Cette condition peut s'exprimer autrement
Nous avons vu précédemment (57) que, dans le voisinage d'une lame plane, la surface d'un liquide satisfait à Téqua* tion
Y étant une constante, x l'angle de la normale intérieure à la surface avec la direction positive de Taxe des Zy et \k étant défini par la relation
Si nous considérons la portion de surface HC située en dehors des lames, nous devons avoir pour un point suffisamment éloigné des lames
(X = o et ^ == o ;
par suite y = i pour cette portion de surface.
Pour la surface comprise entre les deux lames, y peut avoir une valeur quelconque qui dépend de l'écartement des lames; soit C cette valeur.
Au point C, nous avons
z == CA cosa = sinç ;
donc
sm<p = — ^+1.
Pour le point D,
z = DB ; cos a = sin ç,
et par suite
sin® = — î^+C.
^ 2ix
On a donc
DB^ — CÂ^ = 2a(C — I), et par conséquent
Le signe de X dépend de la valeur de C. On voit qu'il y a attraction si C est plus grand que 1, répulsion dans le cas contraire. D'ailleurs, il est presque évident que, si l'on cherche la force X qu'il faut appliquer à la seconde lame pour la maintenir en équilibre, on doit trouver la même expression. On peut donc dire que X représente l'attraction ou la répulsion mutuelle des deux lames.
63. Cherchons quel est le signe de X dans les divers cas qui peuvent se présenter ; nous ne supposons pas que les deux lames soient formées d'une même substance.
Supposons d'abord que les angles de raccordement des surfaces des lames et des surfaces liquides soient tous aigus. Au point D, l'angle a est négatif; au point D|, il est positif. Il existe donc un point de la surface DD^ pour lequel a est
ATTRAGT. OU RÉPULS. ENTRE DEUX LAMES 163
nul ; pour ce point on a
et comme r- est une quantité essentiellement positive, il
faut que Ton ait
11 y aura donc attraction entre les lames.
Si nous supposons les angles de raccordement obtus, a est positif au point D, négatif au point D^. Par conséquent, il existe un point pour lequel a est nul, et Ton arrive encore à la conclusion précédente.
Quand les angles de raccordement avec Tune des lames sont aigus et que les angles de raccordement avec l'autre sont obtus, la surface DD^ coupe, en général, le plan des xy [fig, 59). Par suite, z change de signe quand on passe de D en D^ et comme on a
le rayon de courbure change également de signe. Ce changement de signe ne peut se produire que si R devient infini. La courbe DD, possède donc un point d'inflexion. Or, si on construit les courbes représentées par Téquation
Fio. 59.
C08 ût = c —
en donnant successivement à C des valeurs inférieures, égales et supérieures à l'unité, on trouve que les courbes correspondant à des valeurs plus petites que 1 sont les seules qui puissent avoir des points d'inflexion à distance finie. Il faut donc que, dans le cas considéré, on ait C < 1, et il y a alors répulsion.
Mais les angles de raccordement peuvent être aigus pour Tune àes lames et obtus pour Tautre, sans que la surface liquide comprise entre les lames coupe le plan des œj/. Alors la courbe d'intersection de cette surface par le plan de la figure ne présente pas de point d'inflexion, et C doit être égal ou supérieur à l'unité. Dans ce dernier cas, il y a nécessairement attraction des lames ; quand C = 1, il y a équilibre. Voyons quelles sont les formes des surfaces liquides qui correspondent à cet équilibre.
Fio. 60.
Puisque C = 1 la section de la surface libre du liquide appartient à la courbe
cos a = 1 — T—
Si l'on construit cette courbe en donnant à a toutes les valeurs comprises entre — tc et + tt, on obtient la figure 60. Mais, en opérant avec des lames verticales, on ne peut obtenir
ATTRAGT. OU RÉPULS. ENTRE DEUX LAMES 165
toutes les portions de cette courbe, car, puisque «p est toujours compris entre o et tt et que Ton a a == 90® — ç, a ne peut varier
qu'entre — ^ et + 5* Les portions de la courbe correspon-
dant à ces valeurs de « s'étendent depuis l'infini * jusqu'aux points où la tangente à la courbe est verticale; ce sont donc les arcs ah^a'h\a^h^^ a[b[. De plus, puisque la surface libre du liquide devient plane à une distance suffisamment grande des lames, la section de la surface liquide située à gauche de la lame L est nécessairement une portion de ah ou de àb' ; pour la même raison, la section de la surface liquide située à droite de la lame L| est une portion de h^a^ ou de
Supposons que Tangle de raccordement avec L est aigu,
fe^.
