Enfin le type (VI) nous conduit aux relations
(VI') { /?»«ia; -4- p^X -\- {piaz -4- pia4)Cx -♦- pi^id'^^=Oy
PiUiù'J -♦- PiûtJ)',' -4- (p^(!Ci -4- Pif^tWJ H- p^OC^d'J = 0.
Elles sont indéterminées en p^ : p^ et a^, a^, a- quand on a
Il a, 6. c, d, II « 0,
ce qui représente une variété sextiquc h d — 3 dimensions.
Si pi : p2 est une constante inconnue, les équations sont indéterminées en ai, a^, a^ quand les premiers mineurs du déterminant
I Pi«« -^ p\d» pJ>M -♦- piC, pifix I
sont tous nuls; ceci arrive pour p^ «» et ||e(;rC^|| =» 0, variété cubique à d — 3 dimensions; et pour ||6^C;r|| «. avec |a^d^c^| Bs 0, variété du neuvième ordre k d — 4 dimensions, contenue dans la variété singulière sextique.
Dans Tespace ordinaire, la congruence du type (VI) est formée de cubiques gauches coupant huit fois une sextique gauche de genre trois, et une fois une cubique gauche octosécante de la sextique. Ces directrices n^offrent que neuf conditions, au lieu des dix requises pour une double in6nité de cubiques. Mais le type (VI), de même que le type (V) est un cas limite; il y a donc une condition de contact dont la détermination exigerait rétude approfondie de la congruence. Celte théorie peut être exposée, pour les six types ci-dessus diaprés le modèle que nous avons donné pour la gerbe de cubiques ayant en commun deux points et trois bisécantes (voir notre Étude de quelques surfaces algébriques^ etc., chap. III); de tels développements menacent d*étre longs et monotones; ils ne peuvent trouver place ici.
Dans le plan, les formules (VI) représentent une congruence linéaire de triangles^ douée de neuf points singuliers,
0184386 d'une congraence de variétés algébriques.
20. Appelons classe d'une congruence de variétés algébriques le nombre de fois qu'une droite arbitraire de Tespace contient deux points X d'une des variétés proposées.
Soit la congruence
/ii(a,^) fii{^:X) fiz{a,x)
les formes /"^ étant du premier degré en x-i, x^, ... x^eldu degré Pi -t- qjt en ai, a^, as, et supposons pi ^p^, q^ ^92 ^Çs- Si le point x parcourt une droite yz, on peut poser
les fonctions /i* deviennent fikioLfy) -*- ifij^Çoc^ z). Exprimons alors que la variété
Il /■«(«. y) -*- </«(«, «) Il =
contient deux points de la droite yz ou que les équations
sont compatibles pour deux systèmes de valeurs de p et ^ :
N s II /;,(«, t/) /;.(«. ic) Ma, y) UoL, «) Il « (/c = i , 2, 3).
Considérons les y et les z comme des constantes, a^, a^, aj comme les coordonnées d'un point d'un plan. Omettons, dans N» la seconde ou la quatrième colonne : les deux déterminants obtenus représentent deux courbes en a, de degrés respectifs
Pi -t- 2p2 -^ ^9 6( ^ Pi *^ P2 -^ ^9* ^^ \e\xT% intersections, il faut défalquer les \k points qui rendent proportionnelles les première et troisième colonnes de N ; or on sait que
f* =PÎ -^ PÎ -^ PiP« •+- spsç -4- 2749,.
Si la congruence donnée est linéaire, ^ — 1 des points a sont fixes; s'ils sont simples sur les courbes G pour la matrice M, ils le sont aussi en général pour les courbes G de la matrice N ; alors le nombre variable de points a annulant N est
(2/)i -♦- pî -♦- iq) (pi -*- 2pj -#- 2qf) — 2/tc -4- 1 ^ 2pî -♦- 2pî -h ^p^p^ -♦- 32p27-i-(27)*— Spî — 2pî — 2pip, — 22p27 — 227,(7, -4- \ s 3pip, -»- 2p27 -«- 9Î 4- gî -4- 9Î -f- 1 .
