IO IO

Ici (Ax) 4 = 0,0001, A =70, ce qui donne

7 =63.o,oooi = o,oo63.

Les relations obtenues deviendront

Ces égalités serviront pour toutes les racines de l'équation proposée, mais pour celle que nous considérons entre o et 0,1, et dont nous avons posé les valeurs de A, A 3 et A 3 , on trouve

ce qui donne le tableau suivant :

o,oi6355o

—o,oo53393

La première ligne de ce tableau , en y comprenant y 9 rc 1 , suffira pour former toutes les autres; en effet, on aura

c'est-à-dire qu'on obtiendra

en ajoutant — 0,0008148 avec 0,0000618; de même, on aura

o,oi6355o

en ajoutant 0,0171698 avec — 0,0008148, et ainsi de suite. On trouvera en un que la substitution de 0,07 fait changer le signe de y, de sorte que la première racine est comprise entre 0,06 et o ,07. Nous renverrons au n° 15 pour en approcher davantage, par la méthode de Newton.

Voici le tableau semblable pour la seconde racine , comprise entre o, 3 et 0,4 i

0, oooo338

— o,ooo3io8

—0, oooo353

Ainsi , cette seconde racine est comprise entre o, 33 et o, 34, mais plus près de o,33.

Nous calculerons encore la troisième racine, à partir de x = 0,6 :

OylZl

— o,o336oi5

— o,oooo353

Nous nous dispenserons de former le tableau analogue pour la quatrième racine , qui s'obtient en comparant le coefficient — 2 de x 3 dans l'équation proposée

X* — 2JC'-f-^X a < x -A ~ = o,

avec la somme des trois autres racines.

Mais après avoir trouvé ces quatre racines , que nous indiquerons par a/, x" y x"\ x XT , suivant leur ordre de grandeur, nous remarquerons que

x* + x ir =zi et que x" -+- x"' = 1 ,

248 CHAPITBE SIXIÈME.

observation qui nous permettra d'abaisser le degré de l'équation et d'approcher davantage des racines.

Pour y parvenir nous poserons , comme nous l'avons fait à la fin du second chapitre, dans une circonstance analogue,

ce qui nous donnera

70^ — Io5*'4- 3 =r O,

équation bicarrée , d'où l'on tirera facilement les quatre valeurs

x ir = o,93o568i557970246.

Nous terminerons ces considérations sur la manière de former les tableaux des différences par la remarque suivante :

Ce serait une erreur de croire qu'un nombre est limite supérîeure des racines positives d'une équation par cela seul que la ligne horizontale correspondante ne contient que des nombres positifs , ce qui fait qu'il en est de même dans toutes les lignes inférieures pour des valeurs de x plus grandes. En effet, il pourrait exister entre deux de ces valeurs un nombre pair de racines.

Ainsi l'équation

dans laquelle la substitution de x = 3, avec A x = 1, donne

y = 1 , A = 1 2 , A 2 = 46 et A 3 = 6 ,

a deux racines plus grandes que 3, qui sont, à un centième près , 3,2i et 3,22.

91. Nous n'avons parlé jusqu'ici que des équations à coefficients rationnels, qu'il est facile de ramener à n'avoir que des coefficients entiers : dans cette circonstance A m ^ étant constant et

les différences suivantes étant nulles, on exprime y n ou Y par une série d'un nombre limité de termes. Mais il n'en est plus de même pour les équations transcendantes, auxquelles on applique d'ordinaire la méthode des différences.

Cependant, quand les différences d'ordres consécutifs vont en diminuant continuellement, on peut résoudre l'équation transcendante par le même procédé qu'une équation ordinaire. En effet, quand on aura fini par trouver une différence d'un certain ordre tellement petite , qu'on puisse la négliger sans sortir des limites de l'approximation que l'on désire, il est évident que toutes les différences suivantes seront également nulles , et que la différence précédente, à laquelle on arrêtera la série, sera constante.