Fio. 61.
et l'angle de raccordement avec L^ obtus. Les seules portions de courbe qui peuvent alors convenir en dehors des lames sont ab pour la gauche, et a^h^ pour la droite. Entre les deux lames on peut avoir une courbe symétrique, soit de la portion utilisée de ab^ soit de la portion utilisée de a^h^^ car il est évident que, dans les deux cas, les angles de raccordement de la surface libre intérieure aux lames avec ces
lames seront respectivement égaux aux angles de raccordement extérieurs. Les figures 61 et 62 représentent les sections des trois surfaces libres dans ces deux cas. On voit facilement que, dans le premier, la somme cp -j- ^4 des angles du raccordement est plus petite que deux droits, tandis qu'au contraire cette somme est plus grande que deux droits dans le second.
Il reste à voir si Tétai d'équilibre qui correspond à ces formes de surfaces libres est stable ou instable. Si nous
jy-
Fio. 62.
rapprochons les lames, la longueur des arcs DD| diminue, mais Tangle DOD| formé par les tangentes en D et D| reste constant, puisque les angles de raccordement ne varient pas. Par conséquent, la valeur absolue du rayon de courbure en
un point de ces arcs diminue et, puisque z = ^> la valeur
absolue de z augmente. Il en résulte que Téquation
cos a = C — s-
satisfaite primitivement pour C = 1, ne peut plus l'être Pfi^intenant que pour des valeurs de C supérieures à l'unité.
POUSSÉE ÉPROUVÉE PAR UN CORPS DE RÉVOLUTION 167 11 y aura donc attraction entre les lames, dés qu'on les aura déplacées, en les rapprochant de leur position d'équilibre.
Par un raisonnement analogue on verrait que, si on écarte tes lames, une force répulsive se produit. L'équilibre est donc instable.
En résumé, quand les angles de raccordement avec les lames sont tous aigus ou tous obtus, il y a toujours attraction ; quand les angles de raccordement avec l'une des lames sont aigus, et les angles de raccordement avec l'autre lame obtus, il y a, en général, répulsion; mais, dans ce cas, il peut yavoir attraction, ou encore les lames peuvent se trouver dans nu état d'équilibre instable.
64. Poussée éprouvée par an corps de révolution en partie immergé. — Soit CAD {fig. 63), le corps de révolution autour d'un axe CD que nous supposerons vertical. Calculons la poussée X qu'éprouve ce corps quand, en partie immergé dans un liquide de densité p, il est en équilibre.
Pour cela donnons au corps un déplacement vertical £ tel que la forme de la surface libre MA ne soit pas changée, cette surface ee prolongeant seulement Jusqu'au contact du corps dans sa nouvelle position C'B'D', et écrivons que la somme des
te
i68 PROBLÈMES OU LA PESANTEUR INTERVIENT
travaux accomplis pendant ce déplacement par toutes les forces du système est nulle.
Le travail des forces capillaires a pour valeur
^Sf étant la variation de la surface de contact du solide et du liquide, et BS celle de la surface libre. En désignant par r le rayon du parallèle passant par la courbe de raccordement A, on a
8S, = 27rrAB,
8S =: 27rrAB',
«t puisque les constantes v), et -^ sont liées par la relation
•ni =:-^COS(p,
^ étant Tangle de raccordement MAE, il vient
Te = I 27cr (AB cos<p'— AB').
Mais, Tangle BAB' étant opposé par le sommet à Vangle <p, il est égal à ce dernier, et la quantité entre parenthèses représente la projection du contour B'AB sur la direction AB' ; cette quantité est donc égale à la projection de la ver» ticale BB' qui ferme le contour. Or, BB' est égal à CC et, par suite, à 6 ; quant à Tangle de B'B et de AB', c'est Tangle formé par le plan tangent à la surface libre au point A avec la verticale ; en appelant & cet angle, il vient
Te = -^ 2irr€ cos X.
Évaluons maintenant le travail de la pesanteur.
Puisque le corps est en équilibre, son poids est égal et directement opposé à la poussée qu'il reçoit de la part du liquide. Celle-ci ayant été désignée par X, le travail de la pesanteur s*exerçant sur le corps est, dans le déplacement considéré,
Xt.
Le travail des forces dues à la pesanteur et s*exerçant sur le liquide est égal à la variation du moment de ces forces par rapport à un plan horizontal, par exemple le plan qui passe par la surface libre du liquide loin du corps. Ayant supposé que, dans le déplacement virtuel donné au système, la surface libre n*a fait que s'étendre jusqu'au contact du corps, cette variation se réduit à
Tp = — mora. de GDD' + mom. de ELG -f mom. de AB'EL,
ou
Tp=— mom.deLHGD'+mom.deEHGD+mom.deAB'EL.