Telle est, «n général^ la classe d'une congruence linéaire; mais elle peut s'abaisser lorsque des points fixes a sont multiples pour les courbes G de la matrice N. Quand tous les nombres q sont nuls, ainsi que p^, la classe est toujours 1 ; nous avons vu que, dans les plus simples de ces cas, la congruence se ramène au type (I).
21. Od peut donc formuler une règle pour découvrir la classe d^une congruence^ quand les formes de la matrice sont linéaires en x : on double la matrice dans le sens des lignes; on remplace, dans chaque moitié du nouveau tableau» les variables x par les coordonnées d'un point y ou d'un point z, et Ton compte le nombre de points a variables qui annulent cette nouvelle matrice. En appliquant cette règle, et en donnant une attention spéciale aux points fixes a, on trouve sans peine les résultats suivants.
Les congruences linéaires du type (I) sont toujours de première elasse; elles constituent, dans l'espace à trois dimensions, le premier type de congruences linéo- linéaires trouvé par M. Veneroni (*).
Les congruences des types (II), (III), (IV), (V), (VI) sont respectivement de classe 3, 4, 2, 4, 6. 11 serait intéressant de rechercher dans quels cas cette classe s'abaisse. Nous ne traiterons pas ici cette question. Mentionnons seulement ce cas particulier du type (II) constituant une coogruence de première classe.
C'est le second type de congruence linéo-linéaire de M. Veneroni ('*'*), si l'on s'en tient à Fespace à trois dimensions : les eubiques gauches qui le constituent sont fournies par les intersections mutuelles des quadriques de deux faisceaux,
«fO. -^ «A
«lOi -♦- AtJCs
ayant toutes la génératrice commune a"d'' ; ces cubiques ont pour direetrices cette droite u'^W qu'elles rencontrent chacune en deux points, ainsi que les deux cubiques
(*) «en
die. tire. mat. Paît
;rino, 1903.
qu'elles rencontrent chacune en quatre points et qui ont aussi Q!^d!^ comme biséeante. M. Veneroni a aussi signalé, en 1904, le cas limite où ces deux cubiques coïncident.
Cubiques gauolies ayant cinq biséoantes communes.
22. Nous allons montrer que le système de cubiques gauches ayant cinq bisécantes communes se ramène à un type signalé au n® 12.
Appelons yV, j/"2", y'"^"', y^^z^^y yfi' cinq droites données définies chacune par deux points. Prenons, sur la première, deux autres points H et L, ayant pour coordonnées
Les six plans menés par chacun de ces deux points et par les trois droites î/"j8", î/'"je'", y'^z*^ ont pour équations
a. = {xyy'z'') -*- h(xzy'z") = A -h AA' = 0, a; = (xy'y'"z''') -*- h{xz'y'''z'") = B + AB' = 0, a'J = (xy'y'^z'') + h(xzYz'') = C-^ hiV = 0,
Nous avons montré (*) que la congruence de cubiques gauches passant par H et L et admettant pour bisécantes j/"»", 2/'"«'", y^^'z'"' a pour équations
«!«« «ïOi «jOi'
Cherchons celle de ces cubiques qui a pour biséeante y^z" : une biséeante d^une courbe variable de la congruence 6 a pour équations
(*) Étuiie de quelques surfaces algébriques, etc. Chap. III.
