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puisque FG est infini, la parabole pouvant être conservée comme une ellipse, dont l'un des foyers est rejeté à l'infini. La surface de révolution engendrée par la trajectoire est donc dans ce cas une surface à courbure moyenne nulle.

ONDULOIDE

Nous la connaissons déjà ; c'est le caténoïde.

88. Onduloïde. — Plateau a donné le nom d'onduloïde à la surface de révolution engendrée par la rotation de la trajectoire d'un foyer d une ellipse.

Pour trouver sa forme, supposons l'ellipse génératrice d'abord tangente à la droite de roulement à l'extrémité A {fig. 33) de son grand axe. Il est évident que, quel que soit le

Fio. 33.

sens dans lequel on fasse tourner cetteellipse, la courbe décrite par F a des ordonnées égales pour des abscisses égales. La courbe est donc symétrique par rapport à AB ; nous ne considérerons que la portion située à droite de cet axe.

Si nous menions une tangente à l'ellipse et que nous faisions mouvoir son point de contact de A en B la distance du foyer F à cette tangente irait toujours en croissant. Par conséquent, quand la conique roule sur XY, les ordonnées de la trajectoire de F vont constamment en croissant jusqu'à ce que l'extrémité B du grand axe vienne en contact en B' avec la droite de roulement.

Les abscisses vont également en augmentant, car elles ne peuvent cesser de croître que si la tangente à la courbe

"flâ LES EXPÉRIENCES DE PLATEAU

décrite par F devient perpendiculaire hait/ et, par suite, la normale parallèle à cette droite. Or, dans ce cas, le centre instantané de rotation se trouverait rejeté à l'infini, ce qui n'a pas Heu. La trajectoire du point F est donc une courbe de la forme FMF'.

Si l'on continue à faire rouler l'ellipse, la courbe décrite par son foyer est évidemment symétrique par rapport à A'B' de la portion déjà décrite. Il suffît donc de connaître la forme de la courbe FF' comprise entre les axes de symétrie AB et A'B' pour pouvoir tracer tout entière la méridienne d'une onduloïde.

Dans le cas particulier où l'ellipse devient une circonférence, les deux foyers de l'ellipse se confondent avec le centre de la circonférence. Dans le roulement de cette courbe sur jjp, son centre décrit, une droite parallèle kxi/. L'onduloïde se réduit donc, dans ce cas, à un cylindre de révolution autour de xy.

Si l'ellipse s'aplatit indéBniment les foyers se rapprochent de plus en plus des sommets, et la méridienne de l'onduloïde a des points très rapprochés de l'axe de rotation. A la limite l'ellipse se réduit à une droite ayant pour foyers ses deux extrémités, et la trajectoire d'un des foyers est formée d'une série de demi-circonférences ayant leurs centres sur la droite xt/. Par conséquent, l'onduloïde se réduit alors à une série de sphères tangentes entre elles.

39. Nodoïde. — C'est le nom donné par Plateau à la surface ayant pour méridienne la trajectoire du foyer d'une hyperbole.

Considérons l'hyperbole dans la position pour laquelle

NODOIDE

c*est son sommet A {Jig, 34) qui est en contact avec la droite xy, L*axe AB de la conique dans cette position est un axe de symétrique de la trajectoire du foyer F.

Faisons rouler l'hyperbole jusqu'à ce que l'asymptote CD se confonde avec la droite œy ; l'ordonnée de la trajectoire de F ira toujours en croissant, car la distance du foyer d'une hyperbole à une tangente dont le point de contact se déplace de A en C va toujours en augmentant.

Fui. 34.

Quand l'asymptote CD coïncide avec ayy^ nous devons faire rouler l'autre branche de l'hyperbole, le point de contact se déplaçant d'abord sur la branche DB. La distance du foyer F à la tangente à cette branche allant constamment en crois-

sant lorsque le point de contact de cette tangente se déplace de D en B, il en sera de même de Tordonnée de la trajectoire de F pendant le roulement.

Par conséquent, Tordonnée croît d'une manière continue depuis F jusqu'au point F' correspondant à la position de l'hyperbole pour laquelle le contact avec œy se fait en B', second sommet de la conique.

Fio. 35.

Mais, pendant le mouvement, l'abscisse commence par décroître. Quand l'asymptote CD se confond avec œy le centre instantané de rotation se trouve rejeté à l'infîni ; par suite, la normale à la trajectoire de F est à ce moment parallèle à a?y, et la tangente est perpendiculaire à celte ligne. L'abscisse cesse donc de décroître, et elle va en croissant jusqu'en F'. On a, par conséquent, entre F et F' une courbe ayant la forme indiquée FMF'.

La droite A'B' étant évidemment un axe de symétrie comme AB, la méridienne de la nodoïde doit avoir la forme qu'indique la figure 35.