C. — Axes non concourants

46. Engrenages hyperbololdes. — Appliquant toujours la méthode générale, on voit que le mouvement ^r^R' est tangent, à un instant quelconque, au mouve-

lent résultant des rotations — co et cd', respectivement l'axes X et X'. Or ces deux rotations se composent n un mouvement hélicoïdal (Chapitre IV, n^ 25). )oit Y l'axe de ce mouvement. U est clair que, dans lo

BuiCAKl). — Cinématique. 8

mouvement, Y occupe par rapport à chacun des axes X et X' une position constante, cela à cause du fait que ces axes forment une figure de grandeur invariable et que les «vitesses angulaires o) et cd' sont constantes. On en conclut que Y engendre, par rapport à chacun des corps A et A', un hyperboloïde de révolution. On appelle hyperboloïdea primitifa de Tengrenage les deux hyperboloïdes H et H' ainsi engendrés.

Il résulte du théorème du Chapitre V, n.«* 36, que le mouvement R~^K' de A' peut être engendré par la viration de H' sur H.

La construction géométrique d'un couple de surfaces conjuguées est très compliquée. Pour réaliser avec précision un engrenage hyperboloïde, il faut avoir recours â, des procédés mécaniques dont la description ne saurait trouver place ici.

47. Engrenages à vis sans fin. — Un cas particulier intéressant est celiii où les deux axes X et X' sont rectangulaires. On peut obtenir im couple de surfaces conjuguées, de çLéf initions géométriques simples, par les considérations suivantes, sans faire appel aux hyperboloïdes primitifs :

Prenons comme plan de la figure le plan mené par X' perpendiculairement à X (fig. 38). Ce dernier axe- est représenté par un point.

Soient C un cercle quelconque de centre X et de rayon R et C celle des tangentes parallèles à X' qui est la plus rapprochée de cette dernière droite. Construisons ime développante Gr du cercle C. Elle coupe orthogonalement C en M, et Ton a IM = arc TA, par définition même de la développante. Si donc C tourne autour de X avec la vitesse angulaire (o, le point M se déplace sur C avec une vitesse égale à Ro). Si Ton mène en M la tangente G' à G, cette tangente, qui est perpendiculaire à X', est animée d'un mouvement de transla-

AXES NON CONCOURANTS

tion parallèle à X' et dcr vitesse égale à Rw. En somme, G- et G' constituent un couplé de profils conjugués dans l'engrenage à crémaillère qui a pour cercle primitif C et pour droite primitive C

Cela posé, imaginons une surface de vis à filet carré S' d'axe X' (c'està-dire la surface engendrée par une droite qui rencontre X' à angle droit et s'appuie sur une hélice d*axe X').

Soit H le pas de cette surface.

Si on la fait tourner autour de X' avec la Fig. 38.

vitesse angulaire od', il

est clair que sa trace sur le plan de la figure, droite perpendiculaire à X\ subit un mouvement de trans-

lation parallèle à X' et de vitessdk égale à — — Cette

trace pourra donc coïncider constamment avec G' si l'on a la relation

Rw =

co

Cherchons maintenant à construire une surface S, faut pour trace sur le plan de la figure le profil G, et li reste constamment tangente à S'. Le contact doit /oir lieu en M. Or, quelle que soit la position de M ir C, le plan tangent en ce point à S' fait avec le plan Q la figure un angle constant a. Ce plan a en effet

pour ligne de plus grande pente la tangente à rhélice passant en M et Ton a par conséquent

27rR' tang a = -^,

R' étant la distance des droites C et X'. La surface S doit donc être telle que son plan tangent, le long de G, fasse un angle constant a avec le plan de la figure. On peut construire une infinité de surfaces satisfaisant à cette condition. On prendra par exemple l'enveloppe des plans tangents à G qui font l'angle a avec le plan de la figure. Cette surface est un hélicoide déveîoppable, ayant pour arête de rebroussement une hélice tracée sur le cylindre de révolution dont C est la section droite.

Ainsi, quand les deux axes d'un engrenage ne se rencontrent pas et sont rectam^gulaires, on peut obtenir un couple de surfa^ces conjuguées, par le moyen d'une surface de vis à filet carré et d'un hélicoïde développable.

Pour permettre le fonctionnement continu de l'engrenage, il faut, comme pour les engrenages cylindriques, multiplier les couples de surfaces conjuguées. 'A cet effet, on armera C d'hélicoïdes développables, régulièrement répartis autour du centre, de telle manière que les développantes de cercle G, G^ ..., qui sont leurs traces sur le plan de la figure, soient, à un instant quelconque, tangentes aux génératrices. G', G'i ..., qui sont les traces de la surface de vis à filet carré sur le même plan. Il faut pour cela que l'arc AA^ = MM^ soit égal au pas H de la surface de vis. L'arc AAi doit être une partie aliquote de la circonférence de C. Si l'on a

(5) arc A Al ^ H = — ^ — >

n est le nombre des dents du pignon C de l'engrenage.

AXES NON CONCOURANTS 117

Suivant la longueur utilisée des développantes G,Gi..., on peut faire en sorte qu'il y ait simultanément un nombre quelconque de dents en prise avec la vis.

On tire, de la comparaison des formules (4) .et (5),

0)' 2tcR

D'où ce résultat : dcms V engrenage à vis scms fin, le ra/pport des vitesses des rotations de la vis et des pignons est égal au nombre des dents de celui-ci. Comme n peut être assez considérable, on voit que l'engrenage à vis sans fin se prête à une démultiplication importante. En général, l'engrenage à vis sans fin est irréversible. On entend par là que l'on peut commander le pignon par la vis et non la vis par le pignon. Cela résulte de la théorie du frottement que nous n'avons pas à aborder ici. Le fait est semblable au suivant qui est d'observation courante : en faisant tourner une vis dans son écrou, on provoque son mouvement longitudinal, alors que le contraire est impossible, à moins que cette vis n'ait des filets très inclinés.

L'engrenage à vis sans fin que nous venons de décrire est à contact ponctuel. On le construit quelquefois conformément à la théorie exposée. Mais le plus souvent, la vis étant toujours à filet carré, on construit un engrenage à contact linéaire, dans lequel les dents de la roue sont limitées, conformément à la théorie générale, par des surfaces qui sont des portions de l'enveloppe de la surface de vis entraînée dans le mouvement R""iR'. Cette enveloppe est d'une définition géométrique compliquée, mais on la réalise mécaniquement, et d'une façon très exacte, de la manière suivante : on taiUe une fraise ayant le profil de la vis, et on la place en regard du flan dans lequel doit être prise la roue. Un dispositif permet de rapprocher progressive-

ment les axes. En faisant tourner la fraise, mise d'abord en contact avec le flan qui est monté fou sur son axe, on Tentaille peu à peu en même temps qu'on le fait tourner, et Ton arrête l'opération quand les dents ont atteint la profondeur voulue.

Il existe une autre sorte de vis sans fin, dite vis glohique, assez couramment employée aujourd'hui, et pour la description de laquelle nous renverrons aux ouvrages techniques.