LEN CORPS—NEGMENTS, TRONCN ET ONGLETS DE CEN CORPS

L'auteur du nouveau système a l’honneur de prévenir ses confrères Architectes, Ingénieurs, Arpenteurs, Professeurs de Géométrie, de dessin et de Mathématiques, les Directeurs d’Universités, Colléges, Séminaires, Couvents et autres institutions d'éducation, les professeurs et élèves des Ecoles des Arts et Métiers et de dessin industriel, les Mécaniciens, Toiseurs, Mesüreurs, Jaugeurs, Officiers de Douane et d’Accise, Constructeurs de navires, Entrepreneurs, Ouvriers et autres du Canada et à l'Etranger.

Qu'il a confectionné son “ Tableau Stéréométrique ” afin de réduire à la pratique sa formule universelle pour trouver le volume

AVERTISSEMENT.—Pour protéger son œuvre et en prévenir toute contrefaçon, soit ici ou à l'Etranger, l’auteur a fait breveter sa découverte, son tableau, tant au Canada, qu'aux Etats-U nis et en Europe:

2 LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

d’un corps de forme et dimensions quelconques. C’est au sujet de cette formule que le Séminaire de Québec, après l'avoir soumise à des personnes compétentes, s'exprime ainsi : ‘“....Parmi les théorèmes et les formules remarquables par leur nouveauté, ce qui frappe le plus, c’est l'expression générale du volume d’un solide quelconque. Un doute involontaire s'empare d’abord de l'esprit ; mais un examen attentif dissipe bientôt ce doute et l’on reste étonné à la vue d'une formule si claire, si aisée à retenir et dont l'application est si générale.”

Un article du “Journal d'Education” parle de l'impulsion soudaine que cette découverte imprime à la science.

Son système d'exposition, dit un autre journal, est neuf et d’une simplicité qui le met à la portée de toutes les intelligences.

Le tableau dont les dimensions sont d'à peu près 3 pieds de hauteur sur 5 pieds de longueur est en bois france à fond teint ou peint de couleur convenable. Fixés à la planche sont quelque 200 modèles en bois franc polis, et huilés ou vernis à demande. Chaque petit modèle s’ajuste à la planche au moyen d’une cheville en fil de fer fixée au tableau, et telle qu’on peut facilement en détacher le modèle et le remettre à volonté. Le tout est recouvert d’un panneau vitré qui en exclut la poussière, et que l’on peut ouvrir et fermer à volonté, avec serrure et clef au besoin.

Les modèles comprennent à peu près toutes les formes élémentaires qu’il soit possible de concevoir ou que fourmiraient par division ou décomposition un corps composé queiconque. C’est ainsi qu'on y trouvera tous les prismes et prismoïdes, cylindres et cylindroïdes droits et inclinés, les troncs et onglets de ces corps: pyramides, cônes et conoïdes droits et inclinés avec leurs troncs et onglets ; la sphère avec ses subdivisions en hémisphère, quart de sphère, demi-quart ou pyramide sphérique tri-rectangle, calottes ou segments, zones, pyramides, troncs et onglets ; le sphéroïde ou ellipsoïde allongé ou aplati avec ses segments, moitié, quart, troncs, ete. ; enfin, les fuseaux et leurs troncs, ete., y compris les tutailles de toutes sortes, les polyèdres réguliers, anneaux concentrique et excentrique, et une foule d’autres formes pratiques des plus variées mais qu’il serait trop long d’énumérer ici.

La nouvelle règle ou formule dispense de toute considération, de tout calcul préliminaire quant à la nature, forme ou dimessions du solide entier dont le volume à

évaluer fait partie. Ainsi, quand il s’agit de cuber par les règles

ordinaires un segment, tronc ou zône de sphéroïde par exemple, on a tout d’abord à s’enquérir des axes du solide pour les faire entrer en compte ; mais par le nouveau système on procède de suite à évaluer la solidité requise en y appliquant directement la formule (A +B+4$) 4H. De même, si l’on croit avoir affaire à un tronc de pyramide par exemple, il y a tout d’abord à s'assurer si c’en est un, afin d'y appliquer les règles ordinaires du toisé ; à cette fin, il y a à mesurer les longueurs respectives des arêtes des bases supérieure et inférieure pour établir ensuite les rapports entre elles et s'assurer par là même si elles sont ou non proportionnelles, sans quoi le solide à évaluer rest pas un tronc de pyramide; tandisqu’au contraire par la nouvelle formule, il suffit de s'assurer du seul parallélisme des arêtes (ce qui se voit d’un coup d’œil et sans mesurage aucun) pour procéder de suite à l’application de la règle—car, d’après le procédé de l’auteur, le tronc de pyramide, réputé tel, est regardé comme prismoïde et soumis par là même à la formule générale, tout comme la pyramide entière qui est aussi un prismoïde,

