III V
y -H — iH — = o , ri ri
cette équation devient
(•6) l ay h.r. -+• rf-t- ( x \Jb' — l\ac -+• ^ . - 2 f £ A — 0 1
, \ y b 1 — 4 <IC /
en chassant le dénominateur 2 a et remplaçant R par sa valeur. Ce système de droites serait imaginaire pour une valeur de X, même réelle, qui donnerait
b' — 4 ac <C
• . . bd — 2 ac ... „ , . ... .
La quantité — est susceptible d être simplifiée. Dans
y 'b' — 4 ac
l’équation (i 3 ), on remarque que les deux. termes né 1 , — h de font partie^ sauf un facteur commun, du carré de bd — 2 ne ; nous aurons en effet
( bd — 2 aey == b' d 1 — 4 abde 4 rt ’
et, par suite,
(bd — 2 ae)’ — b 1 d‘ né 1 — bde —
Donc
, (bd — laef -h 4 <*«/’ — b'd ’ 1 ciP -+- ne' - bde = ^ £-4 ,
et enfin l’équation (i 3 ) devient
on en conclut
(bd — 2«e)’-!- ( b 1 — 4 ac) (4 fl / — < 1 ‘) _____ . — — o ;
bd — 2 ac
l 1 / d 1 — 4 fl/,
^6’ — 4ac
et l’équation (16) du couple de sécantes devient aussi
(18) 2 a/ 4- bx - 4 - d ±(x ^ b 1 — 4 ac + fa' — 4"/) = °- IV. Si les coniques sont concentriques , leurs points d’interscc-
tion sont les sommets d’un parallélogramme ; donc — doit être le
même pour les demi droites de chacun des couples qui en forment les côtés opposés. Par conséquent deux des trois valeurs de 1 doivent donner \
b 3 — 4 ne — o ,
et cette quantité , qui est du second degré en a , devant alors diviser le premier membre de l’équation (i3) , considéré comme polynôme du troisième degré en X, le quotient du premier degré que l’on obtiendra ainsi sera évidemment, ainsi que le dividende
frf 3 -+• oc 3 — bde - \-/{b 1 — 4 ac )
et le diviseur
b 1 — 4 ac ■>
une fonction commensurable des coefficients A, B, C, . . . , A', B' . C', . . . , des équations données; il donnera donc pour.X une valeur commensurable qui correspondra au système de sécantes non parallèles , c’est-à-dire aux diagonales du parallélogramme.
Quant aux couples de droites parallèles, l’équation de chacun d’eux sera de la forme
(19) 2 ay -f b.r-\- rf± \jd 7 — ^af =, o,
puisque b 1 — 4 ac = o. Si les courbes sont concentriques, il vaut mieux déterminer X par la forme d’équation (17) que par la forme (id). En effet, la relation
(bd-iae) ' rfl
b* — 4 ac
qui est vraie pour les trois racines de l’équation en X , fait voir que les deux valeurs de X qui annulent le dénominateur b 1 — 4 ac > donnent aussi
• bd — 2 ar — o ;
comme ces deux expressions sont du même degré en X, elles ne doivent différer que par un facteur constant K. Soit donc
bd — 2 ac == K ( ô 3 — 4 ac )i
APPLICATIONS MATHF.MAT1QUKS.
nous aurons
( bd — laeÿ b ’ — 4 ac
= K 1 (b- — 4 rtc ) >
île sorte que l'équation (f'j } prendra la forme
après qu’on aura divisé le numérateur par b 1 — 4 nc -
Il faut bien observer que , dans le cas des courbes concentriques, le numérateur de l’expression précédente doit être divisible par a — A 4- ) A' : en effet, nous avons vu que, le polynôme ccP ■+■ ac 1 — bdc +f(b- — 4 nc ) étant divisé par b ’ — 4 ar » donnait un quotient du premier degré en X ; or ce quotient , qui est
K’ (6* — &ac)-*-kaf — eP ,
représente par — — i -t— > ne peut etre du premier degré que si a divise le numérateur. ,
Comme exemple de ce cas particulier, nous prendrons les équations
3 y’ — 1 4 xy 4 - 8 x’ -+ a y — 8 x-+ 3 = o,
7 y’ — 26 xy 4- 17 X’ -+ 6 y — i\x 4-3 = 0 ,
qui sont traitées dans l’ouvrage de MM. Delisle et Gcrono.
Nous aurons, dans cette circonstance,
ce qui donnera
et
bd — 2 ae = 20 ( 2 )’ 4- 3 X 4- 1 ) b ’ — 4 ac — 100(2)’-+ 3 ) 4- 1 ) ,
d’où l’on tire
(bd — 2 ae ) 7
b * — 4 ac
K’ (ô’ — 4 ac ) — 4( 2 ^’ 4-3)-+ i ).
( Ici l’on aurait K = g» mais il vaut mieux calculer ce quotient directement.)
On a aussi
Le quotient cherché sera donc
Tel est ce quotient du premier degré qui correspond aux diagonales du parallélogramme, et qui donne
quantité commensurable, comme efle doit l’être.
