On peut se demander d*abord quelles sont les fonctions

représentées par trois systèmes du premier degré; nous allons

traiter cette question que M. Massau a déjà résolue lui-même par

une méthode un peu différente.

Soient

Oyti -*- byV -^ Cy = 0,

a'Ju -«- b'Jv -♦- ci' =

les équations respectives des lignes des x^ des y et des z ; on a écrit en abrégé a^ pour aj^x + a^, etc. La table graphique représente une fonction z définie par Tégalité ci-après obtenue en éliminant u et t7 :

r Lf r

Uy Oy Cy

Cette équation du troisième degré contient seulement la première puissance de chacune des coordonnées courantes; elle représente une surface du troisième ordre F5, ayant pour points

doubles les points à l'infini sur les axes et passant par les droites à Tinfini des plans coordonnés.

L*équation de F3 est vérifiée, quel que soit %, par les valeurs de X et ly qui satisfont aux relations

(a.a;aî') =

(«XO —

Diaprés noire Première Étude, ces valeurs de x et de t/ annulent les deux matrices suivantes :

a, Oy

L*évanouissement de ces matrices représente deux cubiques gauches de deux systèmes conjugués sur la surface cubique; mais ces cubiques gauches dégénèrent chacune en (rois droites, savoir les droites à Pinfini des plans (yz) et (xz) et une troisième droite parallèle à Oz; les équations de cette troisième droite, pour chacune des deux matrices précédentes, se trouvent facilement et sont respectivement

(«to;«i)

/-rt"

Ces droites sont tout entières sur la surface cubique, puisque leurs équations, avec une valeur arbitraire dez, vérifient Téqualion de la surface. En intervertissant les rôles des variables^ on trouve aussi sur la surface deux droites parallèles à 0^ et deux autres parallèles à 0^ ; dans chacun de ces couples, il y a une droite du premier des systèmes conjugués ci-dessus et une de l'autre système. Il suffit d*écrire de même les équations de toutes ces droites pour voir que Tune quelconque d'entre elles rencontre celles du système opposé qui ne lui sont pas parallèles; en d*autres termes, la surface cubique possède deux droites parallèles à chacun des fixes coordonnés; ces six droites forment

un hexagone gauche, dont les côtés alternants appartiennent à un des deux systèmes conjugués de cubiques gauches sur la surface cubique.

33. On peut poser le problème inverse : Conqaissant une équation du troisième degré en x, y, z qui ne contient chacune des variables qu'à la première puissance, construire une table graphique des valeurs de z, au moyen de trois systèmes du premier degré. La possibilité du problème dépend de deux sortes de circonstances : du nombre de constantes de Téquation donnée qui doit être identifiée à (a6V) «s et de la réalité des solutions.

Puisque, par hypothèse, la fonction donnée est linéaire en x, en y et en z, son évanouissement représente déjà une surface cubique ayant trois points doubles à Tinfini sur les axes et con* tenant les droites de Tinfini des plans coordonnés. Soit

Téquation donnée; elle est satisfaite par une valeur arbitraire de z et par les valeurs de x et j^ qui annulent à la fois cp^ ^^ 4*2 > c'est-à-dire que les droites de la surface, parallèles à Taxe des z, sont données par les points communs aux courbes f^ ^^ 4^2* ^^ sont des hyperboles à asymptotes parallèles qui se coupent donc encore en deux points à distance finie, points réels ou imaginaires conjugués.

Supposons le premier cas réalisé et soit (xq, ^o) ^^ ^^^ ^^^^ points d'intersection de f^ et ^2; soit (x^y yi) un autre point quelconque de <f^; les couples de droites {x — Xq) (y — y|) = et {y — ?/o) {x — xi) = passent par quatre points de la courbe f^, savoir (xq, y 0)9 (^i> Vi) et les points à l'infini des axes; cette courbe cp^ et ces deux couples de droites sont donc trois éléments d'un faisceau de coniques, et l'on doit avoir

fi = l(x — Xo) (y — yi) + wi (x — x^) (y — y^).

