VI. La formule

établie (113, VII) entre l'erreur du produit et celles des facteurs, ou bien , ce qui revient au même, entre l'erreur du dividende et celles du diviseur et du quotient, permet souvent de voir sans calcul la valeur et même le signe des approximations que Ton doit attendre des données de la question .

Supposons, par exemple , que l'on nous donne la quantité

approchée en excès avec cinq décimal* «s exactes, de sorte que l'erreur ^' de B est négative, mais numériquement inférieure à o,ooooo5; on demande quelle approximation aurait la valeur A

de 7r, obtenue d'après cette valeur B de — L'erreur de A sera tf ,

mais celle du produit sera

s = o , puisque n . - = 1 .

Pour trouver 8 , il faut donc poser

ce qui montre que S' étant négatif, S sera positif; ainsi n sera calculé en défaut.

Mais, quant aux valeurs numériques,

Ao*'*=B<î, d'où rî = 3'.~

Puisque

A = 3,i... et B = o.3i...,

on peut poser

donc

— = io

ê = o,oooo5,

c'est-à-dire que Ton ne devra compter que quatre décimales exactes en divisant i par o,3i83i ; mais en réalité il y en aura une de plus, car le quotient est 3, ]4i5<)i> résultat en défaut comme cela doit être, mais seulement à la sixième décimale.

VII. Afin de ne rien négliger sur cette question , nous allons calculer directement un exemple de division abrégée, et nous en ferons ensuite la preuve en cherchant la multiplication abrégée correspondante.

On demande à un dix-millième près le quotient de 229,4703568 par le diviseur 7,3594» supposé exact; il faut donc calculer les cent- millièmes.

Il est facile de voir, par la nature des premiers chiffres du dividende et du diviseur, que le quotient aura deux chiffres entiers, ce qui, avec cinq chiffres décimaux, fera sept chiffres que Ton devra aussi prendre au diviseur, qui n'en a que cinq. Mais, comme ce diviseur est ici supposé exact, on y ajoutera deux zéros, et Ton fera l'opération suivant la règle connue :