Réalisation expérimentale de ces surfaces

Plateau est parvenu à réaliser expérimentalement ces diverses surfaces, comme nous l'avons dit.

Quand on emploie comme supports rigides deux disques

ÉQTTILIBBB DU CTLINDRB UB RÉVOLTITION plans 011 peut arriver, en ajoutant ou retirant de l'huile avec une pipette, à oittcuir un cylindre de révolution dont les génératrices s'appuient sur les bords des disques.

En rapprochant peu à peu ces disques on obtient une portion convexe d'onduloïde, puis une portion de sphère, puis, enfin, une portion convexe de nodoïde.

Au contraire, en écartant les deux disques, on voit se former une portion concave d'onduloïde qui s'amincit de plus en plus par le milieu et se sépare enfin en deux. La rupture doit correspondre au moment où, l'ellipse étant infiniment aplatie, l'onduloïde donnerait naissance à deux sphères, s'il n'y avait pas de supports solides.

Si l'on emploie comme supports rigides deux anneaux de môme diamètre, on yoit les mêmes surfaces se reproduire de la mâme manière entre les anneaux. Mais, en même temps, les surfaces qui limitent la masse d'huile au-delà des anneaux se déforment et, conformément à la théorie, la courbure moyenne de ces surfaces est égale à celle de la surface comprise entre lea anncau\.

Ainsi, quand cette dernière est un cylindre de révolution, les deux autres sont des calottes sphériques dont le rayon est égal an double de celui des anneaux. Or, pour le cylindre de révolution l'un des rayons de courbure est infini, l'autre est égal au rayon commun H des anneaux; sa courbure

moyenne est donc g- Celle d'une calotte spliérique est -

c'est-à-dire é

1 précédente'

41. Sur la stabilité de l'équilibre du cylindre de révolution, — Par l'étude expérimentale Plateau a reconnu

que le cylindre de révolution est une surface d'équilibre stable, quand la hauteur du cylindre est plus petite que la circonférence de base, tandis qu'il y a équilibre instable dans le cas contraire.

Pour chercher théoriquement les conditions de stabilité du cylindre de révolution, il faut comparer cette surface aux surfaces d'équilibre très voisines et voir dans quels cas la surface du cylindre est un minimum relatif.

Plateau a appliqué cette méthode; mais, au lieu de comparer la surface du cylindre à la surface de Tonduloïde, qui est la surface d'équilibre résultant d'une petite déformation du cylindre, il l'a comparée à la surface de révolution engendrée par la rotation d'une sinusoïde.

Le procédé n'est pas tout à fait correct. Cependant, comme la méridienne d'une onduloïde diffère peu d'une sinusoïde et que ce procédé conduit à la conclusiou trouvée par l'expérience, nous allons l'exposer.

Prenons des axes de coordonnées rectangulaires, l'axe des X étant la droite qui joint les centres des deux disques ou anneaux, c'est-à-dire l'axe de révolution des surfaces d'équilibre.

Les équations des plans de base du cylindre sont

a? = Xat œ = X

et l'une des génératrices de ce cylindre situées dans le plan des xy a pour équation

a étant le rayon des disques ou des anneaux.

Nous pouvons prendre, pour équation de la sinusoïde

engendrant la surface à laquelle nous devons comparer le

cylindre,

y -=. a — [JL -|- p sin a?. (1)

En effet, nous exprimerons que cette sinusoïde s'appuie sur les bords des disques ou dès anneaux en écrivant

[jL =r p sina?Q, [* = P sinâ?^.

Pour que ces deux équations soient satisfaites, il suffit que a?, — x^ soit égal à un multiple entier de 2it. Or, si nous posons

^4 = ^0 + 2lt,

cela revient à prendre une unité de longueur telle que la hauteur du cylindre soit représentée par 2ic ; ce qui est toujours possible.

[JL et p étant liés par une des égalités précédentes, il suffit, pour achever de déterminer Téquation de la sinusoïde, de trouver une nouvelle relation entre [x, p çX a. Pour cela, exprimons que la masse d'huile reste la même, c'est-à-dire que le volume engendré par la rotation de la sinusoïde est égal au volume du cylindre.

