Renversement des séries
Pour achever ce qui a rapport aux développements des fonctions, soit que l’on considère une suite indéfinie de termes, soit que l’on ri’en conserve qu’un certain nombre en négligeant les puissances supérieures de la variable, nous devons etudier encore le renversement des séries, c’est-à-dire la manière de développer inversement la variable indépendante en fonction de la variable dépendante.
Ainsi, soit donné le développement
y = ax 4- bx 1 ex 3 -|- dxé
dans lequt^a, b, c, , sont des coefficients connus, il s’agit de trouver la série réciproque x = K y 4- B/ 3 4- C/ 3 4- Dy 1 -f- . . . , où il faut déterminer les coefficients A, B, C, . . : .
En élevant le premier développement à différentes puissances et les transportant dans le second , nous aurons une égalité qui sera vraie pour toutes les valeurs de x, et par conséquent dans laquelle les coefficients de toutes les puissances de x seront nuis séparément. Nous aurons
y 1 = a 2 x i 4- 2 abx' H- b 2 4- 2 ne
x' -t- abc + 2 ad
y' xx à > x^ -t- 3u’ bx' 4- 3 ab'
■ ■ 4- 3n 3 c y' == «' x' 4 - 4 fl’ bx ' , y s — n*x s 4-. .
Substituant et ordonnant, on trouve
-+- 2 B ’ab
-+■ Co’ w
.r 1 -f- A il
-+- AJ'
-h 2 B ac -+- iCa'b + Do*
ce qui donne les équations
A a — 1 = 0 , AA + B(ï' = o, A c 2 B «// -t- C «’ =r o ,
A d 4- B b 7 -f- 2 B ne 3 C a 2 b D n‘ = o ;
d’où l'on conclut
As=-i B ~-i, C = — ~ a u s o s
5 abc — 5 é’ — a- il
Celte méthode semble en défaut quand le développement donné est de la forme
y = a 4- a.r + bx‘ -+- ex 1 -+• . . . ,
Mais si l’on pose y — u.— z, il est facile de voir que l’on développera X en fonction de s et non <le^". •
Par exemple, soit donnée là série
qui est le développement de c 1 ; posons y — î = z, nous trouverons , par la méthode précédente ,
Jf = î ~^ + l + 4
résultat déjà connu , car cela revient à la formule »
iy= Xr-ri}*
<>n est aidé quelquefois dans cette recherd ’ par cette considéra-
FORMULES APPROXIMATIVES. 85
lion , ijuc si lu série directe ne contient rjue des exposants impairs , il en sera de meme pour lu série inverse.
Ainsi, soit / = sin x, nous savons que
Donc , quand on change le signe de l’une des variables x et /, l’autre change de signe, mais garde la même valeur numérique, ce qui donne
x = A/ 4 - C/ 3 4- E/ 5 4- . • . , et, par la méthode précédente , on obtient
Cependant ce procédé général est d’un usage compliqué, et d’ailleurs il n’est pas facile de reconnaître la loi. des coefficients. Aussi l’on parviendra plus facilement au résultat précédent par la méthode ordinaire des coefficients indéterminés, si l’on observe que
et que d’ailleurs
On a donc
dy
rr-ï (;■*•')*■
ce qui donne très- facilement le résultat précédent en identifiant de part et d’autre les coefficients des diverses puissances de/.
Il en sera de même pour le développement
tangx= A,x4 A 3 x'‘4-A,X‘ 4-A ; x’ H-A,x 5 4- . .,
8(i ' CHAPITRE TROISIÈME.
inverse de la série du n° 31, et qui s’obtient assez facilement par les coefficients indéterminés, tandis que la méthode précédente serait impraticable.
En différentiant de part et d’autre, il vient
cos’x
ou bien
cos x a, -H 3A 3 x’ -+- 5A s x' 4 - 7 A ; x e 4 -. . . ’
et différentiant encore,
îcosxsm — 1 , -,
. (A, 4- 3 A 3 x’ 4- SAsx' 4 - 7 A ; x“ 4-. .
ce qui revient à
1 . 3A,x 4- 2.5AiJ4 4- 3-7 A,x* 4- . . .
