SURFACK LIBRE ET ANGLE DE RACCORDEMENT

et réquation de la surface libre est

Donc gz est, pour la surface libre, de Tordre de Ô| (o), tandis que V est de Tordre de Ô. Quand on passe au cas d'une densité variable, Tordre de grandeur de V ne peut changer sensiblement. De même pour les gz de la surface libre. Comme, d'ailleurs, la densité n'est variable que dans le voisinage de la surface libre, les ^^ des surfaces d'égale densité seront également du même ordre de grandeur. Par conséquent, OB peut écrire- les équations (il)

V = const.

Montrons qu'il est possible de satisfaire à cette condition en supposant les surfaces d'égale densité S4, Sj, S3, S4 parallèles entre elles.

En effet, quand les surfaces sont parallèles, (p C^, . . . , ont la même valeur en tout point de ces surfaces et, par conséquent, ne dépendent pas des coordonnées a et p, ils ne dépendent que de p. Si donc le point M appartient à Tune de ces surfaces, s sera constant et (e -|- Ç) ne dépendra que de p. Par suite, en effectuant Tintégration de (40) entre la valeur p^ delà densité au point considéré et sa valeur constante 1 à une distance sensible de ce point, on obtiendra une constante. Le potentiel est donc constant le long des surfaces d'égale densité et la condition d'équilibre est satisfaite.

Ne connaissant pas la forme de la fonction Ô, il nous est

impossible de di-montrer qu'il n'y a pas d'autre sulution

problème. Nous l'admettrons sans démonstration.

Mais, si le polenliel V eut une constante quand « est conatant, ce potentiel est, en général, une fonction de « seulement. Elle devient nulle quand ■ est fini, car dans ce ras e -{- C est également fini et l'élément d'intégrale S (i + î) dp est nul Quand le point est intérieur au liquide et à une distance sen sible de sa surface, t est négatif et fini, et, comme X, est toujours lri:s petit, t -|- Ç a une valeur finie négative. Or, nous avons démontré que S ( — e) ^ A — 9 (e) ; par conséquent, 6 (e -|- ï) se réduit à une constante, et il en est de même de l'intégrale V. En un mot, le potentiel V est une fonction de e jouissant des mêmes propriétés que la fonction 0(E)qui représentait le potentiel dans la théorie de Laplace et celle de Gauss. Comme, dans cette dernière tliéorie, il n'est fait usage que des propriétés de cette fonction, il est évident que nous arriverons aux mêmes conclusions que celles que nous avons trouvées, en remplaçant partout la fonction fl (e) par la fonction V ^ B' (»)■ La surface libre et l'angle de raccordement sont donc donnés par les mêmes équations.

Nous reviendrons plus tard sur d'autres théories de la capillarité tout à fait indépendantes de l'hypothèse des forces centrales. Nous allons maintenant appliquer les résultats trouvés précédemment.

Nous observerons seulement pour le moment que la théorie, dite de la tension superficielle, conduit identiquement au même résultat que celle de Gauas et, par conséquent, que celle de Laplace.

Et, en effet, dans un déplacement virtuel quelconque, le travail de cette tension sera proportionnel à SS, c'est-à-dire

SURFACE LIBRE ET ANGLE DE RACCORDEMENT Gl

qu'il aura précisément la même expression que le travail des attractions moléculaires dans les hypothèses de Laplace et de Gauss.

L'expérience ne peut donc décider entre la théorie de l'attraction et celle, plus récemment en faveur, de la tension. Tous les faits prévus par Tune seront, en effot, également prévus par Fautre.