Le volume engendré par la sinusoïde est

I izy^dœ^itj (a^ — 2afx-|-[x^)rfa;-j-27c / (a— fx)psina?4-w/ P^sin^o?,

ou, puisque la seconde intégrale du second membre est nulle,

ir [èTT (a* — 2a(x -|- p.*) -}^ p*7c].

Le volume du cylindre étant

Tca^ X 2it,

il faut donc que Ton ait

— 4ajA 4- 2fjt^ -f. p> == 0.

Or, (A et p sont des quantités infiniment petites, puisque la sinusoïde doit très peu différer d'une droite. Par conséquent, la condition précédente sera satisfaite si

car alors [a est un infiniment petit du second ordre, p étant du premier ordre, et le terme 2fx* est négligeable.

Comparons maintenant la surface engendrée par la sinusoïde avec la surface latérale du cylindre.

Un élément ds de la sinusoïde peut s^écrire

ds = y/dœ^ + dy^ = dœ yji + y\ = c?a? \/l -}- p^ cos^o?. En tournant, cet élément engendrera une surface

âirycfo = 27r(a — fit + psina?) \/i + P* cos*a?c?a?

et la surface engendrée par la sinusoïde sera l'intégrale de cette expression prise entre x^ eta?^ . Mais, p^ étant du second ordre, nous pouvons écrire

/ j , oa «-" . , p' cos'g?

Vi + P' cos^o? = 1 -f- t- — >

et

(a — [A + P sina?) ^1 + P^ cos^a? = a — [* "h P sina?-j — ^cos*a?, en négligeant les quantités infiniment petites d'ordre supé-

rieur au second. Par suite, la surface cherchée est

27r f{a — [jl) rfa? + 2îc /p sina? cto -}^ âir / ^ cos^ x dx

ou

La surface du cylindre étant

2ita + 2ir,

elle sera plus petite ou plus grande que celle qui est engendrée par la sinusoïde, suivant que

sera plus négatif ou positif. Si Ton tient compte de Tégalité (2), cette condition revient à

ou

2ita — 27C ^ 0.

il y aura donc équilibre stable si 2?: a < 2?:, et équilibre instable dans le cas contraire. Puisque ^na est la circonférence de base du cylindre, et 27r sa hauteur, à cause de L*unité de longueur adoptée, on arrive bien à la conclusion déduite de Vexpérience.

Cela suffit pour établir que l'équilibre est instable lorsque la hauteur est plus grande que la circonférence de base, mais non pour démontrer la réciproque, puisqu'on n'a com-

100 LES EXPÉRIBNCEa DE PLATEAU

paré le cylindre qu'à une des surfaces infiniment voisines

possibles.

42. Dans sa Théorie de la capillarité, M. Mathieu a repris l'analyse de Plateau. En comparant [') la surface d'un cylindre dont la hauteur est moindre que la circonférence de ses bases à la surface infiniment voisine engendrée par une sinusoïde dont le pas est égal à la circonférence des bases, il trouve que la surface du cylindre est alors moindre que l'autre surface, résultat conforme à celui de Plateau.

Mais, en comparant la surface du cylindre à celle qui est. engendrée par une autre sinusoïde différant toujours infiniment peu d'une droite, il trouve que la seconde peut être plus petite que la première pour des valeurs de la hauteur notablement inférieures à la longueur de la circonférence des bases.

La surface du cylindre n'est donc pas une surface d'aire minimum relatif, c'est-à-dire par rapport à toute espèce de petite déformation, et l'instabilité de ce cylindre doit commencer pour des valeurs de la hauteur bien plus petites que celle trouvée par Plateau.

