r (A'D — AD') -4 2 (A'E — AE') -4 A' F — AF' = o

de là on peut tirer la valeur de y que l’on substituera dans l’équation de l’une des coniques, ce qui donnera une équation du quatrième degré en x.. ,

l5a CHAPITRE QUATRIÈME.

Le. polynôme qui en forme le premier membre peut toujours, comme on le sait, se décomposer en deux facteurs réels du second degré dont chacun donne , quand on l’égale à zéro , deux racines réelles ou imaginaires. Si ces racines x', x" sont réelles, il est clair qu’elles donnent aussi des quantités réelles pour y et y, quand on les substitue dans l’équation précédemment écrite, où y n’entre qu’au premier degré; mais si elles sont imaginaires, y' et y" seront aussi imaginaires.

Cependant, il faut observer que, même dans cette circonstance, la droite qui passera par ces deux points imaginaires conjugués sera une sécante réelle. En effet, on sait que la valeur imaginaire x! sera de la forme

et que l’expression correspondante y' sera aussi représentée par

Or, comme on passe de x' à x" ep changeant le signe du radical, ce qui donne

on obtiendra y" au moyen dey' en faisant le même changement, ce qui donne

Cela posé, l’équation de la droite qui passe par les deux points en question, étant

i bien

on trouvera

ce qui donnera l'équation réelle de la droite 3x -+- 67 — aS

Voici donc les trois cas généraux qui peuvent se présenter :

i°. Les deux coniques n’ont aucun point commun; cependant les points imaginaires conjugués deux à deux donnent deux sécantes communes réelles ;

2 ". Les coniques ont deux points communs; c’est ce qui arrive quand l’un des facteurs du second degré qui composent l’équation du quatrième degré dont nous avons parlé, donne deux racines réelles, tandis que l’autre donne encore deux racines imagi- naires.: alors une sécante passe par les points réels, et une autre sécante réelle passe encore par les deux points imaginaires;

3°. Enfin les coniques ont quatre points communs: dans ce cas, chacun des facteurs du second degré se décompose en deux facteurs réels du premier degré, ce qui donne quatre points réels que l’on peut grouper deux à deux de six manières différentes; on obtient donc trois couples de sécantes communes. Ainsi , soient M , N , P et Q les quatre points communs , on aura les couples de sécantes

MN et PQ,

MP- ft NQ,

MQ et N P.

II. Nous allons voir comment on trouve , dans tous les cas, les couples de sécantes communes.

Soient

( i ) M =r A j 1 -f- B xy + Ci 1 -I- D/ + F.i + F =,o

et

les équations des coniques dont on demande l’intersection.

En représentant par X un coefficient arbitraire, l’équation s

sera l’équation générale de toutes les coniques qui passent par les

l54 chaPitbk «jvatriémk.

points communs au* deux Tourbes données, |)uis«pt’elle sera lott.jours satisfaite, quel que soit 3t, par les valeurs qui donnent à la fois

On cherchera donc à disposer de \ en sorte que l’cquation (3) ,

devienne celle d’un couple de droites passant par les points communs.

Or, si nous posons

n A + a A’, b ~ B + ). B’, c ~ C -4- ).C f , r/= D -4 - a D', e = E-t-VE', /= F -t-XF', il est clair que l’équation (3) deviendra

a y 1 bxy -|- ex' -+- il) 4- ex -y J = o ,

et comme elle doit se ramener à deux facteurs du premier degré , il faut poser •

ay'-\-bxy-ycx‘‘-\-dy-yex-y-/={mx H- ny p)(m'.r-y n'y-\-p'),

les équations m.r -y ny -+- p = o , m' x -y n' y -y p' = o étant celles des deux droites qu’il faut déterminer.

Développant les calculs indiqués, nous trouverons les équations de condition

a = /m'(4), b = mn' -y m' n (8), d — np' -+• n'p(8), ç — mm’ (5), f—pp\\ 7), c = mp’ +■ m' p (g).

