LES SURFACES DE RIBMÂNN

qui exprime que les deux points M et M' sont sur la surface F = o.

Pour que ces équations puissent être satisfaites pour des valeurs de dx^ dy^ dz^ du différentes de zéro, il faut que leur déterminant soit nul, c'est-à-dire que Ton ait

Cette équation du second degré en - détermine les rayons

de courbure en M. Pour que la surface soit minima il faut que la somme des racines de cette équation soit nulle, ce qui donne la condition

Zx

Dans le cas qui nous occupe, nous avons par suite de la forme de l'équation de la surface

X = 2«'{y + a) + r. Y=:2(y + a), Z = 2^, X;, = 2a" (y + «) + 2«'« + ?", X.v = 2a' X, = o, Y;„=2a', Y» = 2, Y, = 0, Z;, = o, Zy = o, Z, = 2.

Si nous tenons compte de ces relations l'équation précédente se réduit à

2XYXj, — X»Yj, — Y»X«- Z»X« — X«Z,-Z%-Y»Z,= o,

OU

ou encore à

X est du premier degré en y ; le coefficient a'Y — X ne contient pas cette variable ; par suite, le premier terme de cette équation est du premier degré en y. X^c + 2 est du premier degré en y ; le coefficient [y -f- a)^ -[- z^ est du degré zéro, car, d'après Téquation de la surface F = o, ce coefficient est égal à — p. Par conséquent, Téquation précédente est de la forme

A et B étant des fonctions de x seulement.

Pour qu'elle soit satisfaite, quelque soit le point considéré, il faut que Ton ait séparément

équations différentielles qui permettent de trouver a et p.

Il existe donc bien une surface minima passant par les deux cercles, et, d'après son équation, toute section par un plan parallèle à ceux de ces cercles est une circonférence ; c^est là une conséquence facilement accessible à Texpérience.

Riemann a fait le calcul des fonctions a et p; il exige remploi des intégrales elliptiques.

33. Remarques. — Pour démontrer que la surface libre d'une lame mince en équilibre est une surface à courbure moyenne nulle, nous avons exprimé que, d'après la théorie

REMARQUES 8f

de Gauss,

£rU^ - I s + (.,, - I) S,

doit être maximum. Nous aurions pu trouver tout aussi simplement cette condition d'équilibre en partant de l'équation de la surface libre obtenue par Laplace,

Considérons, en effet, deux points M et M^ {fig, 29) ayant le même z des deux faces d*une lame mince. D'après l'é-

quatiop précédente ô~ + ô~ ^^^^ avoir la même valeur en

ces points.

Mais, d'autre part, M et M^ étant très voisins, puisque la lame est mince, les rayons de courbures principaux en ces points doivent avoir sensiblement la même valeur absolue. Comme ils sont de signes différents, puisque l'un des points est sur la face concave, l'autre sur la face convexe, il en résulte que, quand on passe de M en M^ , la somme des inverses des rayons de courbure doit changer de signe, sans que sa valeur absolue varie sen- Fig. 29. siblement.

Cette conclusion n'est compatible avec celle qui précède que si la somme des inverses des rayons de courbure est nulle ou très petite.

Examinons cette analyse de plus près. Nous avons du côté convexe

(*) ^^-|(R;+rJ = ^'

C étant une constante, et du côté concave

(2) ^^'-U^ + iy^'-

Si nous comparons les valeurs des diverses quantités aux points M et M|, nous voyons que z = z\ R'^ = — R^, Ri=: — Rj, et de plus que C = C\ puisque la pression doit être la même des deux côtés, de sorte que l'équation (2) devient

(3) ^^+Kr; + ïï;) = c-

En retranchant (i) de (3) il reste

(*) '^ ik + ïï;)

C'est la condition à laquelle nous sommes arrivés précé demment; mais elle n'est qu'une combinaison de (i) et de (3). Si nous voulions satisfaire à la fois à (1) et à (3), cela serait, en général, impossible ; on pourrait y arriver approximativement si 6| était très grand, parce que les termes gz et C deviendraient négligeables. Ceci nous montrerait qu'une forte tension superficielle est une bonne condition pour la conservation des lames minces.

84. Mais ce n'est pas là la véritable explication. Supposons, par exemple, un cadre plan et vertical; la forme d'équilibre d'une lame mince sera limitée par deux plans verticaux et parallèles. Si on imprime à la lame un déplacement très petit de telle façon que les deux surfaces limites restent deux surfaces parallèles, le travail de la pesanteur sera négligeable ainsi que celui des forces capillaires; c'est