le maximum ou le minimum se trouve. engagée sons un radical du second degré,

FORMULES APPROXIMATIVES

quand on résout l’cquation par rapport à la variable, on peut employer une autre méthode souvent plus expéditive.

Cherchons la plus grande et la plus petite valeur de l’ordonnée dans l’hyperbole dont l’équation est

-4- xy — 2 y* — o. y — 2 x 3 = o.

En résolvant par rapport à x, on trouve

et si l’on résout l’équation

cette expression prend la forme

La méthode est fondée sur ce que x doit toujours être réel, et, par conséquent, la quantité soumise au radical toujours positive; il faut donc que les deux facteurs dont ce radical se compose soient de même signe : c’est ce qui aura lieu si l’on donne à y des

valeurs positives plus grandes que — a), mais, pour des

valeurs positives plus petites, le premier facteur sera négatif et le

second positif. Ainsi y =^ (^6 — 2) est le minimum tics valeurs

positives de y.

Si l’on donne à y des valeurs négatives numériquement plus petites que ^ + 2) , le premier lacteur sera négatif, et le se-

cond sera encore positif, donc x sera imaginaire. Mais x redeviendra réel pour des valeur de y négatives et numériquement

plus grandes que - (^76 -+- 2), puisque les deux facteurs seront

J-j i TT" •

alors négatifs. Ainsi y — (1/76 -4- 2) sera un minimum nu~

mériqUe des valeurs négatives de y, ou, si l’on veut, un maximum de ces valeurs.

On voit donc que l’hyperbole n’atira aucun point compris entre les deux parallèles menées à l’axe des x aux distances

y — 2 ) el — ^(V7§ -+-.*)•

On voit que celte méthode a l’avantage de déterminer s’il s’agit d un maximum ou d un minimum. Ainsi, quand la variable se présente sous la forme x == \jy ‘ — a}, il est clair que y* — a* sera un minimum ; si, au contraire, On a

x = \Ja* — y 7 ,

on voit que y 1 — a 7 sera un maximum.

L’exemple précédent aurait pu être considéré comme une application de la recherche des maxima et minima dans les fonctions implicites. Difïérentions l'équation

*’ •+* xy — 2 y 7 — 27 — 2 x -}- 3 — o

par rapport à x et à y ; nous trouverons

dy 2.x -h y — 2

dx fay t- ? — *’

ce qui donne pour condition

d’où

Transportant cette valeur dans l’équation de la courbe, et réduisant, il reste

1 ce qui donne les limites déjà connues.

Il arrive souvent que la fonction n’ait pas de maximum ni de

FORMULES APPR0X1MATIVF.S. 7 5

minimum. On en est averti, quelle que soit la méthode employée, par l'absence de racines réelles; alors l’équation £ (x) = o n’a que des racines imaginaires. C’est ce qui arriverait si l’on cherchait le maximum ou le minimum de x dans l'hyperbole dont nous avons considéré l’équation : il n’y a ni maximum ni minimum de x, parce que toutes les valeurs de x donnent des valeurs reelles pour y.

-40. Dans la recherche des maxima et minime, ainsi que dans beaucoup d’autres circonstances, il est souvent utile, comme nous l’avons vu, de savoir déterminer les valeurs véritables des

expressions qui se présentent sous les formes indéterminées -

ou

Quelquefois, il est vrai, cette indétermination est réelle, mais cela ne se voit guère que dans la discussion des théories générales, et non dans les questions particulières, du moins quand on les traite directement, car l'indétermination , lorsqu’elle existe, se manifeste alors par une identité. C’est ce que l’on remarque dans la discussion des équations du premier degré à deux ou à pin- sieurs inconnues : lorsque deux on. un plus grand nombre d’équations se réduisent à une seule, on reconnaît l'indétermination dans les formules générales parce que les inconnues se présentent

sous la forme mais quand on traite directement un problème

particulier qui est indéterminé, sans que l’on s’en soit aperçu d’abord, on en est averti dans le courant du calcul parce que l’on rencontre une identité.

Nous regarderons donc, en général, ces indéterminations comme

co

apparentes, et nous commencerons par montrer que la forme —

. -n O /7x # ) oc

revient à — En effet, — — -i qui devient — pour f(x,) =. o et

devient alors

Soiom donc maintenant y = et x. „ne valeur qui annule

/(*) et F(x); on demande la valeur y, = ^fA.

Pour I obtenir, remarquons que

, + ... /<*.+ »*> /H+/'MuÆW:.

ce qui se réduit, d’après l’hypothèse, à

/• w *£feî* x+ ... •

F'W + ^lr.

après qu’un a supprimé i.r qui était devenu facteur commun an numérateur et au dénominateur; il reste

puisque ix = o donne évidemment *r. = o.