( il9)
Exprimons que cette bisécante passe par les points j/^ et z*; des quatre relations ainsi obtenues nous tirons
A:At::'=|6;,6;;|:|6;;6,,|:| 6^,6^,1,
Aa, : ^o, : v«5= | o^^ a/; | : j a'J,a,^ \ : \ a^^a'^, \ ;
par division, nous obtenons les valeurs proportionnelles à a^» a^, a^ ; en les portant dans la matrice G, nous aurons la représentation suivante de la courbe cherchée :
£n nous reportant aux expressions données plus haut pour les formes a, 6, nous voyons que les éléments de cette matrice contiennent les x au premier degré; que les éléments de la première ligne sont cubiques en h et ceux de la seconde cubiques en /; que les deux lignes ne diffèrent que par la substitution de / à A. Or, si / et A varient, on a oo^ cubiques gauches ayant pour bisécantes les cinq droites données ; on peut évidemment rendre les paramètres homogènes.
La congruence de cubiques gauches ayant cinq bisécantes communes est représentée par une matrice de six formes linéaires quaternaires contenant les paramètres variables au troisième degré; un paramètre manque dans chaque ligne et les deux lignes ne diffèrent que par le nom des paramètres.
Or, nu n*' 12, nous avons vu qu*une congruence de ce type est linéaire, parce que son évanouissement donne le point double d*une cubique plane rationnelle.
Ainsi apparaît une relation inattendue entre les deux faits géométriques suivants, fort éloignés en apparence et traduits par les mêmes formules analytiques :
Une cubique plane rationfie/fe possède un point double et un seul.
Un point et cinq bisécantes définissent une cubique gauche et une seule.
La ttiéorre des matrices dans l'espace réglé.
Aussitôt que le nombre des variables homogènes des formes considérées dépasse quatre, il se présente des possibiliiéâ algébriques nouvelles; notamment les conditions de Tévanouissement d'une matrice à { lignes et / + 3 colonnes deviennent compatibles en général; il en est de même des conditions nécessaires pour que les premiers mineurs d*un déterminant soient tons nuls.
Pour nous, ces questions d^algèbre n*ont d'intérêt que par leur application à la géométrie, et plus spécialement à la géométrie à trois dimensions. Aussi après avoir montré brièvement ce qui se psse dans le cas de cinq ou de n variables, nous passerons à l'fayperquadrique de Tespace à cinq dimensions; cette théorie, on le sait, est celle de Tespace ordinaire réglé.
Nous avons déjà dit, dans notre première étude, et nous répétons ici, que tous les résultats d'algèbre sont contenus dans une formule unique de M. Giambelli. Pourtant nous démontrons les théorèmes dont nous avons besoin, parce qull est bon d'avoir des procédés pour résoudre chaque problème particulier (*).
Matrices à / lignes et l -^ 5 eoloxmes.
1. S'il y a cinq variables homogènes, une matrice M^||ai>fe|| à / lignes et / -i- 3 colonnes s'annule en général pour un nombre fini de points dans l'espace à quatre dimensioas. lodîquoDS la
(*) {Nous ayons reçu, peu d* jours après renvoi de notre sHmuserH, deux nouvelles notes de M. GiAirasixi, intitulées : Le varieia rappresetètaSe per mezzo di una matrice generica di forme, etc. (Rendic. R. Accad. dei LiNCEi, série 5, t. XiV, séances du 3 et du 17 décembre 4905).]
narehe à suivre peur trouver ces points quand Félémeot a^^ est de degré w^ -+- 9^ en xj, Xj, X3, X4, Xg.
Les / premières colonnes forment un déterminant qui s*annule pour une hypersurface d*ordre
Les / + 2 dernières colonnes représentent une courbe dont l\>rdre y est (voir notre Etude I) une fonction connue des nombres n et 9 figurant dans ces colonnes. Des f/v intersections, il faut défalquer les points annulant la matrice N des / -f- 2 dernières colonnes de M en même temps que la matrice P des l — \ premières colonnes de N.
