POTENTIEL DU A UN LIQUIDE DE DENSITÉ VARIABLE

la touche de densité p^ limitée par S^, d'une part, mais s'étendant jusqu'à Tinfini, d'autre part, à la condition d'ajouter une couche de densité uniforme pj — p4 depuis S^ jusqu'à rinfini, une autre de densité pj — pa depuis S3 jusqu'à l'infini et enfin une couche de densité p^ — pj depuis S4 jusqu'à l'infini. La recherche de potentiel en M se trouve dès lors ramenée à celle du potentiel dû à divers volumes de densité constante.

Or, nous savons que le potentiel d'un liquide de densité constante et égale à 1 est

Comme 0^ est très petit par rapport à Ô, nous pouvons négliger le second terme, et nous avons pour le potentiel d'un liquide de densité p

Posons

MP, = 6, P,Pa = ç^, P,P3 = Ça, P^P^ = ç, ;

nous obtenons pour le potentiel en M

ou en posant

9ê =0, îo = o»

V = (Pi ~ Po) « (« + W +(P2 ~Pi) ô (t + Ç,) + ...

ou encore

Par conséquent, si nous supposons maintenant que la densité varie d'une manière continue

V =/rfp 9 (« + ;). (10)

Remarquons que la position du pied P^ de la normale abaissée du point M peut être déterminée sur la surface S^ à Taide de deux coordonnées a et p. La position d'un point tel que Pj dépend, en outre, de la valeur de la densité. Par conséquent, la quantité l^^, qui fixe la position de ce point, est une fonction de a, p et de la densité p du liquide.

24. Surface libre et angle de raccordement dans le cas d'une densité variable. — L'hydrostatique nous apprend que, dans un fluide en équilibre, les surfaces d'égale densité coïncident avec les surfaces d'égale pression. Or, nous avons trouvé (7), sans faire aucune hypothèse sur la densité, que la pression en un point d'un fluide pesant est donnée par l'égalité

p = V -f" 5^^+ const.

Les surfaces d'égale pression et, par suite, les surfaces d'égale densité dans un fluide en équilibre ont donc pour équations