Ainsi tout se passera comme dans les numéros précédents, sauf pourtant que les différences successives ne seront plus exactement divisibles par les nombres 2, 3,4» 5,..., qui se trouvent en dénominateurs dans les formules, comme nous l'avons vu à la fin du n° 89 ; cependant l'observation que nous avions faite subsiste dans la pratique, car il est clair qu'on ne doit pas calculer de décimales d'un ordre plus élevé que celles qui se trouvent dans la différence que l'on néglige.

Nous nous dispenserons de donner un exemple de solution pour une équation transcendante , puisque les calculs sont absolument analogues à ceux que nous avons déjà faits ; mais nous appliquerons ce que nous avons dit à la construction des Tables de logarithmes , afin de montrer comment on trouve les différences négligeables.

Soient y = Lx, et // = àx la différence constante entre deux valeurs consécutives de x ; on aura

y { = L (x H- h) = Lar -h L ( 1 4- - J

= Lx -h M (

d'où l'on tirera 72, /»,♦ • »> en mettant 2 h, 3h,... f au lieu

Puisque ce développement a été obtenu en formant les différences by , à y , . . . , relatives aux valeurs x , x x , x a , . . . . x a , il est clair que , réciproquement , si Ton y substitue successivement ces n -+- i valeurs de a:, on obtiendra les n -+- i valeurs correspondantes y , y x , /a, • • • , Xn-

Cela posé, voici comment on peut étendre la formule à des valeurs de x non comprises dans une progression arithmétique.

Puisque cette formule est vraie pour les n + i valeurs depuis x a jusqu'à x n = X , on peut admettre ( * ) qu'elle l'est aussi pour toutes les valeurs intermédiaires de x\ Ay , A 3 ^" e , . . . , conservant toujours leurs valeurs primitives. Seulement, pour une quelcon-

que de ces valeurs de x, le rapport — - — ne sera plus un nombre entier; c'est pourquoi on le représente, en général , par z. On aura donc

1 .2.0. . .n en appelant y la valeur que Ton obtient quand on pose

x = hz 4- x 9 , comme cela résulte de la relation

X ■"— Xq Z =r : •

Avant d'aller plus loin , nous devons examiner quelles restrictions on doit reconnaître à la vérité de Ténoncé relatif aux valeurs de x intermédiaires entre x 9 et x n , et sur lequel repose la formule précédente.

Nous remarquerons d'abord que ce théorème est rigoureusement vrai, si la fonction donnée y est un polynôme entier de

(*) Sauf une restriction que nous verrons bientôt.

degré /w, par rapport à x, pourvu que Ton ait nÇ m. En effet, si w = m y la dernière différence à„y 9 est constante, par conséquent les différences suivantes sont nulles : si /i^>w, la série des différences s'arrête avant A„ r - Donc la relation

z(z — i) . z(z — i) (z — 2) j=r *,+ z ày -h -2 Vjr ê -h ^-= ' A 3 ro 4- . . .

doit être regardée comme complètement identique avec le polynôme proposé

y = Ax m -H A,^""" 1 -h Aa-r" 1 "* 2 -+-...,

et Ton vérifierait dans chaque exemple de cette nature l'identité de ces deux expressions de y 9 en substituant

et en faisant quelques réductions : ainsi une valeur quelconque de x y même au delà ou en deçà des limites x a et x„, donne le même résultat de part et d'autre.

Mais si les conditions précédentes ne sont plus remplies, les choses peuvent se passer autrement. L'identité de la fonction

et de la série qui développe y en fonction de z, ne sera plus évidente, comme nous l'avons dit, que pour les valeurs dey qui correspondent aux n+i valeurs de x en progression arithmétique, et pour toutes les autres valeurs de x l'égalité n'aura lieu qu'avec une approximation plus ou moins satisfaisante.

