Nous avons déjà rencontré Tinvariant de la forme f

9* -*- hf — bg-^ac,

qui s*annule quand la forme représente une involution du troisième ordre. On devine que Tévanouissement du déterminant A doit aussi correspondre è un cas particulier intéressant de la correspondance étudiée. Un lemme préliminaire nous donnera Finterprétarion géométrique du cas où A = 0.

On sait que les relations paramétriques

pxt = Oit* •+- !26,« -f. o (t = 1 , 2, 5)

définissent une conique dans le plan desœ^^x^^x^. Elles donnent, en employant une notation qui s'explique d'elle-même,

«• : 2« : 1 = (xbc) : {axe) : (abx).

Les points d'intersection de la conique avec la droite ti^ = sont déterminés par Téquation

Pour que la courbe dégénère, il faut qu'une certaine droite u la rencontre en une infinité de points; alors l'équation précé* dente est indéterminée, tous ses coefficients sont nuls, donc les relations en u,-.

Ma = 0, tl» = 0, Me = 0,

sont compatibles et l'on a

{abc) = 0.

Or, lorsque ce déterminant est nul, sans que tous ses premiers mineurs s'évanouissent, il existe une seule relation linéaire entre

les éléments de ses lignes, donc une seule droite u rencontrant la courbe en une infinité de points. Et si tous les premiers mineurs de (abc) sont nuls, les quantités a,-, 6,-, c^ sont proportionnelles, les équations paramétriques déterminent les rapports de xi,x^, x^ et ne représentent plus qu*un seul point.

Donc, quand la courbe rationnelle plane du second ordre dégénère, ce ne peut être qu'en deux droites coïncidentes ou en un seul point.

Dans le premier cas, chaque point de la droite trouvée répond à deux valeurs /' et /" du paramètre t, et Ton a

L*égalité des deux premiers rapports donne, en effectuant les calculs et divisant par t^ — <", généralement non nul,

2«'(ai64 — 0,6,) ■♦-(*-♦- t') {a^Ci — a^Ct) -4- 2(640, - 6<c,) = 0,

ou, en appelant A,-, B^, C,- les premiers mineurs de (abc\

En égalant le troisième rapport à Tun des deux premiers, on obtient les équations

2C,«' — Bj(« -♦- V) -^ 2A, = 0, 2C4«' — B,(« ^ «0 -^ 2A, = 0,

identiques à la précédente, puisque, par hypothèse, (a6c) est nul et que ses mineurs A^, B^-, G^* sont donc proportionnels.

Quand les équations paramétriques représentent une droite, les couples de valeurs du paramètre qui donnent un même point de la droite sont en involution.

Nous avions étudié la courbe rationnelle plane du second degré en réponse à une question proposée dans Mathesis (1898, p. 117); nous avons complété cette élude pour le cas de la dégénérescence dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (octobre 1905). Signalons en passant cette thèse annexée à la

dissertation de M. F. Schuh (Amsterdam, 1905) : les notions « courbe rationnelle et courbe de genre nul » ne sont pas idenliques.

6. Voyons Tusage du lemme précédent pour Tétude de la forme <p. Cherchons s'il existe deux points X| et x^ de la première ponctuelle auxquels répondent les mêmes points y^ et y^^ de la seconde ponctuelle. Pour qu*il en soit ainsi, il faut que Ton ait

ax\ -4- hxi -4- g hx\ -*- hx^ ■+- f gx\ -f- /àci -f- c ax\ -f- hx^ -♦- g hx\ •+- 6x, -*- /" gx\ -^ fxf*- c

Considérons, dans un plan quelconque, trois coordonnées homogènes Xi, X^» X3 liées à un paramètre x par les égalités

p\i == ox* -4- Ax •+- gf, pX, = hx* -♦- 6x H- /i pXi = gx* -^ fx -k- c.

Elles définissent une courbe rationnelle du second ordre qui, d*après les conditions écrites à Tinstant, doit avoir un point double et doit donc dégénérer. Cette circonstance se réalise (d*après notre lemme) quand on a

Alors la conique a une infinité de points doubles et les couples de valeurs de x qui donnent un même point double forment une involution représentée par Téquation

Gx,x, — H(x, -+- Xj) -♦- A «^ 0,

ou par deux autres égalités équivalentes à celle-ci.

Lorsqu'il existe un couple de valeurs de x répondant aux mêmes points y par l'intermédiaire de la forme cp, il existe une infinité simple de couples x pareils, et tous ces couples sont en involution. Les couples de points y correspondants sont aussi en involution.