Or, on peut écrire mom. de LHGD' = mom. de E'H'GD' + mom. de LE'HH',
EE • étant une verticale menée par le point de rencontre E du plan des xy avec le méridien du corps. Le volume LE'HH' diffère peu de celui d'un cylindre droit de hauteur HH'= e; il est donc infiniment petit du premier ordre, et son moment par rapport au plan des œy est du second ordre. On peut, par suite, négliger ce moment, et il vient
Tp=-(mom.deE'H'GD'—mom.deEHGD)+mom. de AB'EL.
Mais E'H'GD' n'est autre que le volume EHGD déplacé ; par suite, la difTérence de leurs moments est égale au produit du déplacement vertical e par le poids de l'un de ces volumes ; on a donc
T^ = — fi^p vol. EHGD + mom. de AB'EL.
Il nous reste à évaluer le moment du volume liquide AB'EL. La surface du triangle AA'B' étant infiniment petite du second ordre, le volume engendré par la rotation de ce triangle peut être négligé par rapport au volume engendré par AA'EL, de sorte que Ton a approximativement
mom. de AB'EL = mom. de AA'EL,
ou encore
mom. de AB'EL = mom. de AEF — mom. de A'LF
F étant le point de rencontre de la verticale AA' avec le plan des œy. Si nous prolongeons cette verticale d'une longueur FF' égale à c, nous obtenons un triangle A'E'F' engendrant un volume dont le moment ne diffère du moment du volume A'LF que d'une quantité infiniment petite du second ordre ; par suite,
mom. de AB'EL •= mom. de AEF — mom. de A'E'F'.
Les volumes engendrés par AEF et A'E'F' étant éga\ix, la difTérence de leurs moments, par rapport au même plan horizontal, est égale au produit du poids de ce volume par la quantité 6 dont on abaisse le centre de gravité. On a donc enfin
mom. de AB'EL = e^p vol. AEF
et, par suite,
Tp = — tgp vol. EHGD -f- t^p vol. annulaire AEF.
Si nous écrivons maintenant que la somme de ces divers travaux est nulle, nous obtenons
Tc+Xe + Tp=^2^rïCosx + Xî-s^p(vol.EHGD-vol.AEF) = o
d'où
X = — ^ 2itr cos « + go (vol. EHGD — vol. AEF).
Telle est Texpression de la poussée subie par le corps flottant.
Si la surface libre du liquide était plane, la poussée aurait pour valeur
gp X vol. EHGD.
On voit donc que, si a est aigu, comme dans le cas de la figure 63, les phénomènes capillaires ont pour effet de diminuer la poussée. Mais, si Tangle de raccordement (p est obtus, Tangle a est, en général, également obtus ; de plus, il est facile de s'assurer que le terme gp vol. AEF doit être pris avec le signe -\- quand le point A est au-dessous du plan des an/. Par conséquent, les phénomènes capillaires peuvent avoir quelquefois pour effet d'augmenter la poussée et, par suite, de permettre l'équilibre d'un corps placé sur la surface d'un liquide moins dense.
65. Montrons-le pour un cylindre à génératrices verticales ABCD {fig. 64). Donnons à ce cylindre un déplacement vertical virtuel ne changeant pas la surface libre du liquide.
Le travail des forces capillaires se réduit à
>lie^
t étant le déplacement, et / le périmètre de la section droite du cylindre. Le travail du poids P du cylindre est Pc.
Celui de la pesanteur sur le
IB
Fio. 64.
liquide résulte de la suppression du cylindre ABA'B'; il est donc
Û désignant Taire de la section droite du cylindre, et
X l'ordonnée d'un point de la base AB. La condition d*équi-
libre est donc
Pc — g^Qtz -f- Yj,c^ = o,
d'où
P = gpQz — Tr|,/.
■à Mais 7)4 est ici une quantité négative, car on a 7)4 = -^
cos(p, où -^ est la tension superficielle du liquide qui est une
quantité essentiellement positive, et 9 Tangle de raccordement, lequel, par hypothèse, est obtus. En appelant a la valeur absolue de y|(, il vient
P = g^Qz + ^»
ou
gp^QhzssgpQz -f al,
Pi étant la densité du cylindre, et h sa hauteur, on en déduit
Pour que le cylindre flotte, il faut que h soit plus grand que X, Cette condition n*est pas incompatible avec la précédente, même si p, > p, pourvu que le second terme — -
soit suffisamment grand. Un corps peut donc flotter à la surface d*un liquide moins dense, si Tangle de raccordement est obtus.
