X AD = OA + AC = OC
et OC est par construction parallèle à > Vi.
Le point 0' est indéterminé sur une droite X, parallèle
à ^ Vj, et dite axe central de système. Ainsi, un sys-
tème de vecteurs, de résuUcmte générale non nulle, 'peut être réduit à un vecteur glissant aya/nt pour support Vaxe central, et à un couple dont Vaae est parallèle à cet axe central.
On laisse au lecteur le soin de reconnaître que cette réduction n*est possible que d'une seule manière.
THÉOBIS DES VECTEUKS 186
Formules cartésiennes. — Proposons- nous d*obtenir des formules exprimant l'équivalence des deux systèmes de vecteurs glissants considérés plus haut, quand on les rapporte à des axes cartésiens. Soient ai,yi, ^^iies coordonnées du point A^; Xj, Yj, Z, les projections
de Vi; Xi yi zi les coordonnées de A/; X/, Y/, ZJ les projections de V/. Posons en outre
X=2^i, Y=2Yi, Z=2Zi; L =2(yiZi — ^iYi), M =2<^iXi -a^iXi),
Nous dirons que X, Y, Z, L, M, N sont les coordon'
nées du système de vecteurs (Ai, VJ, (A2, V2),.... On définira de même les coordonnées X', Y', Z', L', M', N'
du système de vecteurs (A/, V/), (A/, Vg') ....
Soient maintenant ^, r^, C les coordonnées d*un point
quelconque P. Le moment du vecteur (Ai, Vi) par rapport au point P a pour projection sur Ox, ainsi qu'on Ta vu,
(yi— OZi — (;?i — OYi.
Le moment résultant du premier système de vecteurs par rapport au même point a donc pour projection sur Ox
2(yi — '^)Zi— (^i — OYi = 2 (yiZi-;.iYO- 7i2 Zi + C 2 Yi
= L — 'r|Z + ÎY.
Ses projections sur Oy et sur Oz sont de même
186 CIKÉMATIQUE
M — ex + ÇZ et N — SY + YjX. On a des expressions semblables pour les projections du moment résultant par rapport à P du second système de vecteurs.
Pour que les deux systèmes de vecteurs soient équivalents, il faut et il suffit que leurs moments résultants par rapport au point P soient identiques, quel que soit P. Les projections de ces moments doivent être égales. On doit donc avoir, quels que soient $, tj, Î, les égalités ^
L — 7iZ + ÇY = L' — 7iZ' + ÎY', M — ex -f SZ = M' — eX' + 5Z', N — ÇY + 'nX= N' — iY' +7iX'.
On voit aisément qu'il faut et suffit pour cela que l'on
Ainsi, pour que deux systèmes de [vecteurs glissants soient équivalents, il faut et il suffit qu*ils aient mêmes coordonnées,
Barycentre d'un système de points. — Soient Ai, A2,
... An des points en nombre quelconque. On appelle
barycentre de ces points, affectés respectivement des
coefficients positifs ou négatifs mi, m^, ... m^, de somme
non nulle, un point A tel que Ton ait, étant un
point quelconque, l'égalité vectorielle
(5) (mi + ... -f- mn)0A = miOAi + ... + m^OA^.
Le point étant choisi, l'égalité précédente détermine un point A sans ambiguïté. Montrons que ce point ne dépend pas du choix du point 0.
En effet un autre point 0' conduirait au point A' déterminé par l'égalité
(m, -f ... + mjJO'A' = Wi O'A, -1- ... + mnO'An-
THÉORIE DES VECTEUKS 187
Retranchons membre à membre ces deux égalités, en observant que Ton a
OA — O'A' = 00' + O'A' + A'A— O'A' = 00' + A'A et:
OAi — 0'Ai= 00'.
Il vient
(mj + ... + m^) (00' + A'A) = (mj + ... + m^) 00',
d'où A'A = 0, ce qui montre que le point A' est identique au point A.
Si Ton désigne par B le bary centre des points Al, Aj, ... A„i, l'égalité (6) peut s'écrire
(Wi + ... + m^)OA = (mi -|- ... + mn i)0B + m^OA^,
ce qui prouve que le point A est le barycentre des points B et A„, affectés respectivement des coefficients mi + ... + m,^i et m^. On voit donc que l'on saura construire, de proche en proche, le barycentre de points en nombre quelconque si l'on sait construire le barycentre de deux points. Or, soient les deux points A, et Ag, affectés des coefficients m^ et mg, A leur barycentre. On a par définition
-> m^OAi + mjiOA, OA = »
quel que soit le point 0. En supposant que ce point coïncide avec le point A, on a
wij AAi + ma AAa = 0,
ou
rrii AAi = — ma AAg,
ce qui s'interprète immédiatement ainsi : le point A
divise le segment A, Ag dans le rapport inverse et changé de signe des coefficients m, et m^.
Vecteurs glissants parallèles. — Considérons un sys-
tème de n vecteurs parallèles. Si Y est un vecteur parallèle à leur direction générale, on pourra les noter
(Al, mi V), ... (An, m» V), m,, ... m» étant certains coefficients numériques, positifs ou négatifs.
Si la résultante générale de ces vecteurs est nulle, leur système est, on le sait, équivalent à un couple. Si cette résultante générale n'est pas nulle, ce qui revient à supposer mj + ... + m^ ^ 0, nous allons montrer que leur système est équivalent au vecteur unique,
[A, (m^ + ... + m„) V], A étami le hary centre des points Al, ... A^. Il suffit pour cela d'établir que l'on a, quel que soit le point M, l'égalité
(mi + ... + mn)^^ X AM = > m» V x AiM.
Or, A étant le barycentre des points Aj, ... A„, on a, quel que soit M,
(mi + ... + m„) AM = > m^ AiM.
En effectuant le produit vectoriel de V par chacun des membres de cette égalité, on obtient bien l'égalité (6).
Produit scalaire de deux vecteurs. — Dans les applications de fa théorie des vecteurs, on fait uâage, à côté du produit vectoriel, d'une autre sorte de produit de deux vecteurs, le produit scalaire^ dit aussi proâ/uU intérieur.
Le produit scalaire de deux vecteurs libres Y et V est un nombre, égal au produit algébrique de leurs grandeurs par le cosinus de V angle quHls font entre eux.
On le désigne par la notation V . V.
Il résulte immédiatement de cette définition : lo Que la condition nécessaire et suffisante pour que le produit scalaire de deux vecteurs soit nul est que l'un d'eux au moins soit de grandeur nulle, ou bien qu'ils fassl&nt entre eux un angle droit ;
2o Que l'on a ,V . V = V . V, autrement dit, que la multiplication scalaire des vecteurs est commutaUve, à rencontre de la multiplication vectorielle.
Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est égal au carré de sa grandeur.
On écrit pour abréger
