V, = OM^, V, = 0M„, V/= OM

sont dits comfosantes de V suivant ces axes. La considération du contour OMxy-M, {jl étant la projection du point M sur le plan Oxy, montre que Ton a

Soient d'autre part (X, Y, Z) les coordonnées du point M. On a évidemment

On peut donc écrire :

V = Xi + Y; + Zfc.

On dit encore que X, Y, Z sont les projections de V BUT les trois axes.

Produit vectoriel de deux vecteurs libres. — Soient

Y = OA et V = OA' deux vecteurs libres» auxquels

on donne la même origine (fig. 73). On appelle proâ/uit

vectoriel (ou extérieur} des vec-

-> ->■ teurs V et V et l'on désigne par la

notation

un vecteur libre OB = W satisfaisant aux conditions suivantes :

10 w = 0, si Vangle AOA' est nul ou égal à tt ;

2° s'il n'en est pas ainsi, la droite support de W est perpendiculaire oai plan AOA' ; 3o le sens de la rotation d'un a^gle inférieur à tc qui amène OA sur OA'

— > ■ est direct, relativement à la droite support de W orientée

dans le sens OB ; 4° la gramÂeur de W est égale au pro-

duit des grandeurs de Y et de V par le svnus de Va/ngle

AOA', ou encore est égale a/u nombre qui mesure Vaire du parallélogramme construit sur OA et OA'.

Il résulte immédiatement de cette définition que les

vecteurs V x V- et V x V sont opposés. Autrement dit

Ainsi la multiplication vectorielle, des vecteurs n'est pas commutative. En revanche, elle est distrihutive

THÉOBIE DES VECTEURS

far rcbppart à V addition. Autrement dît, on a l'égalité

(1) V X (Vi + VJ = V X V, + V X V,,

V, Vi et V2 étant trois vecteurs libres quelconques.

Pour démontrer cet important théorème, donnons aux trois vecteurs une même origine (fig. 74); soient

OA = V, OAi = Vj, OA2 = Vg. Construisons le parallé-

logramme OAiBAj. On a OB = Vi 4- Vg.

Menons par le plan P perpendiculaire à OA, et soit Odi^a, la projection sur ce plan du parallélogramme OAiB A2 (le parallélogramme Ooi^at serait aplati, si OA était dans le plan OA^Ag, mais la démonstration n'exclut pas ce cas).

On a régaHté

OA X Vi = OA X Oaj.

En effet, on voit immédiatement que les vecteurs représentés par les deux membres de cette égalité ont même direction, même sens et même grandeur (ce

dernier fait résultant de ce que les parallélogrammes construits d'une part sur OA et OA^, d'autre part sur OA et Oai sont équivalents). On a de même

OAxV,= OAxOa2 et OA x (Vi + ¥.)= OA x Op.

Or le vecteur Oa'i = OA x 004 appartient au plan P ;

pour le construire, il suffit de faire tourner Oai dans le sens direct autour de OA, et Oa'i est égal à OA.Oai,

puisque le sinus dé' l'angle AOa,^ est égal à l'unité.

Les vecteurs Oa', = OA x Oa, et' 0^' = OA x Op donnent lieu à des remarques semblables. On voit donc en résumé que la figure Oa'iP'a'g s'obtient en faisant tourner le parallélogramme Oa^^ag d'un angle droit autour de OA et en altérant ses dimensions dans le rapport de OA à l'unité. Oa'i^'a', est donc aussi un parallélogramme, et l'on a ^

ce qui démontre le théorème.

Nous avons établi que la multiplication vectorielle

est distributive par rapport à l'addition, en ce qui

concerne le multi'plicateur. Elle l'est aussi en ce qui

concerne le muUipUccmde^ c'est-à-dire que l'on a :

->- -> ->- -> -^ -^ -> ( Vi + Va ) X V = Vi X V -f Va X V.

En effet, les deux membres de cette égalité sont égaux aux membres, changés de signe, de l'égalité (1).

II s'ensuit qu'on peut développer le produit vectoriel de deux sommes de vecteurs, en appliquant les règles de la multiplication algébrique, à la condition de ne pas changer l'ordre des "facteurs. On a par exemple :

(Vi + Va)X(V3 + V4)=ViX(V8 + V4)+V,X{V8+V,)

= VixV8 + ViX V4-fVaXV3 + V, XV4.

Indiquons enfin que, dans les calculs de produits vectoriels, on a fréquemment à appliquer la formule suivante :

mV X V = V X mV = m. V x V,

m étant un nombre positif ou négatif. Cette formule résulte immédiatement de la définition du produit vectoriel.