Mais à part toute considération préliminaire sur la

nature du solide à estimer et des calculs longs et difficiles qu’il faut faireà cet effet quand on procède par les règles ordinaires—-il est à remarquer que les calculs qui restent encore à faire pour trouver le volume du solide ou liquide dont il s’agit sont pénibles, difficiles, longs quelquefois à n’en plus finir, comme quand il s’asit par exemple du jaugeage d’une futaille, soit du toisé d’un tronc de fuseau. Ce sont très souvent des formules algébriques, du calcul différentiel et intégral et une seule erreur d'impression dans ia formule dont l'intelligence ne peut pénétrer ou suivre les mystérieux replis—erreur dont on ne s’aperçoit pas et qu’on ne saurait en conséquence corriger —une seule erreur, de cette sorte est assez pour rendre inutile le calcul tout entier et nécessiter de le recommencer ; au lieu que par le système maintenant proposé, comme il n’y a qu'une seule règle, une seule formule à apprendre et à retenir et aw’elle est des plus simples, l'intelligence peut la suivre pas à pas, et l'œil même s’apercevoir de suite s’il y a erreur.

Aujourd’hui, il y a autant de règles diverses que de solides : une pour le prisme ou cylindre, une pour la pyramide ou le cône, une autre pour le tronc de cône ou de la pyramide, une troisième pour la sphère, puis trois autres pour le segment, la zone et l'onglet de ce corps, encore une pour le sphéroïde, avec des formules additionnelles et en nombre égal pour le segment, le tronc, l’onglet, suivant que le plan coupant est parallèle ou incliné au petit ou au

4 LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

grand axe où à un diamètre quelconque du solide, Combien d’autres formules différant toujours l’une de l’autre et chacune d'elles de toutes celles déjà énumérées, lorsqu'il s’agit d'en venu «au volume d’un conoïde parabolique droit ou incliné, d’un segment de fuseau circulaire, elliptique, ete., d’un onglet de cylindre, de cône, de conoïde ou de fuseau. Eh bien! on peut aujourd’hui mettre de côté toutes ces règles, touces ces formules variées qu’il est impossible de retenir dans la mémoire et pour lesquelles il faut toujours avoir un livre à sa disposition ; on peut mettre de côté toutes ces formules avec les livres qui les contiennent, et armé du nouveau système s'attaquer à un solide quelconque pour en évaluer le contenu à l’aide d'une toute petite règle que l’on retient comme son pater, savoir: ‘à la somme des surfaces des bases opposées, ajouter quatre fois la surface intermédiaire et multiplier le tout par la sixième partie de la hauteur du solide. ”

Le calcul se réduit, dans tous les cas, d'après le système de l’auteur, à celui des surfaces des bases opposées et de celle de la section médiane ou intermédiaire, et c'est précisément à cette fin que doit servir le tableau dont il s’agit, où l’on verra de suite la forme du solide, la nature des surfaces qui lui servent de bases, et au moyen d’un trait ou ligne, la nature et les dimensions de la section, surface ou coupe à demi-distance entre les bases ou extrémités opposées qu solide à estimer. C’est ainsi que l’on verra que dans la pyramide, le cône, le conoïde, le segment de sphère ou de sphéroïde, la surface supérieure se réduit à zéro ou est nulle, tandisque dans la sphère, le sphéroïde et certains prismoïdes, chacune des surfaces opposées devient nulle, ce qui réduit alors le calcul à multiplier 4 fois la surface de la section médiane par la sixième partie de la hauteur du solide.

La formule est mathématiquement exacte pour les prismes et prismoïdes, cylindre et cylindroïdes droits ou inclinés, pyramides régulières ou irrégulières et les troncs de ces solides entre bases parallèles, pour le cône droit ou oblique et son tronc entre bases parallèles, pour la sphère, calotte et zone sphérique, pour le sphéroïde et tout segment, zone ou tronc de ce corps séparé du solide entier par un plan incliné d’une manière quelconque aux axes ou diumètres, ou compris entre deux plans parallèles quelconques, pour les conoïdes parabolique et hyperbolique droits ou inclinés et les troncs de ces solides compris entre plans parallèles ; et ces divers solides constituent dans leur ensemble la presque totalité des solides élémentaires que l’on puisse être appelé à évaluer.