Mais, puisque c'est l'expérience qui a d'abord fourni à Plateau le résultat qu'il a ensuite essayé de retrouver par la théorie, comment expliquer le désaccord de ce résultat avec celui du calcul de M. Mathieu? C'est ce que celui-ci tente de faire de la façon suivante :

Il Les déplacements très petits que l'on communique ordinairement b la colonne liquide, par exemple en donnant un mouvement vibratoire au vase, ne sont pas absolument quel-

(I) Voir p. 13 et si

e l'ouvrage cité.

l'OUILIBRE DD CYLINDRE DE RÉVOLUTION 101

conques. On conçoit donc que, en se déformant, la colonne liquide ait une tendance à passer par des figures d'équilibre. C'est, en effet, ce qui a été reconnu par Plateau. Alors le méridien de la surface devient une sinusoïde dont le pas est égal à ti^a, et la surface de forme est plus grande que celle du cylindre, si la hauteur de la figure est inférieure à Sna. »

Cette explication est évidemment insuffisante. La véritable cause du désaccord entre les résultats de Plateau et ceux de M. Mathieu est que celui-ci suppose que le rayon de la circonférence d'intersection de la surface de révolution et d'un des plateaux peut subir une variation infiniment petite, tandis que le premier suppose ce rayon constant. Cette cause n'a pas complètement échappé à M. Mathieu, car il fait remarquer - que le liquide peut être un peu maintenu par les disques, par suite de l'adhérence et du frottement », mais il ne la considère que comme secondaire.

La solution du débat revient donc à savoir ai les circonférences des bases varient ou ne varient pas dans une déformation.

Dans les expériences faites avec des anneaux en fil de fer fin, la réponse est immédiate. La surface de révolution devant passer par ces anneaux, les rayons des circonférences de bases conservent la même valeur : le rayon commun ^'lo 36

des anneaux.

Dans le cas où les plateaux sont employés, la constance du rayon n'est pas aussi évidente, car, si le cylindre coupait les plateaux en des points tels que A et B {/ig. 36), situés h une certaine distance des bords, les circonférences

de bases pourraient varier dans une petite déformation; mais, si nous remarquons que le long de la courbe d^intersection Tangle de raccordement de la surface liquide et de la surface du plateau doit avoir une valeur constante, en général différente d'un droit, nous en déduisons que le raccordement ne peut se faire que suivant le bord du disque où, l'arête étant toujours plus ou moins émoussée, Tangle de raccordement peut prendre la vajeur qui lui convient. Dans ces conditions, le rayon des circonférences des bases conserve encore une valeur constante.

48. Dans cette hypothèse, nous allons démontrer, en tonte rigueur, que la surface du cylindre de révolution est un minimum relatif dans les conditions indiquées par Plateau.

Montrons d'abord qu'il suffit de comparer ce cylindre à une surface de révolution de même axe.

Soit S un solide quelconque ayant même volume que le cylindre et une surface plus petite. Je dis qu'il existe un solide de révolution 2' de même volume et de surface plua petite que le solide S.

Coupons S par une série de plans parallèles aux bases. SI Q est la surface d'une de ces sections, Q dœ sera le volume compris entre deux sections infiniment voisines. Nous pouvons imaginer un solide de révolution 2' dont les sections circulaires aient une surface égale aux sections correspond dantes de S. Le volume limité par deux sections infiniment voisines de S' est alors Q dœ, c'est-à-dire que les. volumes élémentaires des solides 2 et 2' sont égaux deux à deux. Par conséquent, 2 et 2' ont le même volume.

Considérons les surfaces. Soient C et C [fig, 37) les sections de S par deux plans parallèles distants de dœ. Projetons la courbe C sur le plan de C, nous obtenons une courbe C", et Taire annulaire comprise entre C et C*' est égale à efQ. En deux points voisins A et B de la courbe C

menons des plans normaux à cette courbe. Ils coupent C en A' et B', Ça" en A*' etB'^, et nous pouvons considérer le solide AA'A'^BB'B'' comme un prisme triangulaire droit.

En appelant ds Télément AB de la courbe C, les surfaces des faces de ce prisme sont

diù = dskK (pourAA'BB')

d^^ =ds kk' (pour AA'BB-')

efa>3 = ds. A'^A' (pour A'A'^B'B'O

et, puisque le triangle AA'A'', rectangle en A", donne

XS^2 == ÂF'^ + rF'2^ on a

Mais diù est un élément de la surface du solide S; par suite, la surface de ce solide est

/rf<o=/VrfW+rfu.î.