Pour savoir si Ton pourra, en général, se contenter de cette approximation, nous remarquerons qu'elle sera d'autant plus sûre que la série

z (z — 1) zlz — 1) (z — 2) ,

y =/•-«- z Ar, -+- — a 5 /. + -i '-\ i tfy, -+-. . .

se rapprochera plus de ce qu'elle aurait été pour un polynôme entier de .r; nous aurions eu alors, dans le dernier terme, une

différence qui serait restée constante, même si Ton avait continué la série des valeurs de x dans la progression arithmétique et cherché les valeurs de y correspondantes avec leurs différences successives. Il faut donc, pour admettre l'approximation indiquée, que le dernier terme de la série contienne aussi une différence que Ton puisse à peu près regarder comme constante, afin que les différences suivantes soient négligeables , relativement au degré de précision que Ton veut obtenir.

Ainsi, pour faire usage de cette série

z(z — i) , ziz — i) (z — 2) „ y = y. -4- z by + \ J à?y ê + -* -^ ' à 2 y +- . . ,

dans laquelle on a toujours

X ~^ JCq

il faut que les /i -4- 1 substitutions des valeurs primitives de x soient assez nombreuses et assez rapprochées, pour que à n y 9 puisse être regardé comme constant et les différences suivantes comme nulles : c'est-à-dire que , si Ton insérait après x n d'autres valeurs de x suivant la même progression arithmétique et si Ton calculait les valeurs correspondantes de y avec leurs différences, à n y 9 demeurerait constant avec une approximation suffisante, du moins dans un certain intervalle.

Enfin, nous rappellerons que cette formule ne s'applique que pour les valeurs de x comprises entre x et x ny sauf cet intervalle où Ton peut étendre la formule.

Ce procédé est généralemen t assez expéditif , parce qu'on ne fait que le nombre de substitutions nécessaires pour arriver à b n y = constante, et que le nombre n n'est pas d'ordinaire bien considérable quand les substitutions sont assez rapprochées. Comme application de la formule précédente, nous allons calculer le logarithme de

Posons

et cherchons dans la Table les logarithmes de 3,i4; 3,i5 -, 3, 16; 3,17 ; 3, 18; nous aurons le tableau suivant :

—0, ooooooooo3

o } 4983io5538

— o,ooooo43492

— o,ooooo/j32i8

Nous n'insisterons pas sur la formation des différences qui est déjà connue.

En s'arrètant aux différences quatrièmes, on a la formule

( * ) Il est facile de voir pourquoi nous écrivons ici

1 2 3 ^ A*r, et non pas A 4 / î

de même que, dans la formule générale qui donne y en fonction de x, nous avons écrit

comme dans la formule du n° 8«$. En effet, la loi de formation des termes donne nécessairement

*(*-l)(l-!l)...(s — H-hl)

mais si s = » , comme dans le numéro cité , il est elftir que

au contraire, quand b a une valeur qnelconque, ce coefficient ne se réduit point à l'unité.

On a toujours

ici A = 0,0 1, x = ir, x 9 = 3,i4, ce qui donne

Ensuite

Gomme on connaît les valeurs déjà obtenues

A 3 J 6 = — 0,0000043769, A 3 / = 0,0000000277 , et

on trouvera

y = L.ir = 0,4971498726.

On peut donc au moyen d'une Table contenant seulement les logarithmes des nombres de trois chiffres, tels que 3i4 ? 3i 5,.. . , avec dix décimales, calculer avec la même approximation le logarithme d'un nombre quelconque, tel que tt, pourvu que Ton connaisse également dix décimales de ce nombre.

On pourrait douter de cette approximation , parce que Terreur est cent fois plus faible dans y que dans z\ mais les plus hautes unités de Ay 9 sont inférieures de deux rangs à celles de y 9 \ cela fait donc compensation dans le terme zAy 9 > où Terreur est du même ordre que dans y 9 , puisqu'elle se mesure en faisant le produit des plus hautes unités de l'un des facteurs par Terreur de Tautre. On conçoit qu'il y aurait également compensation pour les autres termes de la série.