Fermer un contour polygonal

Comme exemple de l'utilité des constructions graphiques pour réunir les données numériques de l’expérience , nous allons traiter une question qui nous ramènera à l'étude des approximations

successives. ' .

Il faut lever le plan d’un polygone quelconque, c est-à-dire dont les angles sont rentrants ou saillants. Pour plus de simplicité, nous considérerons un quadrilatère; il sera facile d’étendre ce que nous allons 9

dire aux polygones les plus compliqués.

Nous avons donc sur le terrain le

— ^ c — a B* quadrilatère ABCD ; pour en lever le

plan, nous partons d’un sommet A, en nous dirigeant vers B, et*nous mesurons la distance AB; nous observons l’angle ABC , et nous cherchons aussi la distance BC : enfin , après avoir obtenu les angles BCD et CDA , ainsi que les distances CD et DA , nous revenons au point A.

Fig. 18.

Mais lus mesures d'angles et' de longueurs que nous avons prises sont affectées de certaines erreurs; par conséquent, si nous transportons sur le papier les données de l’expérience, en faisant le tour du polygone , le point d’arrivée A' uc coïncidera pas sur le plan avec le point de départ A, comme il fait sur le terrain. Il faut donc corriger ces erreurs en altérant les côtés de manière à fermer le contour (Jig. ity).

Projetons les points B, C, D en B', C', D' sur la direction AA', nous aurons évidemment

AB' - B'C' - C'D' + D' A' + A' A = o,

et nous devons fermer le contour en altérant chaque projection par l'addition ou la soustraction d’une certaine quantité.

Posons donc

On voit que le contour sera fermé si les coefficients m , n, p et «y sont déterminés d’une manière convenable. Pour y parvenir, ajoutons AA' aux deux termes de cette seconde équation, effectuons les multiplications qu’elle indique et simplifions d’après la première équation; enfin supprimons AA' qui restera comme facteur commun : nous trouverons

ni — n — p H- </ = i .

Cette équation de condition est la seule à laquelle soient assujetties les quantités /«, n, p-et q\ elles peuvent d’ailleurs. être positives ou négatives. On a donc une grande facilité pour répartir les erreurs sur ceux des côtés que l’on suppose soit trop grands,, soit trop petits dans les mesures que Poil a prises.

II faut voir maintenant comment on détermine la quantité AA' ainsi que les angles que fait sa direction avec les côtés du polygone. Nous avons le triangle CBA dans lequel nous connaissons l’angle B et les côtés ÇB, AB; nous pouvons donc, calculer lecôtéCA ainsi que

lesanglesBCA, CAB. De même, te triangle CDA' donnera le côté CA' et les angles DCA', CA'D ; retranchant de l’angle BCD la somme des angles BCA et DCA', on trouve l’angle ACA', ce qui permet de déterminer le triangle ACA', où l’on calcule le côté AA' et l’angle CAA' : retranchant de 180 degrés la somme des angles CAA' + CAB, on trouve BAB', ce qui donne la direction de AA' par rapport à AB; on trouvera de même l’angle DA'D', ce qui achève de faire connaître les angles que font avec AA' les côtés du polygone.

Il est facile de voir que la correction d’un côté AB sera égale à m AA' divisé par le cosinus de l’angle que fait AB avec AA', puisque la correction de sa projection AB' est m AA'.

Ayant ainsi corrigé les longueurs tics côtés, on s’en servira pour déterminer par le calcul les trois angles dont on doute le plus, en admettant que le polygone soit ramené être convexe, ce qui est toujours possible, comme on le verra bientôt (*).

Soit, par exemple, le pentagone ABCDF, dans lequel on connaît

Flu. 30.

les côtés et les deux angles A , F. ; il s’agit de trouver les trois autres B , C et D

[fg- 20 )•

Joignez EB, AD, vous résoudrez facilement les triangles BAE , DAE et, par suite, BOA, 1 ) 0 E; on a donc le quadrilatère BCDO où l’on connaît les côtés et l’angle O, ce qui suffit pour le déterminer. Quel que soit le polygone convexe , on le ramènera au cas précédent, puisque tout sera connu, excepté la partie où se trouvent les trois angles consécutifs.

Cette méthode peut être utile dans tes circonstances où l’on est

( " ) t’ n polygone convexe do n eûtes est déterminé par an — 3 éléments : ici l'on donne les n eûtes et n — 3 angles, il en reste donc trois à connaître. Ici nous les avons supposés consécutifs; niais on les trouverait encore pins facilement si ces angles inconnus étaient , par exemple , les doux consécutifs C et U et l'angle opposé A. Il suffirait de joindre AC, AD; les triangles ARC, AliD ont un angle donné compris entre deux eûtes aussi connus , 011 trouvera doue les eûtes AC, AD , et comme DC est, donné, on obtiendra les angles du triangle ACP r ce qui achèvera de déterminer le polygone.

