Soient a^, 6^ des formes cubiques binaires; on sait que
l'équation
al ^ a6Î «=
représente une involution du troisième ordre et du premier rang.
Si deux points x et y appartiennent à un même terne de rinvolution, on a
al -f. a6î = 0, al -^ a6J = ;
en éliminant A et en divisant par x^y^ — ^sViv on a une équation doublement quadratique binaire représentant aussi l'involution; cette équation est symétrique en x et y.
A un point x répondent deux points i/' et ?/"; réciproquement, au point y^ répondent deux points, savoir x à cause de la symétrie et j/'' parce que Téquation représente une involution.
Cette relation possède donc d'autres caractères que la symétrie. Il convient d*étudier la forme analogue ayant pour seul caractère la symétrie.
2. Puisque nous ne ferons pas usage de notations symboliques, il est superflu de conserver les variables homogènes : la forme ^ doublement quadratique binaire et symétrique peut s'écrire en général
f = axY -*- bxy -¥- c •*- hxy(x -*- y) -♦- g{x* -+- y*) -4- f(x -f- y).
Dans le courant de cette étude, nous rappellerons la forme 9. Il est sous-entendu que x et 1/ ne sont pas des coordonnées cartésiennes dans le plan, mais des abscisses de deux ponctuelles, sur un même support par exemple.
L'équation f «= fait correspondre, à tout point x, deux points y. Lorsque ces deux points y coïncident, le point x est un point de ramification de la première ponctuelle. L*équation de ces points de ramification est évidemment
Rî = 4(ax' -^hx-^g) (gx^ -4- /x -h c) — (hx* -t- 6x -♦- /*)' = 0.
A cause de la symétrie, les points de ramification de la seconde ponctuelle sont
Si, comme nous Tavons supposé, les ponctuelles sont superposées; si, en outre, les abscisses x eiy sont comptées à la même échelle, depuis la même origine, les deux groupes de points de ramification coïncident.
A un point de ramification x répond un point double y ; nous déterminerons plus tard ces points doubles D^ et Dy.
On trouve les points correspondants communs aux deux
ponctuelles en faisant x a=s y dans Téquation ^ = 0, ce qui
donne
et = ax* -4- ^hx* H- (6 + 2gf)a:* -4- 2/a: -+■ c == 0.
Ce sont aussi en quelque sorte des points doubles de la forme <p; il leur répond des points Q^ ou Qy définis par la propriété sui-
vante : chacun des points C^ répond è un point y coïncidant avec le point x considéré et à un autre point y appartenant au groupe Q; nous chercherons bientôt Téquation de ces groupes (Kr, QJ.
3. Cherchons les relations qui lient un point quelconque x de la première ponctuelle aux deux points y' et y'' qui lui correspondent dans la seconde. On a évidemment, p étant un facteur de proportionnalité,
p(ax' -^ /ix -♦- 9) = 4
pigx* ^ /a: -4- c) = yY-
Appelons A le déterminant
g f c et Â, B, ..., ses mineurs; les trois dernières relations donnent
pAx == H — B(v' -^ .y") 4- Fi/'v" pà~G --F(.v'-f-t/")-*-Cyy'.
En divisant la seconde par la troisième et la première par la seconde, on obtient
i x[H - B(.y' ^ y-) ^ FyY] = A - H(t/' + y-) ^ Gyy\ ^ «^ \ x[G - F(y' -^ y-) + Ct/'y"] = H - B(y' + y-) + Ft/y.
Les équations (Hf) représentent une homographie du troisième ordre et du premier rang, symétrique par rapport à deux séries de variables j/' et y". Mais, d'une part, il existe des dépendances entre les coefficients des deux équations et, d'autre part, dans chaque égalité le terme en a; a le même coefficient que le terme en (y' H- î/"); d'où il résulte que nous n'avons pas ici l'homo-
graphie la plus générale symétrique par rapport à deux séries de variables.
Pour que les équations (H!) représentent une involutîon du troisième ordre et du premier rang, il faut qu'elles soient aussi symétriques par rapport à a; et y', ce qui exige simplement que Ton ait G =-« B, ou
hf — bg=^ac — j*.
Si dans les équations (Hî) on fait ?/' = x, le point x devient un des points C^ de la forme cp et le point j/" un des points Q,. Faisons cette substitution et écrivons, pour simplifier, y au lieu de j/''; nous aurons
x'(Ft/ — B) — x(Bi/ -f- G^ — 2H) +• H;y — A = 0, x*(Cy — F) - ar(2Fy — B — G) -+■ Bi/ — H = 0.
L'équation Q, s'obtient par élimination de x :
Qî ^ [(Fi/ - B) (Bt, - H) ^ (Gy - F) (Hy - A)]»
- [(Fy ~ B) (2Fy - B - G) - (Gt/ ^ F) (By + Gy - 2H)] [(ByH-G.y-2H)(B.y-H)-(2Fiy-B^G)(H;y-A)]==0.
A cause de la symétrie, l'équation Q^ = ne diffère de la précédente que par le nom de la variable.
4. Si, entre les équations (Hf), on élimine x, on obtient la relation entre deux points y' et y^' de l'une des ponctuelles qui correspondent, par Tintermédiaire de la forme f, à un même point X de Tautre ponctuelle. Voici cette relation :
[H - B(y' -^ y") + Fy't/"]»
= [A ^ H(t/' ^- y-) -^ Qy'y"] [G - F (y' h- y") h- Cy'y"].
Elle est doublement quadratique et symétrique par rapport aux variables y' et y^', donc analogue à la relation <p »»0.
Les couples de points y' et y" qui correspondent à un même point X dans la forme <p se correspondent l'un à l'autre dans une forme analogue à f .
Faisons dans la dernière équation y' tsayff*^ nous aurons les points doubles D^ de la forme <p :
d;= (H ~ 2By ^ FyV - (A - 2Ht/ -4- Gy*) (G - 2Fy ^ Cy«) - 0.
L*équation D^ = ne diffère de D^ >=» que par le nom de la variable.