In’y a que pour les fuseaux seuls et certains onglets de ces corps et des autres solides que la formule n’est pas mathématiquement correcte, ct encore peut-on même dans ces derniers cas arriver à des résultats plus certains, plus satisfaisants au moyen de la formule générale qu'on ne saurait le faire par aucun des autres moyens auquels on à d'ordinaire recours dans la pratique. Il suflit pour cela de décomposer le demi-fuseau ou trone de ce solide en deux ou au plus en trois parties par des coupes ou plans parallèles aux bases et d'appliquer la formule séparément à chacune de ces parties pour arriver à un résultat très voisin de Pexactitude parfaite, et de même pour les onglets de prismes et prismoïdes, de pyramides, cônes, conoïdes et fuseaux, de sphère et de sphéroïdes et les trones de ces onglets entre bases parallèles, de partager le solide en ?, 3 où 5 parties au plus pour appliquer ensuite séparément la formule à chacune des tranches composantes, comme il est d’ailleurs évidemment nécessaire de le faire pour le cubage des solides composés tels que la chaloupe, le bateau, le navire et autres formes analogues, composées quelles le sont dans tous les cas de quelques unes des formes élémentaires que lon trouvera parmi les modèles du tableau.

Et dans la plupart des cas, cette subd'vision même du solide en 2, 8 t: nches composantes, sera inutile, puisque pour les onglets de prismes, de cylindres, de pyramides et de cônes, l'erreur maximum entre le volume réel et celui obtenu par la formule proposé ne dépasse pas d'ordinaire un .005 ou un demi pour cent, comme on le fera voir,

Que l’on considère aussi l'immense avantage d’un pareil tableau pour la seule nomenclatr.re des corps. Cela rend maintenant possible aux élèves les moins avancés des colléges, couvents et autres écoles une étude qui leur était auparavant interdite. En eftot, pour saisir sur le papier et comprendre la représentation graphique d'un corps, il faut connaître préalablement dessin, la perspective qui ne s’acquiert d'ordinaire que par les élèves avancés et dans les dernières années de collége ; tandis qi’aujourd'hui le plus jeune, le moins avancé pourra détacher le modèle du tableau, le tenir, le manipuler ; le Maître ou Professeur, la Religieuse ou Maîtresse lui en dira le nom et lui cn fera voir un exexaple dans les mille et un objets et besoins de tous les jours.

Le

LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

[er]

Ce que peuvent représenter les divers modèles du Tableau.

Ze tronc de cône droit ou renversé sera suivant le cas, la représentation d'une tour, d’un phare, ete, d’un verre à boire, d'un saloir, d’une tinette à beurre, d’un sceau, d’une auge ou euve ordinaire ou comme on en voit dans les rasseries et ailleurs ; le cône plat ou surbaissé fournira l’idée d’un couverele ou d’un fond de chaudière, d’un toit, ete. ; la pyramide sera l’image d’un elocheton, d’une flèche de clocher, ete.: le conoïde droit, la calotte de sphère ou de sphéroïde sera un dôme plus ou moins élevé ou surbaissé pendant que le même solide en le renversant présentera à l’imagination un bassin, un réservoir, un vaisseau comme il s'en trouve dans la cabane à sucre, la distillerie ou autre manufacture.

Le conoïde incliné et renversé, la calotte ou le segment de sphéroïde également incliné et renversé sera la représentation, l'image de l’espace occupé par une liqueur, un liquide, un fluide quelconque au fond d’un vaisseau auquel on aura donné pour une raison ou une autre une inclinaison quelconque. Le prisme, le prismoïde, sera de même le modèle de ces milk et une toitures simples où compliquées qui couronnent nos habitations domestiques, nos édifices publics, nos palais. Le toit de la lucarne ordinaire sera, si il est en croupe, un prisme triangulaire oblique ou inciiné ; s’il ne l’est pas ce sera le tronc de prisme, et le corps de la lucarne sera indifféremment suivant l'aspect sous lequel on l’envisagera, un prisme droit triangulaire, ou un onglet de prisme quadrangulaire.