De même, si (x^, y^ est un point de ^^^ non situé sur cp^, on

aura

^% = A(x — Xo) (1/ — y,) -♦- f^[% — X,) (t/ — yo).

( 220 ) L*équalion proposée z^^ +• 4*2 = se ramène alors à

(X - o-o) U^iy — yi) -H A(y — y,)]

-^ (y — yo) imz{x — ari) -f- (^(x -

ou encore

X — Xo — m(x — Xi) — fi(x — Xt)

y — yo i(y — yi) My-y^)

Gomme on a choisi arbitrairement les points (xi^yj^) et (xg, j/2), le problème proposé peut être résolu d*une infinité de manières, mais il peut arriver que toutes les solutions soient imaginaires. Le raisonnement précédent conduit à ce théorème connu, du moins en partie :

Si une surface cubique a trois points doubles et passe conséquemment par les droites joignant ces points deux à deux, elle contient en outre deux droites par chaque point double; ces six dernières droites forment un hexagone gauche et sont toutes réelles ou imaginaires conjuguées deux à deux.

34. Passons à la fonction représentée par trois systèmes du second degré. Elle est définie par Tévanouissement d*un déterminant de neuf formes quadratiques, et nous pouvons écrire symboliquement

Fr.=

al bl cl

Cette équation du sixième ordre ne contient aucune des variables à une puissance supérieure à la seconde.

Nous allons d'abord établir quelques propositions relatives è la surface Fg spéciale qui annule un déterminant de la forme ci-dessus; ensuite, nous donnerons des propriétés, plutôt négatives, de la surface la plus générale du sixième degré contenant au plus le carré de chaque variable; enfin, nous verrons les conditions pour que cette surface générale puisse s*écrire sous la forme spéciale du déterminant.

D*abord toute surface du sixième ordre dont l'équation contient chaque variable au plus au second degré possède trois points quadruples à Kinfini sur les axes et trois droites doubles è Pinfini dans les plans coordonnés.

En particulier, si nous considérons Téquation

Fe=(aî 6;« c;'«) = 0,

et si nous donnons è z une valeur particulière, les éléments de la dernière ligne sont des constantes, on peut, par soustraction de colonnes, annuler deux de ces constantes et Ton n*a plus qu'un déterminant à deux lignes d'éléments quadratiques en x et en y. D'après le \V % il représente une quarlique plane binodale qua* drillée. Un trouve le même résultat en faisant x ou y constant.

Dans la surface Fg spéciale^ toute section par une droite double est une quartique binodale qiêadrillée.

En donnant à z une valeur constante arbitraire, on obtient une équation de la forme

Pour tout système de valeurs de ^, ^x, v, elle représente une courbe quadrillée et, d'après le n^ 15, toutes ces courbes ont quatre points communs et deux quelconques d'entre elles se coupent encore aux sommets d'un quadrangle parallèle aux axes des X et des y. Mais ces courbes sont les projections, sur le plan des xy, des sections de Fg par des plans parallèles à celui des xy. Les points fixes communs à toutes ces courbes sont les traces d'autant de droites parallèles à l'axe des z et situées tout entières sur Fg, et le parallélogramme commun à deux de ces courbes est la projection d'un parallélipipède parallèle aux axes coordonnés et inscrit dans la surface (pour abréger, nous appellerons celte figure un parallélipipède inscrit).

Ainsi, toute surface Fq spéciale possède quatre droites par chaque point quadruple, outre les droites joignant ces points qua-

drupleSy et est circonscrite à une double infinité de parallélipi' pèdes.

On démontre sans peine que les centres de ces paraliélipipédes décrivent une surface cubique ayant les droites à Tinfini des plans coordonnés pour droites simples et les points à Tinfini des axes pour points doubles, c'est-à-dire une surface cubique comme celle qui est étudiée au numéro précédent.

Il est évident aussi que chaque section parallèle aux osy possède un parallélogramme caractéristique, limite du parallélipipède compris entre cette section et la section parallèle infiniment voisine.