Composantes du produit vectoriel de deux vecteurs. — Remarquons d'abord qu'en vertu de la définition du produit vectoriel, les vecteurs imitaires i, ;, h, définis plus baut, satisfont aux égalités :

^^f^jxJc = — h Xj = i , h X i = — ixh = j,

ixj= — jXi=:k.

Cela posé, considérons deux vecteurs V et V, dont nous mettrons en évidence les composantes suivant les axes :

Effectuons le produit V x Y' en appliquant les règles indiquées et en tenant compte des formules (2). On trouve

V X V = { YZ' — ZY') * + (ZX' — XZ') ;

+ (XY' — YX')t^ .

ce qui montre que le produit vectoriel a pour compo' scmtea suivant les axes les vecteurs

(YZ' — ZY') i, (ZX' — XZ'.) j, (' XY— YX') k\

et par conséquent comme projections sur ces mêmes axes (3) YX' — ZY', ZX— XZ', XY' — YX'.

Bricard. — Cinématique. 12

Moment d'un vecteur glissant par rapport à un point.

— Soit (A, V) un vecteur glissant. On appelle moment

de ce vecteur par rapport à un point M quelconque

le vecteur libre

-^ -^ ->■ 3fll = V X AM.

Ce moment est indépendant du point A choisi pour origine du vecteur glissant sur sa droite support. Soit

en effet SU' le moment qui correspondrait à une autre origine A'. On a

3fïl' = V X A'M , d'où ;

^' __ gpc = V X (A'M — AM) = V x A'A = 0,

car V et A'A sont parallèles. Donc 3^ est bien équipol-

lent à 311'.

Le moment d'un vecteur glissant par rapport & un point de sa droite support est nul, car c'est le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles.

Il est aisé d'obtenir, en coordonnées cartésiennes, les

projections de Oïl sur les axes.

Soient en effet x, y, z les coordonnées de A; x\ y\ z'

celles de M; X, Y, Z, les projections de V. AM a pour

projections x' — x, y' — y et z' -^z. On voit donc, par

-> ^- -> application des formules (3), c^ue 3^ = V X AM a pour

projections

Y(z' — z) — Z(y' — y)^{y — y')Z—\z — z')Y, Z{x'—x)^X(z'~z) == {z—z')X-^(x — x')Z, X(y' — y)'-Ylx'—x) = {x~x')Y — {y — y')X.

Si le point M est à l'origine, a?', y' et z' sont nuls, et les expressions précédentes se réduisent à

2/Z — zY, zX. — a;Z, xY — yX.

Moment résultant d'un système de vecteurs glissants.

— Soient maintenant (Aj, Vi), (Ag, Vg), ... (A^, V») plusieurs vecteurs glissants. On appelle momew* résultant du système de ces vecteurs par rapport à un point M

la somme 3iïl de leurs moments individuels. Ainsi :

2fîl = Vi X AiM + ... + Vn X AnM = ^ Vi X AiM.

Systèmes équivalents de vecteurs glissants. — On dit que deux systèmes de vecteurs glissants

( A„ VJ, ... (a1, Vn) et (A{, Y\), ... (AV, VV)

sont équivalents quand ils ont même moment résultant par rapport à un point quelconque de l'espace. Par exemple, des vecteurs glissants de même origine

(Al, Vj), ... (Al, V„)

forment un système équivalent a/u vecteur unique

(Al, Vj -\- ... + Vft).

On a en effet, quel que soit le point M

2^\iX AM = \\ Vij X AM.

Résultante générale d'un système de vecteurs. glissants. — On appelle ainsi le vecteur libre, équipoUent à la somme des vecteurs libres équipollenls aux yec-

teurs gliBBants considérés. C'est, avec la notation précédente, le vecteur ^ Vj.

Système de vecteurs glissants de résultante générale nulle. — Pour que le moment résuUcm^t d'un système de vecteurs glissants par ra/pport à un point de Vespa>ce soit indépenda/nt de ce point, il fa/ut et il suffit que la résultante générale du système soit nuUe,

Considérons en effet le système (A^, Vi),- ... (A„, V„)

et soient 371 et DU' «es moments résultants par rapport à deux points M et M\ On a

an = ^ Vi X A,-M,

d'où

(4) 311' — 3iïl = ^ Vi X (AiM' — AiM) . '

= ^ vi X MM^ = (^ Vi j X MW.

Si Ton veut que DU' — dïl soit nul, quels que soient les points M et M', il faut que > V» soit nul. En effet,

s'il en était autrement, on pourrait choisir les points M et M' de telle manière que MM' ne fût pas parallèle

à > Vi, et que par conséquent le produit

^ Yi) X MM' fût différent de zéro.