Mais la recherche de ces derniers points se ramène au problème initial. En effet, les points annulant la matrice des / — 1 premières colonnes de N forment une variété à deux dimensions^ et les points annulant la matrice des I -h 1 dernières colonnes de N en forment une autre Q également & deux dimensions; elles ont en commun des points isolés en nombre facile à caluler. Il faut en déduire les points annulant la matrice des / — 2 premières colonnes de Q ainsi que le déterminant des / dernières et ceci se ramène facilement au premier problème proposé avec une diminution du nombre d'éléments.
Il n*y a pas de difficulté essentielle à chercher les formules générales des problèmes esquissés ci-dessus; mais Tintérèt de ces formules est mince. Nous allons restreindre la généralité pour avoir des résultats plus maniables.
Constatons en passant que, si une matrice de formes quinaires s'annule pour X points, la même matrice de formes à d variables s^annule pour une variété d*ordre X, à d — 8 dimensions, dans Pespace h d — 1 dimensions.
2. Soit une matrice à / lignes et / -t- 3 colonnes de formes quinaires, tous les éléments de la t^"'** colonne étant dWdre 9^-. Lm l ^emières eolonnes forment un déterminant qui s'annule pour une hypersurface d'ordre 2i?^
Les / + 2 dernières colonnes forment une matrice s'annulant pour une courbe d'ordre (voir notre Etude I)
La formule donnant les points communs contient le terme en Çi
Pour les points à défalquer, la lettre Çi n*entre plus en ligne de compte. Or le nombre des points annulant la matrice donnée est évidemment une fonction symétrique des lettres q; donc cette fonction est
3. Soit une matrice P à / lignes et / — 1 colonnes de formes quinaires d'ordre q^ par colonne; faisons-la suivre de trois colonnes de constantes, ce qui donne une matrice N à / lignes et / -f- 2 colonnes ; cherchons le nombre de points communs aux deux variétés annulant P et N. La première est d^ordre
La matrice des / + 1 dernières colonnes de N s'annule pour une variété d'ordre
Dans la formule donnant les points communs, les termes en 9i sont
?î^»"*î«?i •*- qi^'Yiqj -^ qi^^qtqjqk'
]Lia lettre q^ n'intervient pas dans la formule des termes à défalquer ; donc, à cause de la symétrie évidente, le résultat est
4. Soit une matrice N a / + 3 colonnes et / lignes de formes quinaires, les éléments de la t^°^® ligne étant tous de degré m«-. Cherchons les points communs à cette matrice N et à la variété
annulant la matrice P des / — 1 premières colonnes de N ; d*après notre Étude I, la variété P est d'ordre
et la variété Q annulant la matrice des / -^ 1 dernières colonnes de N est d'ordre
Des points communs, il faut défalquer ceux qui annulent la matrice des / — 2 premières colonnes de Q (Lmim^m^)^ en même temps que le déterminant des / dernières colonnes (ïifn)^ sans toutefois annuler la matrice des l — 3 premières colonnes de ce déterminant. Comme d'après le n*" % ces derniers points sont en nombre Iirnj^nh2ni^m^, le résultat final est
ou encore
5. Soit enfin une matrice M de / + 3 colonnes et de / lignes de formes quinaires d'ordre m^ par ligne; cherchons le nombre des points annulant M. Les / premières colonnes représentent une hypersurface d'ordre Sm et les / + 2 dernières colonnes une courbe d'ordre
Des points communs, il faut défalquer ceux qui annulent la matrice N des / + 2 dernières colonnes de M et la matrice P des / — i premières de H, résultat que Ton vient de trouver. La formule finale est donc
et on peut évidemment lui donner diverses autres formes.
Gongruences de droites annulant des matrices.
