POTENTIEL D UNE SPHERE PLEINE

grande que le rayon d'activité moléculaire. Par conséquent, '\'{r^) est négligeable, et nous avons simplement

\ = ^^tdrH^o> (i)

celte quantité devenant elle-même négligeable quand r^ devient fini.

I>a figure a été tracée dans l'hypothèse que le point P est extérieur à la couche sphérique. Mais le raisonnement s'applique également au cas où le point P est intérieur. La seule différence est que r„, dont la valeur est a — p dans le premier cas, devient p — a dans le second.

3. Potentiel d'une sphère pleine. — Considérons d'abord le cas où le point P est extérieur à la sphère.

Si le point est à distance finie de la surface, les forces attractives exercées sur la masse placée en ce point par toutes les molécules de la sphère sont négligeables; par conséquent, le potentiel est sensiblement nul.

Supposons le point P à une distance très petite e de la surface. Décomposons la sphère en couches sphériques concentriques d'épaisseur dp ; chacune d'elles a pour potentiel enP

dY = ^T:°-dp'l(a — p).

Par conséquent, le potentiel de la sphère entière est

R étant le rayon de la sphère.

6 THEORIE DE LAPLAGE

Si nous posons

a — p = ^, ce potentiel devient

^-^ ^ [z)dz =r / STrif (^) c?^ - - / t^z-l [z] dz.

Mais a étant fini et la fonction (|> [z) sensiblement nulle pour toute valeur finie de la variable, on a approximativement

/ 27r ({/ [z) dz = o, I 'i.Tzz J; [z) dz ■=: o, et par suite

rLv]; [z] dz =f"^^ (-2) dz -^-f^K'^ [z] dz =("271'} [z) dz = 0 (s) , C'kT:z^[z)dz =z f2T:z^{z)dz-\- Clr.z^[z)dz= f'2T:z^z}dz=^^{s). Nous avons donc pour le potentiel en P V=6(e)-^6,(e).

Nous ignorons la forme de ces fonctions G et 0^ , puisque cp et <\i sont inconnues. Nous voyons, toutefois, que 6 et 6, sont sensiblement nulles pour toute valeur finie de e, puisque \j; jouit de cette propriété. Nous pouvons ajouter que 6^ est beaucoup plus petit que 6, car pour les petites valeurs de z, les seules qui soient à considérer d'après ce qui précède, l'élément différentiel 2i:z<^ (z) dz est plus petit que STri]/ {z) dz.

Cette dernière propriété permet de modifier l'expression

POTENTIEL d'une SPHÈRE PLEINE 7

de Y. En effet, quand £ est très petit, a est très peu différent de R. Puisque 6^ est alors très petit par rapport à h nous ne cliangerons pas sensiblement la valeur de V en

remplaçant le coefficient - de 6, par le facteur |^- Il vient

donc