L'équation de la surface S4 étant symboliquement
nous avons montré, dans VÉlude précédente, que le cdne circonscrit à S4 et ayant son sommet au point (123) du tétraèdre de référence a pour équation
les quantités u^, t/^i 113 étant, dans la gerbe de sommet (123), des coordonnées tangenlielles ou coordonnées de plan.
Considérons une génératrice de S4 s'appuyant sur la cubique double aux points de paramètres et 6'; le plan qui la projette
du sommet (123) a des coordonnées proportionnelles aux quantités
comme ce plan est tangent au cône en question, on a
[«1 — Oi(o -*-«') -^ Ajoe']* = 0, ou, en développant sous forme non symbolique,
Oii — 20it6' -4- a^e'* -*- 2ô [ou — {a^ -+- «15)0' -»- a^fi^*] -^ fl'[flM - 2(i„e' -^ 0556'»] = 0.
A un point répondent, par Tintermédiaire de cette relation, deux points 6'; à Tun de ces points 6' répond, ou(re le point 6, un point S" ; à celui-ci un nouveau point 6''^, etc. Si le quatrième point de cette série coïncide avec le premier, la surface S4 est spéciale, en ce sens qu^elle est engendrée par les bisécantes d*une cubique gauche qui s'appuient sur une droite; alors il y a X triangles de Poncelet inscrits au cône qui projette la cubique gauche d*un de ses points et circonscrits au cône de même sommet tangent à S4. Mais pour qu'il y ait, non des triangles, mais des quadrilatères de Poncelet, en d^autres termes pour que le cinquième point de la série 0, ô', 6'^, ... coïncide avec le premier, ou encore que les génératrices de S4 s'arrangent en oo^ quadrilatères inscrits à la cubique gauche, il faut que la dernière relation écrite donne, pour deux valeurs généralement distinctes de 6, le même couple de valeurs de 6'. Nous sommes donc ramené au problème d'algèbre qui résout la question des quadrangles de Sleiner dans la quartique binodale, avec celte spécialisation que la relation en 6 et 6' est symétrique. Or nous avons vu que ces quadrangles steinériens existent quand on a
«ti «n o<« On ;; ««
«M «83 Oa
C'est précisément la condition trouvée ci-dessus pour l'existence d'une droite triple sur la surface F4.
Dans toute surface du quatrième ordre ayant une cubique gauche double^ les pians des sections quadrillées enveloppent une autre surface du quatrième ordre^ douée en général d'une cubique gauche double, et exceptionnellement d'une droite triple, bisécante de la cubique initiale; cette dernière circonstance se réalise quand les génératrices de la surface donnée sont les côtés d'une infinité simple de quadrilatères gauches inscrits dans la cubique donnée.
Observons en passant que le raisonnement fait en dernier lieu ramène toujours le problème des polygones de Poncelet à 2n cètés pour deux coniques à un cas particulier du problème des polygones de Steiner de 2n côtés pour la quariique plane binodale.
29. Si l'on demande une section plane triplement quadrillée de la surface S4, il faut trouver un plan u qui présente la liaison
avec chacun des trois points où il coupe la cubique; cette équa« tion du second degré devant avoir trois racines, ses coefficients doivent être nuls,
M = a„ — oa = 0,
NW4 ^ — (a,j«, -♦- aisMj -«- ajst/j •*- a^iUi) == 0,
Pt/j ^ a„M, -V a„i/2 -♦- flijt/3 -♦- atiUi = 0.
La première de ces relations est indépendante de u. Elle n'est vérifiée que si le cône circonscrit à S4 et de sommet (123) est harmoniquement inscrit au cône de même sommet perspectif à la cubique double; car les équations tangentielles de ces cônes s'écrivent
al = 0, wî — 4ii,U5 = 0,
et si Ton forme Tinvariant simultané qui contient au premier degré les coefficients de la première forme, on trouve
L'é?anouissement de cet invariant est incompatible avec la condition d*iine droite triple de P^, car si, dans cette condition (voir le numéro précédent), on remplace a^ par a^^ ou inversement, on trouve que le discriminant de la forme a* s*annule et alors la surface donnée S4 dégénère en deux quadriques.
Quand donc la condition a^^ «s a^^ est vérifiée, la surface F4 a un faisceau de plans tangents triples et c'est une surface du quatrième ordre à cubique double, mais spéciale.
Lorsque le cône circonscHl à la surface donnée S4 et ayant son sommet sur ta cubique double est harmoniquement inscrit au cône de même sommet perspectif à cette cubique, l'enveloppe des sections quadrillées est une surface F4 engendrée par les cordes d^une seconde cubique gauche qui s'appuient sur une droite fixe. Les plans passant par cette droite sont les sections triplement quadrillées de S4.
Surface du ciuatrième ordre à deux droites doubles.
