Résolution de l'équation tt sin X — 0.x -t- sin 2x (* j

Celte équation se présente dans la construction des cartes hontalographiqucs, cartes dans lesquelles les surfaces des projections de deux portions quelconques prises sur le globe terrestre ont entre elles le même rapport que ces portions elles-mêmes.

Nous allons résoudre cette équation d’une manière approximative, la quantité x étant assez petite .pour qu’on puisse négliger les puissances de x au delà d’un certain ordre dans le développement de sin 2 x.

Prenons ce développement jusqu’à la cinquième puissance, ce

qui fait que nous négligeons seulement aurons

• i / 4- a ' r3 1Jf

w sin A = l\ x — *-*

ou bien - * \ . * • >

it sin >.

(*) Ici X représente la latitude d’un lieu de la terre. A l’équateur, / = O, et l’on voit qu’alors j est aussi nul. Aux environs du pôle, X = 90 J , et l’on peut alors poser au& 6 Î x== go — e , les quantités J et « étant très 'petites, car on a

rc cos£ == tt — 2* 4- sin?*, ' '

équation qui devient une identité pour 5 et * très-petits.

i ijo cuapitivf. quatrième.

Mous allons maintenant , par la méthode inverse des séries , développer x en fonction de z = * ^ - A : pour cela remarquons que,

si x change de signe , il en est de même pour z ; donc , réciproquement, le développement de x ne doit contenir que les puissances impaires de z. On posera donc

rc = Az -p B z’ -P Cz 5 ,

en s’arrêtant encore pour z à la cinquième puissances. On voit TT sin X

d’ailleurs que z =

est toujours plus petit (pie l’unité.

Remplaçons x par cette valeur dans l'expression de z en fonction de x, nous aurons

z = Aî+ 1!

él

Négligeant les termes qui dépassent 3 S , égalant les termes en z, et supprimant les autres, on obtient la suite d’égalités :

A — i, On a donc

et

G2. Résolution de réquation du troisième degré par la trigonométrie.

Soit . . -

p 3 -P Aj’ -p Bp -P C = o

I équation proposée.

On fera d’abord disparaître le second terme en posant

rc qui donne - «- ,