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oblige de prendre les directions avec la boussole, sans pouvoir, des deux extrémités d’une base, viser le même point éloigné ; c’est ce qui arrive dans les forêts et surtout dans les mines. Cependant, avant de l’employer, il faut faire une première vérification relative à la valeur des angles.

Quand le polygone est convexe , on sait que la somme des • angles intérieurs est égale à autant de fois deux angles droits qu’il y a de côtés, moins deux. La même vérification s’appliquera aussi h un polygone qui présente des angles rentrants.

En effet, soit CDE (Jïg. 21 ) un angle rentrant, on pourra le

Fig. a>.

faire disparaître en joignant CE. De celte manière on ramènera la question à considérer un polygone con vexe dont la somme des angles intérieurs s’obtiendra en déterminant BCE -t- CEF au moyen des angles observés BCD, CDE et DEF, ce qui est facile , car

i8o ; — CDE = DCE CED,

et il est clair que

BCE CEF = BCD 4- DEF 4- 180 - CDE.

Mais, en admettant que cette vérification de la somme des angles se fasse avec une exactitude suffisante, ce n’est pas une raison pour que le plan soit fermé sur le papier , et pour ne pas appliquer la méthode précédente , qui d’ailleurs ne doit être employée que si l’on réclamé une grande précision, car elle peut entraîner dans des calculs assez compliqués. On conçoit , en effet, que si les côtés sont mesurés d’une manière inexacte, le polygone ne sera pas fermé, quoiqu’il n’y ait pas d’erreur sur les angles; il suffit pour 'cela que le dernier côté soit pris trop grand ou trop petit, même quand tous les autres seraient bien mesurés.

Quant à l’évaluation des angles, la boussole donne une vérification partielle à l’extrémité de chaque côté AB, puisque les angles N AB , NBA que fait un même pôle N de l’aiguille aimantée , à

chaque bout de la d roi te que l’on considère , ont une somme évidemment égale il 180 degrés, à cause du parallélisme de l'aiguille dans ces deux positions.

Cette vérification peut quelquefois ne pas se faire aux extrémités de tous les côtés, malgré le soin et l’adresse de l’expérimentateur; cela tient à la présence de masses ferrugineuses qui font un peu dévier la boussole : c'est alors aux angles qui avoisinent ces côtés que l’on doit appliquer la correction laquelle se rapporte la fig. 20.

Quand ces déviations sont légères, on se contente de les corriger par la considération de la somme des angles de polygone, au moyen des directions mieux déterminées ; mais , si l’on suppose* encore que la nature du terrain rende la mesure des côtés difficile et incertaine, la méthode que nous venons d’exposer, et qui se • attache à la règle de fausse position, permet d’obtenir un plan d’une exactitude suffisante, malgré toutes ces circonstances défavorables.

CO. Réduction au centre des stations ( * }.

Voici encore un exemple d’approximation qui se rapporte au levé des plans.

Dans les opérations géodésiques, il n’tst pas toujours possible de sc placer au. sommet de l’angle «pie l’on veut mesurer; c'est ce «pii arrive si ce sommet est, par exemple, le centre d’une tour; il faut alors mettre l’instrument le plus près possible de ce sommet. Ce n’est donc pas l’angle même du triangle que l’on a mesuré, mais un angle «pii en diffère très-peu, et si l’opération doit être précise, il faut faire subir à cet angle une petite correction que l’on appelle réduction au centre de station.

Soient ABC ( fig . 22) un des triangles du réseau, C l'angle que l’on veut mesurer, O le point où l’on a placé le cercle dans le voisinage «lu point C; l’angle mesuré est AOB et il faut chercher l’angle ACB. Désignons par a et jî les deux angles très-petits OAC,

(*) Oc numéro est- ex Irai l des Éléments de Géométrie, de MM. Uriol ol Vucquant. ' - ...

t'ig. Jï.

APPLICATIONS MATHÉMATIQUES. l3']

OBC, et soit I le point d'intersection des deux droites CA et OB. Dans tes deux triangles C1B, OIA , les angles en I opposés par le sommet étant égaux entre eux , la somme des deux autres angles est la même ; on a donc

d’où

Ainsi, pour avoir l’angle cherché ACP, il faut ajouter à l’angle mesuré AOB la quantité a — fs que nous appellerons x.

11 s’agit maintenant de déterminer les angles a et jî Désignons par a , b , c les longueurs des côtés du triangle ABC et par r la distance très-petite OC. Dans les triangles AOC et BOC, on a

sin a r

sin AOC