Comme r est la variable indépendante, son accroissement 4x est constant; c’est pourquoi nous n’avons pas écrit ix„

On voit que cette méthode est encore fondée sur la simplification que subissent les formules quand on y néglige plusieurs termes. Si la même valeur x. qui annule /(x) et F(x), rendait aussi milles les dérivées premières /' (x) et F' (x), il faudrait avoir recours aux dérivées secondes, ce qui donnerait

formules approximatives.

Cependant cette méthode serait en defaut si la valeur x, rendait nullesou infinies à la fois toutes les dérivées de/(x) el toutes celles de'F (x). C’est ce qui peut arriver, même pour des cas trèssimples. Soit , par exemple ,

. yx — 2

el cherchons ce que devient y pour x — a. Toutes les dérivées du numérateur et du dénominateur deviennent infinies à la fois; il faut donc mettre en évidence le facteur commun x — 2 , ce qui se fait en posant x — 2 = z. Il reste alors

ou bien .

y/X + 2 ÿx -+- 2

donc la vraie' valeur de y pour x ~ ?. sera ■ y — o.

On sait, en effet, que l’indétermination apparente lient généralement à l’existence d’un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur de la fraction.

Ai. Quelquefois on rencontre des quantités indéterminées sous d’autres formes que

il laut alors faire usage de considérations toutes particulières.

Cherchons d’abord la valeur de 'y = + -J qmnd j = x

il suffira, pour cela, de supposer démontrée h formol* J* nôme pour le cas de l’exposant entier et postât, tor ®» P*"' admettre qne x so :- i nombre entier et positif tpi t **?**"* 1 dé p '-nent.

78 OHAPITRF. TIIOISIKMK.

Cela posé, nous aurons

x 1 xlx — l) I x(x . — 1) (x — 2) 1

~ 1 "'"T” 1 " TTâ (' 77173 + (* ~îe) i/

et à la limite , pour x = ce , il reste

Ainsi, la limite cherchée est le nombre e que Néper a pris pour base des logarithmes hyperboliques.

Ce calcul a été employé par M. Cauchy, pour démontrer les séries logarithmiques et exponentielles. .

Cherchons encore r = (cosx) r pour x, = o ; nous pouvons regarder - connue un nombre entier et positif qui croîtrait jusqu’à l’infini , ce qui donne

. . . t / 1 \ sm 1 x

r J = (t — sin , x)* = 1 sin’x -I — • [ 1 I

1 / 1 \ / 1 \ sin 6 x

~*.x\I~ l ) \Z '~ , 'J TisTTST*’"’

ou bien encore

sin’x 1 — x. sin'x (i — x)(i — 2x) sin'x

jr'=i- — + -——3 - +

sin x

et enfin , en appelant 2 le rapport • , il reste

:I — ZSin.r -f-

z’sin’x — i ' ■ ., - ■■■ 2 a sin»x+,

Si maintenant on suppose x infiniment petit, on sait que ce rapport 2 devient égal à l’unité ; donc ( enfin x =î= b donne > ! = 1 ,

FORMULES APPROXIMATIVES. ’JÇf

et par suite y = 1 , car pour x très-petit cos x o , et une puissance quelconque de cos x serait toujours positive.

La comparaison de ces deux résultats

lim ^i-tet-

lim (cos x ) 1 = i,‘ pour .r = o,

fait voir qu’il ne faut pas seulement considérer les valeurs extrêmes des variables, mais la nature de la fonction dont il s’agit. En effet, comme ces deux expressions, pour les valeurs limites, prennent la forme 1“, on pourrait croire que leurs valeurs sont les mêmes, mais il faut observer que i°° est indéterminé aussi

bien que - et — ■ o oo

Considérons enfin y = x x quand x = o. Posons

11 reste alors

et comme x — o donne z — 00 ainsi que z il est clair que ^ = o.

42 . Comme application très-importante de la recherche des maxima et minima, nous allons étudier la méthode des moindres carrés qui permet de conclure, de plusieurs observations entachées d’erreurs inévitables, les valeurs les plus exactes possible des inconnues.

Dans les questions de physique ou d’astronomie, comme l’on peut d’ordinaire multiplier suffisamment les observations, on connaît, pour déterminer certaines inconnues, des équations en nombre plus grand que celui de ces inconnues; seulement, les coefficients de ces équations ne sont pas tout à fait exacts, ik cause des erreurs qu’entraînent toujours les expériences, maison ne suppose pas qu’il y ait plus ou moins d’exactitude dans une expérience que dans une antre.