6. Considérons une matrice || a,v& Il & ^ lignes et / -4- 1 colonnes de formes homogènes en p^g, p^g, ^^4, pgg, p^^, p^ et, pour
restreindre un peu la généralité, supposons que les éléments de chaque ligne soient de même ordre tn^. Si Ton admet la relation identique
n ^ p„p84 •+- pnPkï -^ PhPo « 0,
les quantités pij^ sont les coordonnées plûekériennes d'une droite dans Tespace à trois dimensions. Chaque élément a^^, égalé à zéro, représente un complexe d*ordre 977^. L'évanouissement de la matrice |] a/^ || représente donc une congruence F de droites dont Tordre (et la classe) est
7. En faisant précéder la matrice || a^j^ || d*une ligne de constantes ai, a^, ..., oLi+ifOn a un complexe G d*ordre Sm contenant la congruence F.
Deux complexes C» caractérisés respectivement par les conslaotes a et P, non proportion nelles, ont en commun, d abord la eongr^ienee F, ensuite une congruence A annulant la matrice obtenue en faisant précéder || a^^ \\ des deux lignes de constantes a et p. On peut remplacer les a ou les ^ par des quantités a -^ k^, de sorte que les congruences F et A servent de base à un faisceau de complexes G; si les a et les ^ sont des coordonnées de points dans un espace i / dimensions (/ ^ 2), on peut dire que chaque congruence A est associée à une droite de cet espace.
La congruence A est d*ordre ^mim^; elle a en commun avec la congruence F une surface réglée R dont Tordre se trouve diaprés notre Étude I; seulement, il faut introduire le facteur % à cause de Thyperquadrique n » 0. Voici le degré de R :
Ceci suppose que / vaut au moins 3. Ainsi, deux complexes G circonscrits à la congruence F ont encore en commun une congruence A d'ordre Sm^m^ qui coupe F suivant tme surface réglée d'ordre r.
8. Chaque sorfaee réglée R est détermioée par iid nombre fini de ses rayons. En effet, donner un rayon de F c^est donner un faisceau de relaiîona linéaires entre les éléments de chaque ligne de llo^^lj. Les coefficients d'une de ces relations peuvent être considérés comme des coordonnées homogènes d*un hyperplan dans un espace à / dimensions. Gomme les a et les P doivent vérifier une de ces relations, les points a et p (de coordonnées ait 04, ...y A/^i; |3|, P^, ..., P^^i) doivent être dans un des hyperplans de ce faisceau; la droite a^ doit donc s'appuyer sur le biplan, base de ce faisceau*
Or, on démontre assez facilement, et le fait doit être connu, qu*il existe un nombre fini fx de droites s*appuyant sur 2/ — 2 biplans, et ce nombre fx est égal à 1.2.3. ..(/ — 1).
Par suite, toute iurface R est déterminée par 2/ — 2 de ses rayons, maie non d^une façon unimque^ car un groupe de 2/ — 2 rayons appartient à f/ surfaces R.
9. Trois complexes G, caractérisés par les lignes de con«stanies a, (3, y qui, par hypothèse, n'appartiennent pas à un même faisceau, ont en commun, outre la congruence F, une surface réglée S obtenue en faisant précéder la matrice [ja^^ || de trois lignes de constantes a, |3, y. Si / est au moins 3, Tordre de cette surface réglée est
2Sm|7iitti}s.
La surface S a en commun avec F un nombre fini de rayons. Ge nombre est, d'après le n® 3,
en supposant / au moins égal à 4.
Quatre complexes G ont en général (si / est au moins k) un nombre fini de rayons communs hors de F. Pour les obtenir, il suffit de faire précéder la matrice ||a/^|| de quatre lignes de constantes; la nouvelle matrice s*annule pour un nombre de droites égal à
10. Considérons è présent une matrice i / lignes et / -^ 1 colonnes de formes a^^, les formes d*une même colonne étant du même degré n^ en pi^, Pi5« ••• Cette matrice s*annule pour les rayons d*une congruence T de droites, congruence d'ordre et de classe Lnitii^.
En faisant suivre la matrice d'une colonne de constantes «1* oi^> •••« oLh ^n A la représentation d'une surface réglée T d*ordre ^Sni^i^ris, dont tous les rayons appartiennent i T (en supposant le nombre / -4- 1 de colonnes au moins égal è 3).
