CHAPITRE V
Dans les deux chapitres qui précèdent, le travail de la pesanteur disparaissait des équations d*équilibre, soit parce qu'il était négligeable vis-à-vis des travaux des forces capillaires, soit parce qu'il était nul. Nous allons maintenant passer à Tétude de quelques problèmes où Faction de la pesanteur intervient dans les équations d'équilibre. Les plus importants sont les problèmes relatifs à l'équilibre des liquides superposés, à la figure d'équilibre d'une goutte placée sur un plan horizontal et à l'attraction ou la répulsion de deux parois verticales plongées dans un liquide.
53. Équilibre d'une goutte liquide reposant sur un liquide plus dense. — Soit ABCD la goutte {fig, 51). Désignons par S sa surface libre ABC; par S', sa surface de contact ADC avec le liquide plus dense sur lequel elle repose; par S'', la surface libre de ce dernier liquide; et par
s' "o"' "a ' ^®^ tensions superficielles sur ces surfaces. Le
travail des forces capillaires résultant d'une déformation virtuelle de la goutte a pour expression
Jusqu'ici nous ne considérions qu'un seul fluide et nous • prenions la densité de ce fluide pour unité. Dans le cas qui nous occupe, appelons p la densité du liquide inférieur, et p^
^ Fio. 51.
celle du liquide qui forme la goutte. Si nous désignons par U et \J^ les volumes respectifs de ces liquides, et par Z et Z^ les distances de leurs centres de gravité au plan des â?y, nous aurons, pour le travail de la pesanteur, Taxe des z étant supposé dirigé vers le bas,
^pU8Z + ^p,U^8Z^.
Par conséquent la condition d'équilibre est
^pUSZ + gp,\],iï, - I «S - *^ 8S' - ®^ SS" = o, (1)
à laquelle il faut joindre les deux équations de liaison
SU = SU^ = o (2)
qui expriment que les volumes des liquides ne changent pas.
Pour transformer ces équations, considérons les nouvelles
positions S, S', 23^ des surfaces S, S', S'' {/îg. 52). Si par
chacun des points des surfaces primitives nous menons des
ÉQUILIBRE d'une GOUTTE LIQUIDE 137
normales à ces surfaces, les longueurs X de ces normales comprises entre ces surfaces et celles qui résultent de leur déformation détermineront ces dernières. En appelant d*s Taire d'un élément de S, nous avons pour la variation de cette surface (n® 21)
8S = / X r^ + p- jrfff +Jl ds cotg<p,
ds étant un élément de la courbe de raccordement, et ^ Fangle de la droite CF, joignant deux positions d'un point de cette
FiG. 52.
courbe, avec la tangente en F à la surface déformée. D'autre part, le triangle CHF, où CH est la normale à S, est sensiblement rectangle en H, et nous avons la relation
CH = CF sin HFC, ou
X = [A sin^,
fx désignant la longueur CF. Par conséquent, nous pouvons
écrire
138 PROBLÈMES OU LA PESANTEUR INTERVIENT Noue trouverions de même pour les autres variations
iS' = j l f g-, + g-, j da' -\-J\f- ds C03 ip',
BS* = / X (g; + ^^ rfff' +Jf. dt cos^.
Pour calculer SU,, remarquons que, si la surface S se dé* formait seule, nous aurions pour la variation de volume
Mais, puisque la surface S' se déforme en même temps, on a
SU, = /x do — A di'.
De mdme, on obtient
BU =fx rf«' + /"l dt".
Les volumes étant invariables, on peut écrire
U,BZ, = SU,Z, = As do —Jy-' da",
UBZ = SUZ =^fy^' da' -hf^ dt,'.
les derniers membres de ces égalités exprimant que la variation du moment du poids du liquide par rapport au plan des cey est égal à la somme des moments, par rapport au même plan, des poids de leurs éléments.
ÉQUILIBRE d'une GOUTTE LIQUIDE 139
L'équation d'équilibre devient donc
+ /x<f<r"[^p^-®^(^, + gj)]- P«(| cos^+ -/cos?'+ *^ co8f')=o (3)
et les conditions de liaison
C\ dfs — fx rfd' = o 1 Tx ^^(y' + fx rfd'' = o I
54. L'équation (3) doit avoir lieu quel que soit X, pourvu que X satisfasse à (4) ; elle aura donc lieu en particulier, si Ton a
Cl dfs = 0, fl dfi' = o, Tx dfj'' = o (5)
ce qui exige que Ton ait
■^ COS (p + -^ cos <p -|- -^ COS (p =0
p, p', p^ étant des constantes.