35. Voyons è présent la surface F^ générale représentée par une équation du sixième degré, où chaque variable ne figure qu'à la première et la deuxième puissance.

Supposons z constant ; la section correspondante de la surface Fq est une quartique binodale représentée par une équation de la forme

OÙ les coefficients sont des fonctions quadratiques de z ; pour que la section soit quadrillée, il faut que Ton ait

(«pV") « 0.

Cette relation détermine en général six valeurs de z. Par clmque droite d'une surface Fg générale^ il n'y a que six sections quadrillées.

Ordonnons F^ par rapport à z :

fi ^> X représentent des quartiques binodales à nœuds coïncidents; dans le cas le plus général, ces trois courbes n*ont pas d*autres points communs que leurs nœuds.

Par chaque point quadruple dune surface F^ générale, il ne passe d'autres droites situées sur la surface que celles qui sont menées aux autres points quadruples.

La surface n*a pas davantage de parallélipipède inscrit, car il faudrait que, pour deux valeurs zi et 7^ de z, les sections soient quadrillées et admettent un parallélogramme inscrit commun, ce qui, diaprés le n® 13, exige quatre conditions et Ton ne dispose que des deux inconnues zi et z^.

36. Il est bien clair que Texistence des trois quaternes de lignes droites par les points quadruples et des oo^ parallélipipèdes inscrits, quoique nécessaire pour que Téquation d'une surface ¥q prenne la forme d*un déterminant, constitue un ensemble surabondant de conditions, et qu'une partie d'entre elles implique les autres. On peut probablement donner plus d'un système irréductible de conditions. Nous allons en indiquer un et montrer en même temps la marche è suivre pour vérifier si ces conditions sont satisfaites et pour former le déterminant. Remarquons en passant que, contrairement à ce qui arrive dans le plan, l'existence d'un parallélipipède inscrit n'entraîne pas celle de tous les autres, comme on le prouve facilement.

Pour que la surface Fq soit spéciale, il faut et il suffit que trois sections quelconques parallèles à un même plan coordonné, projetées sur ce plan, soient trois quartiques binodales ayant quatre points communs et appartenant à un même réseau dont deux éléments quelconques se coupent encore aux sommets d*un parallélogramme inscrit.

Voilà ce que nous allons établir.

Nous savons déjà que ces conditions sont nécessaires; pour voir si elles sont suffisantes, supposons que les trois sections aient été faites par les plans z »> ^, 2; «= A', js «> A'' ; les équations des trois courbes d'intersection peuvent (n^* 15) se ramener aux formes

oî

ai'*

Comme le déterminant | A^ A 1 | n'est pas nul, si les quantités h, h', h" sont différenies, on peut tirer de là çp, t{^, y sous forme de déterminants tels que

par suite z^^ ^. ^j,^ 4- ^ est égal à un délerminant dont les éléments des trois lignes sont des fonctions quadratiques, respectivement en z, en x et en y^ ce qu'il fallait obtenir.

Si Ton a donc une certaine fonction Fg contenant x^ y y z au premier et au second degré, et si Ton veut, à la fois s assurer que la transformatiou en déterminant e&t possible et effectuer cette transformation, on suivra la marche que voici :

On prend trois sections planes quelconques parallèles à un des plans coordonnés, celui des xy par exemple. On choisit les sections dont les équations sont les plus simples; généralement, le plus facile est de prendre directement les fonctions <p, 4* X qui multiplient les puissances de z; elles correspondent respectivement, ^ à la section par le plan xy, <]; à la section infiniment voisine, (p à la section z = oo, c'est-à-dire au cylindre tangent è la surface Fg en son point quadruple à Tinfini sur Taxe desz.

Pour plus de généralité, supposons ces sections faites par les plans z = /î, J5 = /i', 2 = A" et posons

h*f -^ h^ •*- X ^ y*(aiX* -»- 26,x -»- Cj) -«- 2«/(o,x* + 26,x -1- Cj)

-*- (flaX* -H 268X -*- C5);

pour les deux antres sections, remplaçons a, b, c par a', b', c', puis par a", 6", c".