Les équations (8) et (g) donnent (to) ' dm — en — p ( mn ' — m' n)

et

(l î) dm' — en' = p' [m' n — mn').

Multipliant (to) et (u), on trouve, en ayant égard aux relations (4), (5) et (6) qui donnent

(ta) ' (mn' — m' a)* — b 1 — !\ac ,

l’équation de condition

(t3) . ntl -y ne 1 — b de +f(b t — ^ni) = o,

qui déterminera > .

D’après les. valeurs .de n , h, r , ... , il est clair que l'équation

(i3) sera du troisième degré en X , et nous allons meme faire voir que cette équation ne peut jamais s’abaisser à un degré inférieur, à moins que l’une des coniques ne se décompose elle-même en un système de deux droites. En effet, dans cette équation (i3), remplaçons a par A -+- XA' et les autres coefficients par leurs valeurs analogues, on verra facilement que le coefficient de X* sera

de même le terme indépendant de X sera

CD’ 4- AE ; — BDE -h F (B ; — 4 AC) :

or, si l’un de ces coefficients était nul , la conique correspondante vérifierait l’équation (i3) et se décomposerait en deux droites.

L’équation (Y3) étant donc toujours du troisième degré en X, pourra avoir uneou trois racines réelles. Dans le premier cas, cette racine unique fera toujours trouver, comme nous l’avons vu, un couple de sécantes réelles dont l’une, au moins , ne donnera que des points imaginaires; l’autre pouvant correspondre, suivant l’occasion , à deux autres points imaginaires., ou h deux points réels, communs aux courbes proposées.

En général, pour reconnaîtresi une sécante réelle donnedes points réels ou imaginaires, il faudra combiner son équation avec celle de l’une des coniques et voir si la droite et la courbe se rencontrent.

Dans le second cas, où X a trois valeurs réelles, il peut arriver, comme on l’a dit, que l’on obtienne trois couples de sécantes réelles et, par suite, quatre points communs aux deux courbes'. S’il en est ainsi, on n’aura pas besoin de combiner les droites avec les coniques; les points d’intersection d’un couple de droites avec un autre couple seront les points communs aux courbes proposées.

Mais il ne faut pas croire que la réalité des trois racines de l’équation en X entraîne nécessairement la réalité des trois couples de sécantes. Nous savons, à la vérité, que l’un, au moins, de ces trois couples , doit être réel , mais il peut ne pas en être de même pour les deux autres, car nous verrons bientôt qu’une valeur réelle de X peut quelquefois donner un couple de droites imaginaires. ’ ' .

• 56 CUAP1TRX QUATRIÈME.

Nous savons que, s’il n’y a pas trois couples de sécantes réelles, il y en a un seul. Donc celle des trois valeurs réelles de X qui correspond à ce couple unique donne lieu à la même discussion que nous avons déjà faite pour une seule valeur réelle de X, c’està-dire que les coniques ne rencontreront que l’une des sécantes et pourront même n’en rencontrer aucune.

III. Voici maintenant comment on peut, après avoir déterminé X en résolvant l'équation (i 3 ), trouver celles des couples de sécantes.

Posons, pour simplifier,

R 1 = b- — 4 oc, l’équation (12) deviendra ( 1 4 ) mn r — ni' n = ± R ;

en ajoutant (i 4 ) avec ( 6 ) , on obtient

2 mn' =. b ± R , et divisant par (4) . il vient

ni b ± R nia

. En combinant (10) et (t 4 ), on trouve

(• 5 ) d. e - ~ db R.

Mais on voit que

m rn n n b -+- It

p n p p la ’

remplaçant — par cette valeur dans (i 5 ), on obtient

d’où l’on tire

p bd — 2 au dt R d d 1 bd — 2 ae

Comme l’équation de la sécante commune peut se mettre sous

lu forme

APPLICATIONS MATHÉMATIQUKS.