!d4 LES EXPéBIENCKS DE PLATEAU "

Or, on a

car, si nous regardons pour un instant c/u), et do>j oomme les variations des coordonnées d'un point d'une courbe plane, le premier membre de l'inégalité représente la longueur d'un arc fini de cette courbe, tandis que le second est la racine carrée de la somme du carré de la différence des ordonnées et du carré de la différence des abscisses des points extrêmes de la courbe, c'est-à-dire la longueur de la droite joignant ces points. La ligne droite étant la plus courte distance de deux points, l'inégalité est bien exacte.

On a donc

/V„>y/(/rf„,)" + (/"".;

Il y a exception ai le solide est de révolution ; dans ce cas, en effet, les aires élémentaires d>a, rfio, , rfwj sont dans un rapport constant ; il en résulte que l'inégalité doit être remplacée par une égalité et que ;

Mais / diO) est l'aire comprise entre les courbes C et C, c'est-à-dire t/Q, D'autre part, puisque AA," est la distance de deux sections

parallèles aux bases etintiniment voisines, on a

diiif = da A A" = dsdx.

et

s étant la longueur de la courbe C. Donc la surface S de la portion du solide 2 comprise entre nos deux plans infiniment voisins parallèles au plan des yz sera

S =fd(a > yjs^ dx^ + rfQa.

Si la courbe C était un cercle de surface Q, son périmètre

s serait égal à v^iîtQ. Le cercle étant de toutes les figures de même surface celle qui a le plus petit périmètre, on doit avoir pour la section solide S qui n'est pas de révolution

et par conséquent

S > V^TcQ dx^ + dÇ^.

Pour le solide de révolution 23' les inégalités précédentes devront être remplacées par des égalités et nous aurons

5 = V'^irQ,

et par conséquent

S' = V47cQ dx^ + rfQ>.

La surface du solide de révolution S' est donc plus petite que celle du solide 23. Par suite, si nous parvenons à démontrer que la surface du cylindre droit est plus petite que celle du solide de révolution de même volume et de mêmes bases, nous aurons par cela même démontré qu'elle est aussi plus

LES EXPBR1BNGE3 DE PLATEAU

petite que celle d'un solide quelconque de même volume et de même base, et la surface du cylindre sera bien un minimum relatif. Pour arriver à ce but démontrons deux lemmes.

44. Lemme 1. — Si deux arcs de méridiens d'onduloïdes de même axe infiniment voisins AMB, AM'B' {/îff. 38), ayant une extrémité A commune et leurs extrémilés B et B' sur

une normale BB' à AM'B', se coupent en un point C tel que les volumes engendrés par AMCM'A et CB'B soient égaux, les surfaces engendrées par la rotalîon de ces arcs sont

Soit S la surface engendrée par AMB, S + 5S la surface engendrée par AM'B' ; soit V le volume engendré par A,AMBB,, et V +BVlevolumeeogendréparA,AM'CB'BB,.

Par hypothèse ces deux volumes sont équivalents et BV est nul; je me propose de démontrer que BS est nul.

Soit, en effet, rfa un élément de la surface AMB ; menons une normale à cet élément et prolongeons -la jusqu'à sa rencontre avec la surface AM'B'; soit X la longueur de cette normale.

Soit dS un élément de la circonférence engendrée par le

point B, et soit ^p l'angle de raccordement, c'est-à-dire Tangle que fait la surface AMB avec BB'.

Une formule que nous avons appliquée bien des fois nous donne

8V = A rf<r, 5S = r^ (ô- + 5-) da + A ^^^89 ^*-

Comme par hypothèse Tangle (p est égal à ^» la seconde intégrale est nulle ; mais la courbure moyenne de Tonduloïde

étant constante, je puis faire sortir îT" 4" ô" ^^ signe / et la première intégrale se réduit à

On a donc

Les deux surfaces AMB, AWB' sont donc égales en négligeant les infiniment petits du second ordre.