Une telle surface T est en général déterminée sans ambiguïté par / — i rayons de F. Car, donner un rayon de F, c'est donner une relation linéaire entre les éléments de chaque colonne de la matrice ||^r>||* L.es coefficients de cette relation peuvent être regardés comme les coordonnées d'un hyperplan dans Pespace à { — 1 dimensions. Les constantes a^, a^, ...> a/, devant vérifier cette relation, peuvent être regardées comme les coordonnées d'un point qui doit être sur Thyperplan en question. Or, en général, / — 1 hyperplans de l'espace è / — 1 dimensions déterminent un point, et un seul. Donc / — 1 rayons de F déterminetii une surface réglée T, et une seule.
Deux surfaces réglées T, définies par des constantes «^,«2» —9 A/ et |3|, P2« •••> P/» non proportionnelles, ont en commun un nombre fini de rayons. Ceux-ci sont représentés par Févanouissement de la matrice ||a/^|| suivie de deux colonnes de constantes* Leur nombre est en général
Un de ces groupes est déterminé par / — 2 rayons de F. Car, donner un rayon de F c'est donner un hyperplan de Tespace à / — 1 dimensions et cet hyperplan doit passer par les points a et P, donc par la droite a^. Or / — 2 hyperplans définissent une droite.
11. Dans le cas où les éléments de la matrice ne sont pas de même ordre en p^^, Pi5>-** ^^ P^^ lig^^ ^^ P^i* colonne, on peut encore (voir Étude II) déterminer les complexes d'ordre le moins
élevé circonscrits à la congruence, ainsi que des surfaces réglées formées de rayons de la congruence. Mais Ténoncédes résultats est pénible, et cette recherche ne fait pas intervenir d'idée nouvelle. Nous y renonçons donc et plaçons seulement ici une remarque sur les matrices i { lignes et / + 1 colonnes de formes toutes du même ordre n en p^^, p^^, ...
La congruence F est alors d'ordre et de classe inH{l + 1).
Les complexes G du n® 7 sont d'ordre ni; les congruences A sont d*ordre et de classe in*/(/ — 1). Les surfaces réglées R sont d'ordre
2n»[/(/ — i)^iW — l)(f — 2)] = in»/(/ — i)(6-+./ — 2)
«in»/(/-4)(/^4).
Les surfaces réglées T du n* 10 sont d'ordre jn'(/^l) / (/ — i).
Comme fait nouveau, nous enregistrons ceci : une congruence A et une surface T quelconques appartiennent toujours à un même complexe d*ordre n(/ — 1), dont l'équation est l'évanouissement d'un déterminant obtenu comme suit : on fait précéder la matrice Ij n^ Il de deux lignes de constantes, on la fait suivre d'une colonne de constantes et l'on complète par deux éléments nuls.
Nous espérons, dans un travail ultérieur, pouvoir préciser et compléter tous ces résultats pour des congruences spéciales du type r.
Évanouissement des premiers mineurs
d'un déterminant.
12. Considérons, pour fixer les idées, un déterminant è trois lignes ja.vtl (t, A:=l, 2, 3), dont chaque élément a,-^ est une forme d'ordre w,- -*-?>& à cinq variables homogènes, oc^, ocg. 0*5, x^, x^.