Parmi les prismoïdes l’on trouvera encore le plançon, le tronc d'arbre en grume, le déblais et remblais de la voie ferrée, le réservoir, le quai, le pilier, la tente à camper, l'ouverture ébrasée ou non d’un chassis, d’une porte, niche ou meurtrière dans la muraille. Le quart de sphère ou de sphéroïde, la demi-calotte sera la voûte du rond yoint d’une église, ou d’une salle terminée de la:même manière. La sphère entière, le sphéroïde sera la bille de billard, la boule de clocher, la Terre que nous habitons, la Lune, le Soleil, les Planètes. En un mot, l’on trouvera sur le tableau, et l’on maniera à volonté, afin de l’envisager sous tous les aspects possibles, le modèle de chacune des formes élémentaires qu’il soit possible de concevoir.

Les bases, faces latérales, sections centrales ou intermédiaires des modèles du tableau offrent aussi à l'appréciation de l'élève, dans l'étude préalable du toisé des surfaces, la représentation de chacune des figures planes et de toutes espèces de surfaces convexes ou concaves soit à simple ou à double courbure:

Le carré, rectangle, lozange, paraïlélogramme, trapèze, quadrilatère—le triangle équilatéral, isocèle, scalène, rectangle, acutangle, obtusangle-—le polygone régulier et irrégulier—le cercle, demi-cerele, quart de cercle, secteur, segment, zone, lune, l’anneau concentrique, excentrique—l’ellipse, demi-ellipse, segment dellipse moindre, plus grand que la moitié —les autres sections coniques, parabole, hyperbole—le triangle sphérique équilatéral, tri-rectangle, tri-obtusangle, la calotte ou segment, zone, lune sphérique-—-segments et zones, ete., d’ellipsoïdes allongés et aplatis, ete.

Le tableau aura pour effet d’intéresser l'élève et de rendre attrayant une étude jusqu’à présent aride et à

peu près impossible. On pourra au moyen du tableau et de la formule générale enseigner la stéréométrie, "c’est-à-dire, la nomenclature, les propriétés et le toisé des corps dans les écoles, même élémentaires, où on aura d’abord enseigné assez de géométrie pour mettre les élèves en mesure de déterminer la surface d’une figure plane quelconque, puisque le système proposé réduit en réalité le voisé des corps ou volumes à ce seul travail; ce qui reste à faire n'étant qu'une addition des surfaces ainsi trouvées et la multiplication de leur somme par la sixième partis de la hauteur du solide.

LA FORMUTI:E.

La formule prismoïdaie, proprement dite, n’est pas nouvelle ; puisque déjà et depuis longtemps on en fait quelquefois l'application au calcul des terrassements et déblais de voies ferrées, ete. ; mais on ne semble pas avoir jamais eu l’idée de se servir de cette règle pour toiser, par exemple, un trone de pyramide on de cône, un tonoïde ou un segment de sphéroïde incliné à son axe, un tronc d’ellipsoïde entre

8 LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

bases parallèles inclinées à l’axe sous un angle quelconque et en général la plupart des solides du tableau, et l’eût-on fait d’ailleurs que cette formule ne serait jamais devenue d’une application générale dans la pratique ou dans l’enseignement sans le tableau, pas. plus que la vapeur sans l'engin, l'électricité sans le télégraphe.

L'auteur a à partager avec d’autres l'honneur de cette découverte pour un certain nombre de solides auxquels on en a démontré lPapplication, quoique d’une manière plus ou moins directe et variée ; mais en cela il est en bonne compagnie et peut-être même doit-il s’en féliciter puisque ce sont autant d’adhésions à l'appui de sa thèse et pas plus il ne doit s’en contrarier que Leverrier et Adams au sujet de “Neptune,” Newton et Leibnitz à l’endroit des ‘ fluxions.”

“T1 est bien clair, dit le Révd. Mr. Billion, dans sa lettre à Mgr. Larocque, que l’auteur n’exige pas qu’on fasse usage de sa formule dans une foule de cas, où une expression plus simple peut la remplacer.”

I y a bien en effet, non pas une foule de eas, mais trois ou quatre cas, où l’on peut remplacer la formule générale par une expression plus simple; mais ces expressions simplifiées découlent directement et sans effort de la formule genérale,

Peu de personnes ont saisi en ceci toute la pensée de l’auteur, à l'endroit de la nécessité, l'avantage d’une seule et même formule pour tous les solides possibles. Mais qu’on lise plutôt la lettre suivante de Mr. le professeur Lafrance, et l’on admettra de suite la sagesse de ses remarques.