On s'assure d'abord que les déterminants À^(a6c) et A'^(a'6'c')

^oqV^uls; c^ soqt deux premières copdijlions. On fpro^ alors (vojr n^ iS) les éiquaiiops

(o'6c)x* -f- 2(6'6c)a: + (jc'bc) = 0, (o6V).x* "h 2(66V)x -^ (ç6V) = 0;

w s*«ssiir.e qu'elles sont identique-s,ise qui .donoe deux Xifuvejles ocM^dîlÂons; on représente alors Tune ou r^uiredecesiquations par a*,f»0, M i^om a un eoupje de Cj^iés .apposés du par^Jliélogf anime .eommun .aux deux ,ptre«iièr^ s^i^tipi^s; on détexoiine die jtçéme Tautre couple de eàiés 9p(i^)$^s ii'.ç»j), ixiiajs ee^i n*iexige jsiUis de nouvelle cm^dition.

£i»siMte, on ramène» par Ja méthode 4fs coe^efM indi^^minésy A^ç -f- A<J; -*- ^^ et h'^tf -h A'4» •+- x ^^^ formes

ai'*

Après qii^i, il ftiut identifier /i"^çp -f- A"4' ,-^ X ^

Pour cette identification, on dispose de trois coefficients 2, fx» v qui entrent linéairement dans neuf équations; trois d*enjtre elles donnent \ fx, v et ces valeurs doivent vérifier les six autres équations, jointes aux quatre précédentes, ces six dernières conditions forment le système des dix conditions nécessaires et suffisantes auquel est arrivé M. Massau, qui a résolu le problème actuel par identification directe.

Enfin, il reste à résoudre, par rapport à ?» <p et /» les trois égalités

AV -4- A<p -4- X = oj//;* — ai'fcj,

Cette résolution est toute faite si Ton a pris <p, 4^ et ^ pouï* les (roisseetions ; la substitution des valeurs trouvées 4)ourf,tp,x dans la fonction z^^ + ^4^ + X &<^liève la transformation.

Une remarque faite au n® 1S permet de réduire théoriquement renoncé des conditions auxquelles doit satisfaire la fonction Pg générale, mais parait sans utilité pour le calcul pratique.

Au reste, voici Ténoncé réduit auquel conduit cette remarque :

Pour que la surface Fg soit représentable par un déterminant, il faut et il suffît que trois sections quelconques parallèles à Vun des plans coordonnés, projetées sur ce plan, aient quatre points communs à distance finie et que l'une de ces trois courbes coupe encore chacune des autres aux sommets d'un parallélogramme inscrit.

37. Il peut y avoir quelque intérêt à traiter un exemple numérique. Soit la fonction

- z^ -^ X^ z'Ij^^x' -♦- dx -♦- 9) •♦- 5x* -4- 9x -♦- 17] ■*- ^[— ^y" -*■ '^y (Jc* — 5) ^ 4x' — 32] — 2[y*(x« ^ 3x ■♦- 5) -•- %(2x* -h 3x -f- 4) -t- 1 3x« -*- 2«x -t- 29].

Considérons les formes <p et 4^; leurs déterminants

sont nuls. Ensuite, comme les coefficients 6^- font défaut, on n'obtiendrait rien en formant les déterminants tels que {aVcf) ; on prend donc nécessairement les équations

{aa'c')x^ -♦- [ba'c')x -*- (ca'c') = 0, (a'ac)x* -¥■ {b'ac)x -*- (c'ac) = 0,

qui sont identiques, car elles sont, dans Texemple choisi,

X* -f- Ox -♦-

En changeant les lignes en eolonnes dans Tun de ces calculs seulementyon trouve

y' + Oy

Le parallélogramme inscrit dans les courbes (p et <p est donc déterminé; ses couples de côtés opposés ont pour équations x^ — 5 = 0, î/2 -t- 3 = ; on pose alors

d'où A: =. — 3, / = 2 et, par suite,

f = y*{x*-H3x-f-9) + 5(xV3x-+-9)-+- 2(x'- 5) =

On trouve de même pour cp,

Posons ensuite

21jc-t-29.

