II. Soit

ce qui fait que deux racines sont imaginaires. Il peut encore se présenter deux cas, suivant le signe Ae p.

Nous allons supposer que p est encore négatif.

Soit

,r = m ( tang a + cot y. ) ,

les quantités m et y. étant des indéterminées; il est facile de voir que cela revient à poser

sin 2 a

Donc la racine réelle sera calculable jjar logarithmes, si m et a sont connus.

Mais si nous élevons au cube les deux membres de l'égalité

— = tang y. H- cot a ,

APPLICATIONS MATIItMVTigilRS. I^S

il vient, à cause de laiigacosy. = i,

— = tant,'' a -f- cot' a -+- 3 ( tang a -f- cot a ) ,

ou bien, en remplaçant tang a h- cot a par — et réduisant,

.r' — 3m-.r — w' (tang' a + cot' a) = o,

équation qu'il faut identifier avec la proposée. On trouve alors

p ^= — 3 /«% 7 = — ni (tang' a -H cot' a ) ;

ce qui montre que p doit être négatif, puisque

Pour déterminer x, posons

tang' a = tang ^ ;

ce qui est permis , puisqu'une tangente représente une quantité (pielconque, positive ou négative. Nous avons en même temps

cot' a = cot ^, et par conséquent

ce qui détermine

On doit avoir donc et d'ailleurs

— = tang S 4- cot 3 =

nv "- ' sin 2

sin 28 =

sin- 2 ^ <^ I ;

CHAPITRK QlIATRl

il' où

ce qui donne

ou bien

condition nécessaire pour qu'il n'y ait qu'une racine réelle. III. Soit enfin

et posons

X z= m (cot a — tang a) ;

on a

cos^a — sin^a cos2a

cot a — tani! a = =: = 2 cot 2 a ,

sin a cos ai.

- sm 2 a

d'où