Il y a, en général, un nombre fini de points x annulant tous les premiers mineurs de ce déterminant. Ces points satisfont à quatre conditions; ils annulent notamment les deux matrices
Ou «IJ flis ««I flji «Ï5
Oii a|2 0|5 Cfsi ^5î C^BS
Ces deux malrices représenlent, dans l^espaee à qualre dimensions, deux surfaces ayant en eommun la courbe
^11 = ^12 "^^15 ""^ ^* ™^is '^^ points de eette courbe sont hors de cause, car généralement aucun d*eux n*annule la matrice
0«l Ojï flgs
Ainsi le problème est ramené à chercher les points communs aux deux surfaces, qui n^appartiennent pas à la courbe commune signalée. Or la surface
«li «« «i»
«« ÛM ««3
d'ordre n] •+■ n\ -i- iiiW, -h (wj -♦- w,) Sp surface û^nOsa — «is^'oi = 0, d'ordre n^ une courbe d'ordre
SpiPi, coupe rhyperfij -*- Pi -*- P2, suivant
[n\ -+- nj -I- iiiW, H- (n, -+- n2)I!p -4- Spip,](ni -^ n^ -^ pi •+• p«).
Il faut en défalquer la courbe de degré (n^ -¥- pi) (n^ + p^) (m -f- P3) annulant a^i c^i^ ^159 ^^^^^ ^^^^^^ ^^^ courbe y de de degré
r = [«î ■+- «î -^ ri,«a -4- (W4 -^ n,)Sp -»- Sp,pj](»i -♦- 115 ^ p, -f- p,) — (Wi -♦- P4)(W4 -4- p2)(w, -♦- p5) = wî(wj H- Wj) -*■ nî(»j -+- rij) -*- WiWjWj -♦- SnifijSp -♦- (nî -*- wj -f- WiWj)(pi -*- pj) -^ («4 -*- w») (pî -♦- pî -^ p,pj) -^ SnSp^p, H- pî(p, -^ ps) ^ pip,p5.
Cette courbe y annule tous les déterminants à quatre éléments extraits du tableau suivant :
flll «H flis
(T) «41 «M aa
Bien que la courbe a^i =» a^^ "^ ^13 ===» ne soit pas partie intégrante de la courbe y, elles ont des points communs isolés, savoir ceux qui annulent à la fois aii.Oi2>«i3 et o^\a^'2 — ^22^31 ; le nombre de ces points est
P = (wi H- p,) («1 -♦- p.) (ni -♦- Ps) (w, -4- «, -♦- p, -I- p.).
Pareillement, par raison de symélriey la courbe y coupe la courbe a^ => a^^ sa 03^ <» en des points dont le nombre est
y s (W| -I- pt) (», -*- p.) (n, -4- Pi) (Ht ^ n, -I- p, -«- p»).
La courbe y coupe Thypersurface 0^0^^ — ^13^31 "=» en y (ni + 115 + pi + P5) points. Mais il faut écarter ceux qui annuleraient a^ et 0^5, ou bien a^i et 05^, sans annuler tous les premiers mineurs de | a^ \. Or, si Ton a a^ = 0^5 =» 0, voici à quoi se réduisent les déterminants extraits du tableau (T) :
«««lî» 0, ai,a,„ ci^aw, a^Un — a«i^ji.
On voit sans peine qu*ils s'annulent simultanément quand on a «12 ■=" ^2i<*32 — Û22Û31 = 0, et ces conditions, avec les hypothèses Cil s» a|5 = 0, représentent les fx points signalés plus haut. Par raison de symétrie, on doit aussi défalquer les v points analogues.
Finalement, le nombre de points annulant les premiers mineurs de | (i^v^ | est donné par la formule
N = r (W4 -*- W3 -f- p, -H Ps) — fx — y.
Un calcul facile transforme cette expression en
•+- 3ll77ififp,p3 -+- 2SM4niPiPt •+- £«*Sp,pï -4- Jln(Iip]pi + 2p,psps) -f- £p?p,p5 -*- Spîpî.
Dans les cas où tous les éléments du déterminant donné sont du même degré n, les points annulant tous les premiers mineurs sont en nombre 6n*.
Lorsque les variables Xi^ x^y ... sont en nombre /, Tévanouissèment de tous les premiers mineurs d'un déterminant à neuf éléments représente, dans Tespace à /— 1 dimensions, une variété algébrique à / — 5 dimensions et d ordre N.
Complexes annulant des déterminants.
