DIFFERENCES
exact
exact
ÜJ
-pi
co
fl = 5,
au lieu de
fl = 6,
exact
au lieu de
7 ac 36 2 1 24
APPLICATIONS WATHKMATIQUKS.
Los différences augmentent, quoique très-lentement, mais il y aura une limite où elles diminueront, car pour « = oo , cette différence sera évidemment nulle. Il est remarquable que cette construction approximative donne d’une manière exacte le triangle équilatéral., le carré et l’hexagone régulier.
Le calcul a été poussé jusqu’au polygone de dix-sept côtés que l’on sait maintenant inscrire exactement; mais la construction qui résulterait des calculs de Gauss serait tellement compliquée, que cette approximation vaudrait encore mieux dans la pratique.
Pour un nombre de divisions n > 8, ce procédé a été modifié de la manière suivante par M. Tempier, sous-directeur des Écoles chrétiennes à Montpellier.
Divisez le diamètre AB en autant de parties égales qu’on veut en avoir sur la circonférence; des points A et B comme centres et avec AB comme rayon , décrivez deux arcs qui se coupent en C ; puis, si le nombre de divisions est égal ou supérieur à 8-, joignez le point C «A la' seconde division du diamètre à partir du centre (cela signifie que l’on prend, à partir du centre, même si n est impair, une longueur égale à deux divisions). Menez donc par le point C deux sécantes passant, l’une CE par le centre O, l’autre CD par cette deuxième division à partir du centre, l’arc DE = 3 intercepté par ces deux sécantes est l’arc demandé, égal à pen près à la partie de la circonférence.
La fig. io convient également aux deux constructions, car il est facile de voir que pour n = 8 elles reviennent au même, mais pour toute autre valeur de n elles seraient différentes.
Des calculs analogues à ceux que nous avons faits relativement au procédé de Bion, ont conduit M. Tempier à la formule suivante: . '
Voici les résultats des calculs pour diverses valeurs paires de n j mais, comme nous l’avons observe, ce procédé s’applique aussi bien quand n est impair, quoique le centre ne soit pas alors un
126 CHAPltRF. QUATRIÈME.
point lie division du diamètre.
I mifErexces.
n = io,
au lieu de
exact
au lieu de
n = ao,
n = ■jo,
Il =100,
On voit que, pour n 8, ce procédé est préférable à celui de Bion, parce que les erreurs sont plus petites; elles vont même en diminuant au delà d’une certaine limite.
88. Construction géométrique des expressions algébriques homogènes.
On comprend combien il est important pour vérifier les calculs et concevoir nettement les questions, de construire sur le papier les résultats donnés par l’analyse. Seulement, pour qu’une expression algébrique ait une signification géométrique, il 'faut qu’elle soit homogène, c’est-à-dire que les quantités contenues, par exemple, dans le numérateur ou le dénominateur d’une fraction soient de même nature, telles .que des lignes, des surfaces, des solides, ou, plus généralement, toutes ces quantités doivent être telles, que si dans chacune d’elles on fait la somme des exposants de toutes les lettres, toutes ces sommes soient égales.
On conçoit, en effet, que si l’on demandait d’ajouter une ligne à une surface ou une surface à un solide, cette question n’aurait pas de sens.
Il faut erfcore que le degré d’un membre de l’équation , obtenu , comme nous venons de le dire , en faisant la somme de tous les exposants (ceux qui sont en dénominateur étant considérés comme négatifs), soit égal au degré de l’autre membre; car il serait évidemment impossible d’égaler une ligpe à une surface, une surface à un solide , etc.
Or cette condition d’homogénéité n’est pas toujours remplie en apparence dans les expressions algébriques : c’est ce qui arrive si l’on demande de construire x = sin’a.
En effet , puisque l’on regarde le sinus comme un nombre , il en résulterait que la longueur x est égale à un nombre abstrait, ce qui est absurde ; Otais il faut comprendre que x représente, non pas la longueur cherchée, mais le rapport de cette longueur à l’unité, telle que le mètre.
En général, soit a cette unité; l’équation constructible devient
- =r sin’a a
ou bien x =asin’a,
équation homogène que nous construirons bientôt.
D’après cela, nous voyons que, polir rétablir l’ homogénéité dans une formule , il suffit de remplacer chaque ligne par son rapport avec l’unité de longueur.
Tous les Traités de Géométrie enseignent à construire xz=
et x = — é 1 par un triangle rectangle, x — — par les triangles
semblables et x = \Jab par les triangles rectangles semblables inscrits dans la demi-circonférence (*). Ces expressions fondamentales permettent de construire les formules les plus compliquées, mais nous nous arrêterons à celles qui sont susceptibles de quelr ques simplifications particulières.
(*) Pour construire xz=^âb ( b étant la plus petite des deux li{jncs), v * voici une nouvelle méthode, due à M. Gouzy (de Lausanne). Sur une droite indéfinie, prenez AB = b et, dans le même sens, AC =. a- y dans le sens oppose, prenez CD = a ; enfin des points C et D comme centres, et avec le rayon a y décrivez des arcs de cerclo qui se coupent en O : vous aurez
OA s= OB = . • •„ - 1