On voit immédiatement que, pour

donc pour Xsa|x = — 2, y = 2, Tidentité est satisAiite et que Ton «

4 x"-h3x-*-9x*— 5 2tf-+-4 —2 î/»-f.3

ainsi la transformation est opérée.

38. Nous terminerons par quelques mots relatifs aux trois quatérnes dé droites situées sur la surface Pg spéciale et passant par les trois points quadruples.

D*après la remarque qui termine le n^ 15, les traces des quatre droites parallèles à Oz, sur le plan des xy (donc aussi ces droites elles-mêmes), peuvent être représentées d'une seule manière par la formule

où Ton se donne à volonté les éléments de la première ligne; de même les droites parallèles à Oy se représentent par

«I àl cl

et, par suite, le troisième quaterne de droites est donné par

et ne dépend que des deux autres quatérnes ; d où ce théorème dû à M. Massau : Deux quatérnes de droites de la surface spéciale Fq déterminent le troisième.

Soient à présent di^ d^, d^, d^ les droites de Fg parallèles à Ox, et cf^, ât^, (Z^, d'^ leurs projections sur le plan x%\ soient

( 22^ ) Bi , B2 , B5 , B4 les trftees svr xs^ des droites de Pg pmrillèlett

La section de P^ parallèle au plan xz et menée par one des droites d, se complète par une cubique piane r^ dont la projee* Ifan tff sur un plan xz passe par B^» B^, B^, B4 et possède un point double à Tinfini sur Oz et un point simple à Tinfini sur Ox'%

Les systèmes (ci -»• di) et (c^ ^ d^) par exemple sont deâ cav particuliers de deux quartiques binodalés quadriHées qi»i doivenH avoir un parallélogramme inscrit commun; donc, si c^ coupe d^ en M et N et si c^ coupe d[ en P et Q, MNPQ est un parallélogramme parallèle à Ox et Oz.

Toutes les cubiques qui passent par B^, B^, B3, B4 et qui ont un point double à Tinfini sur Oz et un point simple à Tinfini sur Ox, ont au total huit points fixes et forment un faisceau (c'); elles découpent donc sur dj et d, deux involutions quadratiques 1} et Ij. Projetons sur d[ Tinvolution I^ par des droites parallèles a Ojs; nous obtenons une troisième involution I5 sur d^; les involutions l^ et I5 sont sur le même support et ont un couple commun P, Q; ces deux points achèvent de déterminer la cubique c^ et par suite la cubique c^ ; une construction analogue donne les cubiques C|, C3, c^.

Remarquons que Tinvolution 1^ (ou I^) est déterminée par deux couples; il suffit donc, pour la construire, de prendre deux cubiques du faisceau {&); le plus simple est de choisir deux courbes dégénérées de ce faisceau, par exemple le système formé de la parallèle è Oz par B| avec Thyperbole à asymptotes parallèles à Ox et Oz passant par B^, B5, B4, et le système analogue obtenu en intervertissant les rôles entre B^ et B^.

On peut aussi intervertir les rôles entre les droites parallèles à Ox et celles qui sont parallèles h Oy; de sorte que, par des constructions très simples, huit sections planes de F^ se déduisent de la connaissance de deux quaternes de droites.

Mais il y a plus : la section parallèle au plan xy et menée par la droite d| est aussi déterminée surabondamment, puisque Ton peut construire les points où elle coupe les cubiques c^, c^, c^; il en est de même des sections parallèles par d^, d^^ d^ (et même

de tonte section parallèle à aey). Deux de ces sections, par exemple celles qui contiennent d| et d^ projetées sur le plan des xy se coupent en quatre points à distance finie; ce sont les traces du dernier quaterne de droites parallèles à Oz.

La détermination de ces points dépend donc de Tintersection de deux cubiques ayant en commun un point double à Tinfini sur Oy et un point simple à Tinfini sur Ox; or ce problème, on le sait, peut se ramener à une intersection de coniques.

Bruxelles. — Hayez, imp. del'Acad. royale.