Construction des polygones réguliers
Toutes les Géométries donnent la construction de l’hexagone et du carré, ainsi que des polygones qui en dérivent ; elles indiquent aussi celle du décagone régulier par la division du rayon en moyenne et extrême raison, mais il est plus simple d’employer la construction suivante, qui revient au même, et qui d’ailleurs est assez connue.-
Menez les deux diamètres perpendiculaires AB, CF ( Jig. 9 ); du
point C comme centre et d’une ouverture de compas égale au rayon OA , coupez la circonférence en G et H , joignez GH, qui coupe OC en D, et du point D, milieu de OC, pris pour centre, avec le rayon DA, décrivez une circonférence <|ui coupe OD en E : la distance OE sera le côté du décagone inscrit et AE celui du pentagone.
Cela suppose démontré le théorème suivant :
Le carré du côté du pentagone régulier inscrit est égal au carré du côté du décagone régulier inscrit , plus le carré du rayon ; ou , ce qui revient au même, le carré du côté de l’hexagone régulier inscrit.
Cette construction est exacte; nous allons voir quelques constructions approximatives.
Pour obtenir le côté de l’heptagone régulier inscrit, d'un point quelconque C de la circonférence pris pour centre (fg- g) , et cC un rayon égal à celui du cercle, prenez les deux points G et H et joignez GH qui coupe OC en D , la longueur GD = UD est presque égale au côté du polygone régulier de sept côtés.
On voit que c’est la moitié du côté du triangle équilatéral inscrit.
En calculant par logarithmes le côté de l’heptagone régulier, on trouve 8,86775, le rayon étant t ; tandis que
approximation très-suffisante.
Mais voicijune construction pratique qui s’applique à tous les polygones réguliers; elle est due à Bion , mathématicien du dernier siècle.
Divisez le diamètre AB en autant de parties qu’on veut en avoir sur la circonférence; des points A et B comme centres, et avec AB comme rayon, décrivez deux arcs de cercle qui se coupent en C, puis joignez le point C à la seconde division du diamètre, cette
F1 B- 'o-, ligne prolongée ira couper la cir-
conférence en D, et BD sera la portion demandée de là circonférence (fig. io)‘.
Dans la figure on a pris n = 8, ce qui donne l’octogone régulier.
Mais il est important de savoir quelle approximation donne ce procédé, et c’est ce que nous allons chercher.
. Posons
AMC = a, ACM = f et DOB = 7.
Dans le triangle MCA on a la proportion
-6in a 2 R 1
sin 8 2 R 2'
car AC = 2 R = AB ; d’ailleurs [5 = 120 — a, puisque A = 60", comme angle du triangle équilatéral ABC.
.Ensuite, comme DMO = 180 — a , le triangle DMO donne
sin a R 1
sin (a — 7)
On a donc
et
sin a
sin(i2o — a)
sin a
sin (a — 7)
En divisant chaque équation par sin a, on a d’abord
sin 120 cot a — cos 1 20
1 24 Or
donc
. sini20= — et cos 120= ;
l/ 3 . cota -+- 1 « — 2- « — 4
= et cot a —
n \fï
Ensuite
cos 7 — sinycota 4
ce qui donne
cos 7 —
En réduisant, on a
sin 7 ( « — 4 ) fl — 4
n\JZ ~
cosy = (/i — 4)-
3 fl 4- sjn 1 - 1- 16 (« — 2) 3 (n — 4 )*.
Cette formule permet de comparer les valeurs approximative» qu’elle procure avec les valeurs exactes.