De plus, comme on connaît déjà des valeurs approchées pour toutes les quantités que l’on veut déterminer, nous prendrons pour inconnues les corrections de ces quantités, ce qui nous permettra de n’avoir que des équations du premier degré, puisque les puissances des corrections seront négligeables.

D’après cela, soient x ,y et z ces inconnues que nous supposerons seulement au nombre de trois; nous aurons les équations

ax - 1 - by -+• cz -f- d — o, a' x -y b' y - 4 - c' z ■+■ d' — o, a" x 4- b" y -f- c" z -f- d" = o,

oC) x + b(")y -+- et”) z ■+■ rf(") = o,

le nombre n -4 - 1 de ces équations étant plus grand que 3.

Si toutes ces équations étaient prises à la rigueur, il setait difficile qu’elles ne fussent pas incompatibles; mais, comme les coefficients ne sortt pas exacts, on a seulement en réalité

ax -4- by -+- cz -4- d =z c, a' x - f- b' y c' z - 4 - d' = e',

/?(") M ") y -f- cM z 4- = e'" 1 .

Les quantités c, e', c", . . ., sont des erreurs que nous savons exister, mais que nous ne connaissons pas.

Cela posé , Laplace a démontré par le calcul des probabilités que les inconnues x, y et z sont déterminées avec le moins de chances possible d’erreur, quand on fait en sorte que la somme des carrés de ces quantités e , c', e ", . . . , e(") soit minimum.

Cette somme sera

e’ - 4 - e" 1 -4- . . . -4- cW = [ax -4- by + cz -4- d)’

~h(a'x- 4- b'y + c' z-+- d') 7 - 4 - («W-r - 4 - 4<") j>- - 4 - ct*>z - 4 - rf ("f

Afin d’avoir le minimum de cette somme, il faut, comme on l'a vu à la fin du n° 57, différentier par rapport à x, i\y et à z,

. Bigitized by Googlj

YORUCI.ES APPROXIMATIVES.

vl égaler à zéro les coeflicients différentiels, c’est-à-dire les dérivées du second nombre par rapport à chacune de ces inconnues. On aura donc les trois équations

by- 1- cz 4- d) 4- 2 a' (a x -t- b' y 4- c' z -+- d' ) ■+- . , . =— o, 2. b [ax-yby -I- cz -h fl) -f- 2 b' (a 1 .r 4 - b' y + c' z + d') -y . , . =zo, 2 c ( a x 4- by 4- cz 4- d) -y 2 c' [a' x -f- b' y 4- c'z 4- d') 4- , . . = 0,

qui déterminent les valeurs les plus avantageuses de x, de y et de z. Considérons, pour pins de simplicité , une seule inconnue x et trois équations • - - '

- ax 4 - t> — a, ■

L'équation des moindres carrés sera

a (ax 4 - b) 4 - n' (a' x 4 - b') 4- a" [a" x 4- b" ) =-o, ..

d’où l’on tire ' r

__ ab 4 - «' 6 ' 4 - a b" \ ■ x \

45 . On résout quelquefois le même problème par d'autres méthodes moins exactes , mais souvent plus simples pour le calcul .

Telle est la méthode des équations de condition, qui consiste à ' '

combiner de différentes manières les équations données, de sorte qu’on ait seulement autant d’équations que d’inconnues.

Supposons, par exemple, qu’on ait neuf équations à trois inconnues; eu indiquant ces équations parles n os (i), {2), (3),..t, (9), . , on peut les disposer de la manière suivante : ■ - , • /

ou bien de cette autre façon : ■ '

On peut alors, pour chaque inconnue, prendre la moyenne entre les résultats obtenus de cette manière.

Dans l’exemple d’une seule inconnue et dç trois équations, il n’y a qu'à les ajouter ensemble, ce qui donne

et

On vient de voir que la méthode, des moyennes se rattache à la précédente, puisqu’elle consiste à combiner de diverses manières les équations données, en sorte qu’on ait par chaque arrangement un nombre dequations seulement égal à celui des inconnues. Ensuite on ajoute les diverses valeurs obtenues pour l’une d’elles, x par exemple , et l’on divise celte somme par le nombre de ces arrangements. .

Cependant cette méthode est distincte de la précédente dans • certains cas très-simples, tel que celui d’une seule inconnue et de trois équations

nx -t-i = o, .. , . • ’

qui donnent, en prenant la moyenne entre les trois valeurs de x ,

1 tb ■ b' b"\

Prenons comme application les équations suivantes :

IOX = II, ■ ' ’

20 x — ai,

et comparons les résultats fournis par les trois méthodes. Celle des moindres carrés donnera

ï + i 10 + 480 5 qi