Du reste, les autres valeurs de X seront aussi commensurables dans cette circonstance. Elles seront données par l’équation
b ' — 4 ne = o ,
on bien
qui a pour racines
X = — 1 et X = — — •
Pour la première de ces valeurs, on trouve v/rf* — 4n/=±4,
(*) Il s’agit ici do trouver l’expression de !\ af — d 9 pour une valeur quelconque de X' f car la relation
( bd - a a.-) 1 A* - \ac ~
n’est généralement vraie que pour les valeurs de X qui résolvent les équations (i 3 ) ou (17).
On a vu que ces deux équations n’en faisaient qu’une : la seconde forme présente un numérateur du quatrième degré , mais clic a l’avantage de mettre en évidence les facteurs qui peuvent exister entre bd — lue et les quantités t\af — d* ou b 9 — 4 ac. Si l’on découvre ainsi un facteur commun dans le numérateur, il donnera une racine de l’équation en X , à moins qu'il ne sc réduise à a = A -4- ). A', auquel cas il supprimerait seulement le dénominateur. Si pourtant , après cette suppression , le même facteur a sc présentait encore,, il donnerait cette fois une racine de l’équation en, JU
et l'équation (19) devient
— 8y + iît — 4±'j — o,
Pour l’autre valeur X = , on trouve
\jd‘ — 4«/= ±2 et y — — x — 1 dz 2.
En combinant ces couples de sécantes, on trouve les points communs qui ont pour cordonnées :
Le premier et le quatrième, le second et le troisième sont les sommets opposés du parallélogramme.
V. Nous indiquerons encore l’exemple suivant qui se rapporte au cas général où les courbes ont deux points communs :
(1) M = 4 j’ — i2xy -+- 1 7 x’ + 8,y — 28 x — 20 = o ,
( 3 ) 9X 3 -|- 3 at V ■+■ 704 X 4 - 4 ° 9 *> = °>
. 107 <)337 2io3oto
on trouve une seule racine réelle; les calculs trigonométriques donnent, comme on l’a vu à la fin du n°68,
et, par suite,
. L = — toi, 2453 i, X = — 33 , 74844 -
|(ia CHAP1TRK QUATRIÈME.
L’équalion (18) devient alors
8,y — i2.r -4- ioy,2453 = ± (20, 28 .z — 120,162).
En combinant ces équations avec l’cquation (2) qui est ici la plus simple, on reconnaît que le signe — donne une intersection réelle ; donc il est inutile d’essayer le signe -t- qui ne donnerait que des points imaginaires, puisque l n’a qu’une valeur réelle : l’équation de la corde commune est donc
La combinaison avec l’équation (2) donne pour coordonnées des points cherchés
x' — 1 ,94* y' — — 0,6459 et x" = — o,o 5 , y'= i, 4 i 37 r >.
68. Usage des Tables. — Les questions précédentes nous montrent que l’on emploie souvent les logarithmes même dans des questions qui paraissent d’abord ne pas en dépendre : nous croyons donc pouvoir donner sur l’usage des Tables quelques avis qui peutêtre sembleront puérils, mais dont l’application et, par suite, l’utilité se présentent à chaque instant.
I. Quand on cherche le logarithme d’un nombre composé de plusieurs chiffres, on sait que les Tables de Callet donnent immédiatement ce logarithme pour les cinq premiers chiffres, et même pour les six premiers, quand ces chiffres sont compris entre 100000 et 108000 : on sait aussi que l’augmentation du logarithme, due à un chiffre de plus, se trouve dans la dernière colonne, qui est celle des différences. Mais on peut souvent obtenir l’accroissement dû encore à un autre chiffre ou même à deux autres chiffres.
Soit, par exemple, à chercher le logarithme de 185,02769: la caractéristique sera 2, puisqu’il y a trois chiffres entiers; ensuite, les cinq premiers chilfres i 85 o 2 donnent 2,2672187. La différence la plus rapprochée est 235, qui donne, pour le chiffre suivant 7, l’accroissement i 65 . Maintenant, pour calculer l’augmentation due an 6 qui vieht après, nous remarquerons
APPLICATIONS MATHLMATlqCES.
qu’elle sera dix fois moindre que si ce chiffre exprimait des unités de l’ordre immédiatement supérieur, auquel cas cette augmentation serait 1 4 > dont le dixième est 14 , i ; nous ajouterons dpijX* 4 pour tenir compte du 6. Knlin le 9 donnera nii accroissemcrtt cent fois moindre que s’il exprimait des unités cent fois plus gèarides; nous prendrons donc le centième de 212, ou bien 2, i 4 , et nous ajouterons 2 pour tenir compte de 9. Les autre^ (Si if fies, s’il y en avait encore, ne pourraient influer sur le logarithme; voici donc le tableau du calcul :
Soit encore k chercher le logarithme de 10128,3647 ;• comme les premiers chiffres sont compris entre 100000 et 108000, 011 aura ce logarithme avec huit décimales. Le logarithme de 10128,3 étant 4>°°553656, on obtiendra, comme ci-dessus, le tableau suivant :
4 ,oo553656