Mais, pour qu'il y ait équilibre, l'équation (3) doit être satisfaite, quel que soit le déplacement, pourvu qu'il soit
compatible avec les liaisons ; elle doit donc être satisfaite quand même les conditions (5) ne le seraient pas, pourvu que les égalités (4) le soient.
Mais, si nous tenons compte des conditions (6), Téquation (3) se réduira à
p A dfi + p' A dfi' + ^^ Ç\ d^" =
ou, en tenant compte des équations de liaison (4),
P + P' — D/^ Cfd =
Pour qu'elle soit satisfaite pour des valeurs de l'intégrale différentes de zéro, il faut et il suffit que
Telle est la nouvelle condition qu'il faut joindre aux conditions (6) pour qu'il y ait équilibre.
Les trois premières des équations (6) sont respectivement les équations des surfaces S, S', S". La quatrième exprime que les projections des tensions au point C sur la droite CF est nulle, puisque <p, ^\^" sont les angles de cette droite avec les tangentes menées par F dans le plan normal en ce point à la courbe d'intersection. Comme la direction de CF est arbitraire, cette équation exprime que les trois tensions en C doivent se faire équilibre.
Cette condition permet de trouver les angles de raccordement des trois surfaces, quand on connaît les valeurs des tensions. Il suffit pour cela de construire un triangle dont les côtés sont égaux aux tensions. Un des angles de ce triangle
et les suppléments des deux autres sont les angles de raccordement.
Il peut se faire que les valeurs des tensions soient telles que la construction du triangle devienne impossible. Dans ce cas, il n'y a pas équilibre, Tune des conditions de l'équilibre n'étant pas satisfaite, et le liquide surnageant s'étend indéfiniment sur la surface du liquide le plus dense.
C'est ce qui arrive pour une goutte d'huile d'olive placée sur la surface libre de Teau. La tension superficielle de l'huile en contact avec l'air étant égale à 37 dynes, celle de l'huile en contact avec l'eau à 21 dynes, et enfin celle de l'eau avec l'air ayant pour valeur 81, l'un des côtés du triangle est plus grand que la somme des deux autres, car
et l'équilibre ne peut se produire.
Cependant, si la goutte d'huile est de faible volume et la surface de l'eau suffisamment grande, on constate que la goutte d'huile cesse de s'étaler avant d'atteindre les parois du vase. Il y a donc un état d'équilibre. Mais ce fait n'inQrme pas la théorie, car celle-ci suppose que la distance des surfaces S et S', qui limitent l'huile, est supérieure au rayon d'activité moléculaire, ce qui cesse d'avoir lieu quand la goutte d'huile est suffisamment étalée.
55. Liquides superposés contenus dans un tube capillaire. — Soient, comme précédemment, S [fig, 53) la surface libre du liquide le moins dense ; S', sa surface de contact avec le liquide inférieur; S", la surface libre de ce dernier liquide; -^î -^ > -^j les tensions superficielles sur ces sur-
faces. Introduisons, en outre, les surfaces de contact S^ et Sj du tube avec le liquide supérieur et le liquide inférieur, ainsi que les coefficients que j'ai appelés
dans les chapitres i et ii, mais que j'appellerai tji et ri{ désormais, afin d'abréger Técriture, changeant ainsi le sens des notations employées jusqu'à présent.
Fio. 53.
Pour un déplacement virtuel du liquide intérieur au tube, le travail des forces capillaires est
On a encore
8S' = A (^, -f i^y) rfa' +fl ds COtgf
cp et (p' étant les angles de raccordement des liquides et du tube.
Si la surface S se déformait seule, la variation de S^ serait, d'après une formule précédemment trouvée
Ids sincp
mais, comme S' se déforme en même temps, on a
ds
^ j X ds j l di
* ~" / sin a> "" / sin (\
sm(p et
Portons ces valeurs de 8S, 8S', 8S<, 5S; dans l'expression du travail des forces capillaires. Il vient
+ f\(^^^icoig^ds+f\(-^.^^^^^^ *J \sm(p 2 ®V J \sin<p sm<p 2 "V
Le travail de la pesanteur est
comme il est facile de le voir, d'après ce qui a été dit au n** 53. En écrivant que la somme de ces travaux est nulle nous obtenons la condition d'équilibre
144 PROBLÈMES on LA PESANTEUR INTERTIENT à laquelle nous devons joindre l'équalioii de liaison
