POTENTIEL DU A UN LIQUIDE DE DENSITE VARIABLE

nous nous sommes placés, pour toutes les valeurs de X compatibles avec les liaisons. La condition (7) est donc nécessairei

Supposons qu'elle est remplie, mais que (8) ne Test pas. On peut toujours prendre pour "k des valeurs satisfaisant à (6) et telles que le long dé la ligne de raccordement L le signe de ces valeurs soit en chaque point le même que celui de la quantité

•ni-f — ■^co8(p.

Alors la première intégrale de (5) est nulle, tandis que la seconde, dont l'élément est positif, a une valeur positive ;. par suite, la relation (5) n'est pas sajtisfaite.

Les conditions (7) et (8), jointes à la condition (6), sont donc nécessaires et suffisantes. La condition (7) n*est autre que Téquation de la surface libre du liquide ; elle est identique à celle qu'avait trouvée Laplace.

De la condition ^8) on déduit

cos ® •= — ^-- h

ce qui montre que l'angle de raccordement est constant, résultat que la méthode de calcul de Laplace ne permettait pas d'obtenir.

23. Potentiel dû à un liquide de densité variable. — En 1831, Tannée qui suivit la publication du mémoire de Gauss, Poisson faisait paraître sa Nouvelle Théorie de l'action capillaire^ dans laquelle il reproche à Laplace de supposer

conslante la densité du liquide. Le même reproche s'applique à la théorie de Gauss.

Par des calculs pénibles, Poisson est parvenu à démontrer qu'il était impossible d'imaginer un système de molécules liquides en équilibre sous Faction de leurs attractions mutuelles sans que la densité variât, et que, si Ton tient compte de cette variation de densité, on retombe néanmoins sur l'équation de Laplace pour la surface libre avec cette seule différence que les deux constantes qui y entrent ont une signification plus complexe.

Fort heureusement il n'est pas nécessaire de reprendre l'analyse de Poisson pour arriver à ce résultat. Nous y parviendrons plus simplement.

Cherchons le potentiel d'un liquide de densité variable en

un point M très voisin de sa surface libre S, {fig, 16). De ce point, abaissons la normale MP4 sur la surface. Si l'on se déplace sur cette normale vers l'intérieur du Fig. 16. liquide, la densité varie d'une

manière continue dans le voisinage de la surface libre, puis prend une valeur constante.

Par divers points Pj, P3, P4 de cette normale menons les surfaces d'égale densité Sj, S3, S4. Nous supposerons pour l'instant que la densité varie d'une façon discontinue, quand on traverse ces surfaces, et conserve une valeur constante dans l'espace compris entre deux d'entre elles.

Soient p^, pj, p3 les valeurs de la densité entre S^ et S,, entre Sj et S3 et entre S3 et S4 ; au-delà de S4 nous admettrons que la densité p4 est constante. Nous pouvons supposer