Calcul de ir

Tous les calculs précédents, relatifs aux lignes trigonométriques, sont basés sur la connaissance du nombre n, rapport de la circonférence au diamètre. Depuis Archimède, qui Ta calculé le premier, on a proposé, pour^en trouver la valeur, bien des méthodes géométriques ou analytiques, dont la discussion nous entraînerait trop loin.

On sait que le rapport indiqué f>ar Archimède est — > et que

celui d'Adrien Métius, égal à — r> est facile à retenir, parce qu'il

suffit d'écrire deux fois les trois, premiers chiffres impairs, ce qui donne 1 1 3355, et de prendre la moitié du nombre pour numérateur et l'autre moitié pour dénominateur. On trouvera facilement l'approximation respective de ces deux rapports en les réduisant en décimales et comparant les résultats à ceux que nous allons déterminer.

La méthode la plus simple pour trouver la valeur de n consiste dans l'usage des séries qui proviennent du développement

arc tansx = x — •v-H-z- — — H- .•••

La formule tang ( a -f- b ) = - £— r donnera

' i — tang a tang b

it

j = arc tang — h arc tang ^ -f- arc tang ~* formule assez avantageuse, car les puissances de - donneront

1 12 CHAP1TM QOAT»liMK, .

celles de ~> et même celles de ■= = — ; il s'agira toujours de

former les puissances de 2.

On a encore

7 = arc tang--harc tang- et -= = 2 arc tang- -harctang—

Mais la formule dont on se sert le plus souvent est celle-ci, qui a été trouvée par Machin ,

ir , 1 1

-y = 4 arc tong^ — arc twig— =-•

Nous allons faire usage de cette formule en poussant le calcul jusqu'à vingt décimales , comme dans la Trigonométrie de MM. Delisïe et Gerono.

Calcul de 4arctang£-

^ =o,ooo256

— 2— = o ,00000 00000 oo3o8 404*70 5a.

■ J*-. ■ r= o ,00000 00000 00000 ooo53 60 25 5" ^*

=r o ,00000 OOOOO OOOOO OOOOO 07

Somme = o ,80026 62278 07925 8987 1 8t

Somme = o ,01067 39884 08402 86528 78 Retranchant cette somme de la précédente, on trouve

4 arc tang 7=0, 78958 22393 99523 o3348 o4

Calcul de arc tang —5— = 0,0041841004 1 8410 04184 10

Somme = 0,00418 4ioo4 18666 5 1 4^5 54 - — — = 0,00000 00244 16691 78708 38

3 • 2«jQ

ç— = o ,00000 oooao 00000 oo32o 7 t

Somme = o ,00000 00244 *65gi 79029 09 En retranchant cette somme de la précédente, on obtient

arc tang -5-= 0,004184076002074723864s

I I 4 GHAP1TBK QUATRliME.

En retranchant cette valeur de 4 arc tang ? > il vient

j=z o , 78539 8i633 97448 3og6i 58.

D'après le principe du n° 10, on prendra pour mesure de l'erreur dans chaque série, le premier terme que Ton néglige : on reconnaît d'après cela que ce résultat, calculé avec vingt- deux décimales, en a au moins vingt qui sont exactes ; d'où l'on tire

On pourrait encore modifier ce calcul en observant que

arc tang —=— =r arc tans arc tane — y

ce qui donne %

iz . 1 i i

y = 4 arc tang -= ■+- arc tang arc tanc — •

Relativement à cette dernière formule, nous remarquerons qu'on peut diviser par 99 comme par un nombre d'un seul chiffre. Soit, par exemple, à diviser par 99 le nombre 5743256, nous dirons: en 574, le diviseur se trouve 5 fois, et il resterait 74 si l'on divisait par 100, mais il reste 5 de plus, ce qui fait 79, et l'on dit : en 793, on trouverait 7 fois 99 avec le reste 93 H- 7 = 100; donc il y est 8 fois avec le reste 1 . En 1 2 , il n'y est pas et le quotient est o ; en 125, il y est 1 fois et ainsi de suite.

On trouvera dans l'avertissement de Cal 1er, page 96, les 1 28 décimales calculées par Lagny en 1719. Différents géomètres, M. Rutherford, M. Dahse, etc., ont vérifié et étendu ce calcul, et M. Richter l'a poussé jusqu'à 333 décimales. Malheureusement peu de personnes sont capables de vérifier de semblables approximations, et d'ailleurs elles n'ont pas d'importance pratique, car M. Lehmann, de Postdam, a observé que si l'on cherchait le volume d'une sphère ayant pour rayon huit trillions de kilomètres, et si l'on voulait calculer avec une exactitude telle, que l'erreur fût moindre que la plus petite grandeur microscopique, moindre

APPLICATIONS MATHÉMATIQUES. ' I l5

qu'un cube d'un millionième de centimètre de côté , il suffirait de prendre ir avec 90 décimales (1).

Lambert a démontré que le nombre n et son carré étaient deux nombres incommensurables; nous renverrons pour la démonstration à la Note IV de la Géométrie de Legendre* Ces deux théorèmes ne suffisent point pour prouver l'impossibilité géométrique de la quadrature du cercle : il faudrait faire voir que * ne peut être racine d'une équation telle, que cette racine se construise par la règle et le compas; mais cette proposition, quoique très-probable , n'a pu être encore démontrée.

Vu l'importance de ce nombre, on l'a présenté sous plusieurs formes différentes, et, par exemple, sous celle de fraction continue. Pour y parvenir, on est porté naturellement à prendre r avec un certain nombre de décimales et à réduire cette quantité en fraction continue , mais il faut observer que les réduites obtenues s'approcheront , non pas de la valeur de ir , mais seulement de la fraction que Ton a prise pour remplacer ce nombre. Pour être sûr que les quotients incomplets auxquels on parvient appartiennent effectivement à tt, il faudra prendre deux valeurs, Tune plus grande que ir, l'autre plus petite, et les réduire toutes deux en fraction continue. Il est clair que tous les quotients incomplets communs à chaque fraction continue appartiendront aussi à la valeur de *r.

En prenant, par exemple, les deux valeurs

et

qui comprennent 7r, et ne gardant que les quotients incomplets communs aux deux fractions continues qui résultent de ces quan-

( *) Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, tome XIII , i854 » pages 4i 8 et suiv.

|l6 CHAPITRE QUATRIEME,

tités, on trouve

tt== 3 H 1

ce qui donne les réduites suivantes :

3 22 333 355 103993 104348 208341 1 7 106 n3 33io2 332i 5 66317

D'après les propriétés des réduites, n° 18, on sait que chacune de

ces fractions approchera plus de la valeur de ?r que toute fraction

plus simple. De plus, ces réduites sont alternativement plus petites

et plus grandes que . : ainsi, 3 est trop faible, - trop for,; et

ainsi de suite. L'erreur de ce rapport — , qui est celui d'Archimède, sera donc évaluée par la fraction

Le rapport — 5? dû à Adrien Métius, sera aussi trop considérable, mais Terreur sera évaluée par la fraction

11 3. 33 102 3740526 On trouve d'ailleurs

donc ce rapport n'est en erreur qu'à la septième décimale.

Au commencement du n° 18, nous avions réduit en fraction

continue cette même fraction — ^ qui nous avait donné pour

réduites les quantités

ce qui diffère du véritable développement de re en fraction conti-

nue, parce qu'il y manque la réduite — ^*