L.( — x) = 1,^167626 La racine est donc

C3. Résolution tics équations du quatrième degré par ta trigonométrie.

On sait qu’un polynôme du quatrième degré se décompose loujoflrsen facteurs réels du second degré; nous allons voir que la

APPLICATIONS MATHÉMATIQUES.* I^f)

détermination de ces facteurs dépend d’une équation du troisième degré .

Soit t /

x' -+- Qx’ + Rx + S = o

l’équation proposée, que nous supposerons, pour plus de simplieité, privée de son second terme; nous poserons

x* -+- Qx 3 -+- Ri -t- S = (x’-f- ax -+- p) (x 1 + a'x -h p') , ce qui donne les relations

La première montre que a! — — a; donc les deux suivantes deviennent

p -t- P' = Q -t- <*’ et p'-p = 5;

d’où l’on tire

p' = I(Q + «>) -t- — et p=-(Q-l-a’). — ;

en multipliant ces deux valeurs, on trouvera, à cause de la dernière relation ,

et l’on obtient enfin l’équation

a‘+2Qa 1 +a , (Q , -4S)-R’=o,

qui ne sera que du troisième degré si l’on prend a’ pour inconnue et qui aura toujours une racine positive , puisque le dernier terme est négatif; donc aussi a aura toujours au moins deux valeurs réelles, numériquement égales et de signe contraire. Comme d’ailleurs on a trouvé p et p' en fonction de a que nous pouvons maintenant supposer déterminé, on connaît les facteurs qui sont

x’ -J-axH (Q -4- a ! )

et

J 5a ' CHATITRE QUATRIÈME.

Ces formules seraient en défaut si l’on avait

auquel cas l’équation en a donnerait aussi

Mais, pour lever cette indétermination, remarquons que nous avons trouvé en général

donc, pour

les expressions des facteurs deviennent

c’est d’ailleurs ce qug l’on voit directement, puisque l’équation proposée se réduit à

x* 4- Qx ! 4- S — o, pour R = o.

Si deux ou trois valeurs de a’ sont positives, et qu’une d’elles soit commensurable et par suite entière, puisque le coefficient de a* est l’unitc, il faudra la préférer : de plus, si ces deux ou trois valeurs sont entières et positives, et que parmi elles se trouve un carré parfait, il faudra l’employer de préférence aux autres, parce que a étant alors entier, les facteurs seront eommensurablcs. Nous prendrons pour exemple l’équation

laquelle donne

on trouve donc

a’ = g et a = dtz 3 ,

c’est-à-dire

a = 3 et •».'= — 3.

Alors

? = ;(!>- 7) + TJ 8 = 4

APPLICATIONS MATHIMATIOI'ES Ct

ce qui donne

Soit encore l’équation

x‘ — iJi’H- 4x 4- 23 = 0, qui conduit à l’équation en a ,

on en conclut

et l’on obtient la décomposition suivante :

= (x’4- x \[ï — 5 — \fi) (x J — x\f?. — 5 4- >Ji).