Syatèmes laminaires fermés. — En plongeant

dans un liquide un cadre de fils métalliques, on peut, dans certains cas, obtenir un système de lames minces limitant de toutes parts une certaine masse d'air. Les surfaces d'équilibre de ces lames, que Plateau a étudiées expérimentalement, ne diffèrent pas, comme nous allons le montrer, des surfaces d'équilibre d'une goutte d'huile placée dans de l'eau alcoolisée de même densité.

Considérons, en effet, le système formé par les lames et la masse d'air qu'elles enferment, et donnons-lui une déformation virtuelle infiniment petite à partir d'une position d'équilibre.

Le travail de la pesanteur pU Sa- peut être négligé, car, d'une part, la masse du liquide formant les lames est très petite, ces lames étant très minces, et, d'autre part, la masse de l'air enfermé est également petite, l'air ayant une très faible densité; par suite, U est très petit.

En appelant S l'aire totale des faces des lames en contact avec l'air extérieur, l'aire des faces en contact avec l'air intérieur est très sensiblement S, les deux faces d'une même lame étant très voisines et pouvant être regardées comme parallèles. Le travail des forces capillaires résultant d'une

variation d^ de cette aire est donc

O4 étant la fonction relative à Faction des molécules liquides sur elles-mêmes.

Si, en même temps, la surface de contact du liquide et du cadre variait, nous aurions à tenir compte du travail des forces capillaires résultant de cette variation. Mais, cette surface étant proportionnelle à l'épaisseur des lames, elle est très petite, et sa variation peut être négligée.

Il ne reste donc que le travail — 6^ c?S. A ce travail il faut ajouter celui des pressions. Si nous appelons p^ la pression de l'air extérieur, p celle de Taîr intérieur, le travail des pressions intérieures est pdY\ et celui des pressions extérieures — p^dW^dY étant la variation du volume limité par les faces intérieures des lames, dS la variation du volume limité par les faces extérieures. Ces faces étant parallèles et très voisines, rfV et dW diffèrent infiniment peu, et Ton a pour le travail total des pressions

{p - Po) dV.

La condition d'équilibre du système est donc

— Ô, c/23 + (p — Po)^V = o.

Mais nous avons trouvé (21)

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et, d'autre part, pour la variation du volume limité par les