Capillarité
1. Bases de cette théorie. — Laplace admet que deux molécules dun liquide exercent entre elles une attraction dirigée suivant la droite qui les joint, proportionnelle à leurs masses et dépendant, suivant une loi inconnue, de la distance qui les sépare.
Cette attraction a donc pour expression
mm' f{r),
m et nî étant les masses des molécules, r leur distance, et
f{r) une fonction inconnue de cette distance.
Mais ces hypothèses ne sont pas suffisantes. Clairaut, en effet, les avait énoncées une cinquantaine d'années avant Laplace et n'avait pu en déduire l'explication des phénomènes capillaires. Aussi Laplace admet-il, en outre, que la force attractive décroît rapidement quand la distance des molécules augmente, et qu'elle devient insensible dès que cette
THEORIE DE LAPLAGE
distance dépasse une valeur très petite que l'on appelle rayon cC activité moléculaire. En d'autres termes, Laplace suppose que la fonction
r) =fr{r)
dr
est sensiblement nulle quand r est plus grand que le rayon d'activité moléculaire.
Par suite des premières hypothèses, les forces moléculaires admettent un potentiel
V = N m cp (r) 5
SV ^V DV dont les dérivées partielles — ? — i — ''^présentent les composantes suivant trois axes de la force attractive s'exerçant sur une masse 1 située au point ce, y, z et due à l'action des molécules de masse m.
Si l'ensemble de ces molécules forme un volume, l'expression du potentiel devient
di désignant un élément de volume, p la densité de cet élément et l'intégration étant étendue au volume considéré.
Une nouvelle hypothèse de Laplace permet de simplifier cette expression. Laplace admet, en effet, que la densité est constante. Cette hypothèse n'est pas légitime, car il est probable que la densité en un point situé à une distance de la surface du liquide moindre que le rayon d'activité moléculaire, n'a pas la même valeur qu'en un autre point dont la
POTENTIEL d'une COUCHE SPHÉRIQUE 3
distance à la surface est plus grande que ce rayon. Quoi qu'il en soit de son exactitude, elle conduit à l'expression
Y = pfff^{r)d.;
et, si nous prenons pour unité la densité du liquide considéré, nous avons
y=ffj,(r)d..
2. Potentiel d'une couche sphérique infiniment mince. — Soient p et p + c^p les rayons des deux sphères <jai limitent la couche, et soit a la distance du centre commun O {flg. 1) de ces sphères au point P, pour lequel nous
FiG. I.
voulons la valeur du potentiel. Prenons pour plan de la figure un plan quelconque contenant PO et menons dans ce plan deux rayons faisant avec OP des angles 0 et 6 -|- «^^• I/élément M ainsi déterminé a pour surface p db de, et le volume qu'il engendre en tournant autour de PO a pour valeur
27Tp sinô p dh dp.
Tous les éléments de ce volume étant à la même distancer
du point P, le potentiel en ce point dû à ce volume est
d\ = 27:p2 sinô dp dd ^(r).
Par conséquent, le potentiel de la couche sphérique a pour valeur
V ~ 27rp2 (ip / cp {r) sin 0 dd.
Mais le triangle POM fournit la relation
H = p2 -j- a'i — 2«p cbs f), d'où
rdr = ap sin 6 dd.
Nous pouvons donc écrire
V = Stt - ûî'p / r ® (r) ofr, a J ^(,
rg désignant la distance PA, 7-^ la dislance PB, Posons
/+0O r cp (r) c/r = •} (r) ;
la fonction (j* ainsi définie aura une valeur sensiblement nulle pour toute valeur de r supérieure au rayon d'activité moléculaire, puisque, pour ces valeurs, la fonction cp (/•) est presque nulle par hypothèse.
Introduisons cette fonction i]/ dans l'expression de V. Nous avons
r cf{r)dr = r<f (r) dr + / r cp (r) dr = •} (rj — 4/ (r, ). Mais, si p est fini, la distance r^ est nécessairement plus
