GOUTTES D HUILE EN ROTATION
donc on a pour Téquation cherchée
C étant la fonction de y définie par Tégalité (1).
La courbe représentée par cette équation peut être, suivant les valeurs des constantes qui y entrent, ou bien une courbe fermée aplatie dans le voisinage de Taxe de rotation, ou bien formée de deux courbes fermées symétriques par
Fio. 44.
Fio. 45.
rapport à Taxe de rotation. Le premier cas {fig, 44) correspond à une faible vitesse de rotation, et le volume engendré est un sphéroïde; le second {fig, 45), à une vitesse de rotation considérable, et la masse d'huile forme un anneau.
La courbe admet évidemment Taxe des .v comme axe de symétrie ; mais elle admet également un autre axe de symétrie perpendiculaire au premier et qu'on peut prendre pour axe des y.
Les points où la courbe coupe Taxe des y sont les racines
de l'équation
Cette remarque suffit pour permettre la discussion du problème ; Plateau a observé que, quand on fait croître la vitesse de rotation, la masse, d'abord unique, se décompose en une masse centrale et une masse annulaire. La scission s'opère au moment où l'équation (3) a deux racines égales.
Quand la courbe est unique et coupée par l'axe, la détermination des constantes d'intégration de l'égalité (2) est toujours possible. II n'en est pas de môme quand l'axe de rotation ne rencontre pas la courbe.
49. Plateau est parvenu à établir expérimentalement ta forme sphéroïdale et la forme en anneau. Il a constaté que cette dernière est une forme d'équilibre stable. La démonstration théorique de la stabilité de l'équilibre des anneaux olïrirait de sérieuses difficultés mathématiques, l'intégrale de l'équation (2) étant byperolliptique.
Remarquons, d'ailleurs, que, dans le cas d'un corps animé d'un mouvement de rotation, il n'est pas nécessaire que l'énergie potentielle du système passe par un minimum pour que l'équilibre soit stable. Le théorème de Dirichlet suppose, en effet, que les axes auxquels sont rapportés les points du corps sont en repos.
Quand ces axes tournent, il faut, dans les équations d'équilibre, introduire la force composée définie par le théorème de Corioli s, et la condition d'équilibre de Dirichlet, toujours suffisante, n'est plus nécessaire pour la stabilité.
Faisons également observer que les figures d'équilibre d'une goutte d'huile en rotation ne sont nullement compa-
SYSTEMBS LAMINAIRES KERMRS
illes des planètes, bien que cette opinion soit très
râbles
répandue. Pour qu'il en soit ainsi, il faudrait que l'attraction newtonienne obéisse aux mêmes lois que la force capillaire, ce qui n'est pas. Il paraît même probable que les figures annulaires, stables pour les phénomènes capillaires d'aprës les expériences de Plaleau, son! instables dans le cas de l'altraction newlonietine.