13. Considérons encore, pour fixer les idées, un déterminant à neuf éléments a^, mais supposons que ceux-ci soient d'ordre Ui + Pk par rapport aux coordonnées homogènes d'une droite. L'évanouissement de ce déterminant représente un complexe C d'ordre Sn -♦- Sp.
Ce complexe a des rayons doubles, savoir ceux qui annulent tous les premiers mineurs du déterminant | a«^ | .
Pour avoir le nombre de ces rayons, il faut refaire les raisonnements du paragraphe précédent, mais tenir compte en outre de l'identité quadratique entre coordonnées d'une droite. Donc, si N a la même signification qu'au n® 12, le complexe C a 2N rayons doubles.
Quand les éléments de chaque ligne du déterminant | a^^ | sont du même ordre, respectivement n^, n^, n^, on a
Si tous les éléments sont du même ordre n, ou a
14. En se limitant au cas où les éléments de chaque ligne de I a^u I sont d'un même degré, n^, n^ ou n^^ on voit qu'un rayon double d rend les éléments des trois lignes proportionnels à trois^ mêmes constantes ^i, d<2, ^3.
Faisons précéder le déterminant | a^j^ \ d'une ligne de constantes a|, a^, oL^; nous obtenons une matrice qui s'évanouit pour une congruence d'ordre ^n^rf^; cette congruence F est formée de rayons du complexe C. Si les a sont proportionnels aux d, le rayon S est double pour la congruence F; sinon, il est simple pour cette congruence.
Deux congruences F, caractérisées par les constantes a|, a^, ol^ et (3^, (Sg, [35, non proportionnelles, ont en commun les2N rayons doubles du complexe, plus une surface réglée R d'ordre ^nin^n^ dont les équations s'obtiennent en faisant précéder le déterminant I ttii I de deux lignes de constantes a et p.
Un groupe de constantes a^, a^, ql^ peut être considéré comme formé par les coordonnées homogènes d*un point dans un plan; si alors ii|, ti^t ^s sont, dans ce plan, les coordonnées homogènes de la droite a^, les équations de la surface réglée R peuvent s'écrire
E, ^ UiOn -+- u^n •*- «8«i3 =» (t = 1 , 2, 3).
Si la droite u passe par le point (d|, S^, S^\ le rayon double d correspondant appartient à la surface réglée R. Or, par un point d*un plan passent oo^ droites. Donc, chaque rayon double du complexe C appartient à <xA surfaces réglées R.
Soient ti et V deux de ces droites passant par le même point (d|, d^, ^5), et posons
Les équations d*une quelconque des oo^ surfaces R passant par le rayon double $ peuvent s'écrire
rélimination de X donne
Il E* F* Il =0.
Cette matrice représente une congruence d*ordre ^nj^n^^. Donc, les génératrices des 00^ surfaces réglées R qui passent par un même rayon double S engendrent une congruence d'ordre JlniU^.
Évidemment deux rayons doubles S appartiennent à une même surface réglée R; et il existe N(2N — i) surfaces réglées R contenant chacune deux rayons doubles du complexe.
15. Lorsque tous les éléments du déterminant j a^ j sont du même ordre n, il y a un second système de congruences F obtenus en faisant suivre le déterminant d'une colonne de constantes, et un second système de surfaces réglées R, obtenues par l'adjonction de deux colonnes pareilles. Ces nouvelles congruences et surfaces se comportent, vis-à-vis des rayons doubles de C, absolument comme les premières.
On démontre, comme dans le paragraphe préeédent» que deux congntenees de système opposé ont en commun une surface réglée d'ordre lOn^ annulant tous les déterminants à neuf éléments extraits du tableau que voici
ûn
Pi
On
Tous les rayons doubles du complexe appartiennent à chacune de ces surfaces.
Enfin deux congruences de système opposé appartiennent à un même complexe d'ordre 2n représenté par
au