THÉbRIE DBS VECTEURS 181

Réciproquement, si ^ Vi = 0, T égalité écrite plus

haut montre que 2fjl' — 3fîl sera toujours nul, quels que soient M et M'.

Le vecteur 9TI, indépendant du point M, est dit axe du système considéré.

Couple. — On désigne ainsi un système dje deux vecteurs glissants, équipollents à deux vecteurs opposés, mais supportés en général par des droites distinctes.

Un couple constitue un système particulièrement simple de vecteurs, à résultante générale nulle. Il possède donc un axe, qui est son moment résultant par rapport à un point quelconque de T espace.

On peut trouver, d'une infinité de manières, un couple équivalent à un système de vecteurs glissants à résulta/nie générale nulle.

Soit en effet un tel système donné, d'axe 2fîl. Il suffit de montrer que Ton peut trouver, d'une infinité de

manières, un couple d'axe 3TI, car alors le système et le couple auront, par rapport à tout point de l'espace

même moment résultant 9TI, ce qui assure leur équivalence, par définition.

Donnons pour origine au

vecteur 371 un point arbitraire (fig. 75) et dans le plan mené par perpendi-

culairement à 2fR, traçons

une droite D quelconque, à

la condition toutefois de ne^pas^passer par le point 0.

Appelons o la distance du point à la droite D.

On peut construire un vecteur glissant (A, V), supporté par D, et tel que son moment par rapport au

point soit 311 . Il suffit pour cela, B étant l'extrémité

d^ V, de faire en sorte que le nombre mesurant Taire

du triangle OAB soit égale à — > ce que Ton obtient en

faisant

et de donner à AB un sens convenable. Si Ton construit

le vecteur (0, — V) ou OB', il forme avec le vecteur

(A, V) un couple dont l'axe est 9TI. En effet le moment

résultant du couple par rapport au point se réduit

au moment de (A, V), puisque le moment de (0, — V)

est nul, la droite support de ce vecteur passant par le

point 0.

Réduction d'un système de vecteurs glissants à un

vecteur glissant et à un couple. — ' Considérons un

système de vecteurs glissants (A^, Vi), ... (A^, Vn). étant un point quelconque, construisons les vecteurs

glissants (0, VJ, ... (0,VJ et (0, — VJ, ... (0, — V^).

Le système donné est équivalent à celui que Ton forme

en lui adjoignant les 2n nouveaux vecteurs, car ceux-ci

étant deux à deux opposés, leur moment résultant par

rapport à un point quelconque est évidemment nul.

Le système (0,Vi), ... (0,Vn) est équivalent, comme

on Ta vu, au vecteur imique (0, Vj + V, -f ,., + Vn). Quant aux autres vecteurs, on peut les répartir en

THÉOBIE DES VECTEURS 183

couples (Ai,Vi) et (0, — VJ, ... (An, Yn) et (0, — V^)- L' ensemble de ces couples forme un système de résultante générale nulle. Il est donc équivalent, d'une infinité de manières, à un couple, comme on vient de le voir.

Ainsi : un système quelconque de vecteurs glissants peut être réduit à un vecteur glisscmt unique et à un couple, et cela d^une infinité de manières.

On voit qu'on peut astreindre le vecteur glissant à passer par un point arbitraire 0. C'est ce qu'on appelle faire la réduction par rapport à ce point. Ce vecteur est

toujours éqidpollent à la résultante générale ^ Vi du

système. Quant au couple, son axe est évidemment

égal au moment résultant Siïl du système par rapport au point 0.

Réduction canonique. — Supposons que la résultante

générale ^ Vi du système ne soit pas nulle. Proposonsnous de faire la réduction de telle manière que l'axe du couple soit parallèle* à cette résultante générale.

Ayant fait la réduction par rapport au point 0, et adoptant les notations précédentes, il faut chercher

un point 0' tel que le moment résultant 3iïl' par rapport à ce point soit parallèle à N^ Vi. Or on a vu (formule 4) que l'on a

Faisons la construction suivante : construisons (fig. 76) le vecteur OA = 9^, puis le vecteur AB = X ^i» et enfin le triangle OCA, rectangle en C,.et dans lequel

le côté OC est parallèle à AB. Le vecteur AC est le pro-

duit vectoriel de AB par une infinité de vecteurs AD,

tous contenus dans le plan mené par A perpendiculairement à AC et tels que le triangle ADB ait une aire donnée. Leurs extrémités D ont pour lieu une certaine droite D parallèle à AB et bien déterminée par la condition de sens qui intervient dans la définition du produit vectoriel. Choisissons le point D arbitrairement sur cette droite et

Fig.76.

menons 00' équipoUent à AD. Le point 0' satisfait à la condition requise. On a en effet