30. Supposons que les droites doubles ne se coupent pas et prenons-les pour arêtes (12) et (34) du tétraèdre de référence; réquation de la surface considérée est de la forme
S* s= xlfi -^ X5X/, -♦- xlfji = 0,
les fondions f^ étant quadratiques en x^ et x^. On peut encore écrire symboliquement
S4 ^ (OiX, H- a^f)\biXs -I- ôjx*)* = 0.
Un plan u sera défini par les trois points où il coupe les arêtes (12), (54) et (14) par exemple :
Un point x de ce plan est donné par les formules
pXi = A*» ?Xi = /uA; -♦- y,
pXz = A -f- J//, pXi = xh .
Subetiliions dans l'équalion de S4 :
ou, en développant en partie,
[x*(6, -^ b^hY -^ 2Av6,/(6, + b^h) -I- v«6î/*] « 0.
La condition pour que la section soit quadrillée s*écrit symboliquement
(ai-f-aj/[;)(/),-»-6jft)*aî (a,-+-a4/[;)(6,-t-6jA)at6,/ (a,-f-crtfe)aj6îr
Le facteur /^ peut se mettre en évidence, de sorte que la condition de section quadrillée se réalise indépendamment du point / où le plan u coupe laréte (14); c*est-à-dire que, si un plan de section quadrillée coupe les droites doubles en M et N, tous les plans du faisceau ayant pour axe MN sont des sections quadrillées. L*enveIoppe cherchée est donc une surface réglée dont les génératrices s'appuyent sur les droites doubles de S4.
D*ailleurs, les coordonnées du plan u satisfont aux relations
W5 -*- At/4 = 0, w, -^ /fil, = 0, tt, H- /ws = 0,
d'où
Ua
Remplaçons dans Fg, après avoir supprimé les /,
{aiUi-afUi)\bjiUi-'b^Vif (aiUi-a^Utfybitir'b^^z^ (ÉfiMj-ajî/,)"6î (oiti,— o,t/iK6iti4— 62i/5)'o2 (a.tij— aiti^)(6|W4— 6tt/,)aj6, (aiWj-ajtt,)aj6î (6jW4— 6atiB)'aî (61^4-^5)^*61 0J6J
Cette équation symbolique montre que Tenveloppe est de sixième classe et, comme c'est une surface réglée, elle est aussi du sixième ordre.
Les variables U|, u^ ne figurent qu'au troisième degré, de
même que tig, ti^; donc les plans contenant les arêtes (t3) et (34) sont des plans tangents triples, et ces arêtes elles-mêmes sont des droites triples de la surface Fg.
Ainsi, dans toute surface du quatrième ordre à deux droites doubles, les plans dts sections quadrillées enveloppent une surface réglée du sixième ordre ayant pour droites triples les droites doubles de la surface donnée.
Le même problême peut être résolu pour les surfaces du quatrième ordre à conique double; mais, comme la méthode est la même et que les calculs sont fort longs, nous renonçons à placer ici cette solution.
Tables graphiques pour la représentation des fonctions.
31. Nous appliquons maintenant les résultats de nos premiers paragraphes à certains problèmes d'intégration graphique. Comme nous Favons dit, dans notre introduction, c est une de de ces questions qui nous a suggéré toute VÊtude actuelle. Nous devons faire d*abord, afin de poser le problème, quelques emprunts à M. Massau (*); nous changeons un peu les notations de son travail.
Soit à représenter la fonction z, de deux variables indépendantes x, y, définie par Téquation
Menons dans un plan deux axes cartésiens, des u et des v, et construisons les deux séries de courbes
Entre les trois équations précédentes, éliminons x et y; soit
la résultante
/i(tt, V, z) -= 0.
(*) Nassau, Mémoire sur l'intégration graphique et ses applications, Liège, Desoer, 4884, pp. 24 et suiv. [Voir aussi, Massau, C. A. de VAcad. des sciences de Paris, 4907.]
Les systèmes de courbes /"i, /g. f<^^ où ti et t; sont les coordonnées courantes et x^ y, z des paramètres variables, s*appellent respectivement les lignes des x^ des y et des z. A tout système de valeurs de a; et de t/ correspond une ligne f^ et une ligne ^2> par chaque point d'intersection de ces courbes, il passe un nombre fini de lignes ^5, donnant chacune une valeur de z correspondant aux valeurs données de x et de y.
Tel est le principe d*où part M. Massau. Plus spécialement il choisit comme fonctions ti^ A» /s» ^^^ fonctions linéaires de Uy Vy donc des formes telles que
au -f- fty -♦- c,
où a, 6, c sont des fonctions de a; ou de y ou de %. Un de ces systèmes de droites est dit du degré n si a, 6, c sont des fonctions du w*"* degré en x, en y ou en z,