Québec, 11 Décembre 1871.

A Mr. C. BAILLAIRGE,

Monsieur,

‘ Quant à l'exactitude de la formule, nul ne saurait en douter, puisque en la promulgant, comme vous l’avez fait dan: votre traité de 1866, vous avez vous-même donné toutes les preuves nécessaires à l'appui.

6 Quant au prisme ou cylindre, tout d’abord, (article 1254 de votre traité) si l’on objecte que pour ces solides au moins, votre formule loin d'offrir aucun avantage, ne fait que compliquer le caleul ; je répondrai qu’il n’en est pas ainsi, puisque dans ce cas cette formule se réduit de suite à la règle ordinaire. Ainsi l'élève qui a déjà appris que toute section d’un prisme ou d’un cylindre par un plan parallèle à sa bass est une figure semblable et égale à la base,

se dira de suite: ‘ Mais, la somme des bases, plus 4 fois la section intermédiaire, vaut 6 fois la base, et 6 fois la base multiplié par la 6me partie de la hauteur revient tout simplement à multiplier une fois la base par toute la hauteur” ; et en effet, c'est le cas. Or, en conservant la formule, même pour le prisme et le cylindre, cette formule réste générale pour tous les solides et exempte d'apprendre ou de retenir dans la mémoire une seule formule additionnelle ; car enfin, c’est là l'immense avantage du système que vous proposez ‘‘une seule et même formule” pour tous les solides possibles, et du moment que vous en introduisez une seconde, voire même une troisième pour la pyramide et le cône, une quatrième pour le paraboloïde dont le cubage par les règles ordinaires paraît plus simple que par la vôtre ; dès lors, vous introduisez la confusion dans l'esprit de l'élève, du mesureur; dès lors il y a danger de confondre ces règles, de prendre l’une pour l’autre, de les oublier toutes ou ne pas les retenir dans la mémoire et de nécessiter par là même un livre de renvoi, ce dont votre système dispense entièrement.

‘ D'ailleurs, pour la pyramide ou le cône, comme vous le dites (525 de votre Géométrie) la surface de la section intermédiaire est le quart de celle de la base ; or & x 4=1 et 1+1 font 2, et l’on voit de suite que la sixième partie de ? est la même chose que le tiers de 1, d’où il sûit que la formule générale ramène immédiatement à la règle ordinaire et cela sans qu’il soit nécessaire de connaître d’avance

cette règle. . ”

‘ Encore, que le prisme, le cylindre, la pyramide, le cône, comme il arrive dans la pratique, soient tant soit peu convexes ou concaves, où en serions-nous avec les règles ordinaires, tandis que au contraire dans ce cas votre formule est la seule qui puisse cuber exactement le corps dont il s’agit, et pour la futaiile, tronc central de fuseau (1574), le paraboloïde (1564), que sa paroi latérale soit (rem. page 697) le moins du monde trop ou trop peu convexe ou hombée, la règle ordinaire qui consiste à multiplier sa base par sa hauteur et à prendre la moitié, donnera un volume ou trop fort ou trop faible. Comment donc arriver dans ce cas à la vérité, si non par votre formule qui, comme daus le cas de la futaille fait entrer dans le calcal, le sinus verse (ou à peu près) du.plus ou moins de renflement du corps à cuber, c’està-dire, l’élément même qui concourt à en faire varier le volume.

Je viens d'indiquer les articles ou alinéas de votre traité où on trouve la preuve de l’exactitude de la formule pour les corps cidessus mentionnés ; eh bien, l’article 1561 en fait foi aussi dans le cas du sphéroïde ou ellipsoïde allongé ou aplati,—1562, pour le seg-

10 LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

ment de ce solide, —1566, pour l’hyperboloïde, et 1581 à 1592 pour le prismoïde en général.

‘“ Le fait est que trop peu de personnes encore se sont donné la peine d'examiner votre livre, tant est grande la tendance chez nous à rester toujours dans l’ornière de la vieille routine. En effet, on a été 20 ans à substituer au calcul des louis, chelins et deniers, le calcul décimal infiniment plus simple et plus expéditif des piastres et centins; où en sera bien encore 10 à apprécier votre œuvre, à introduire votrs formule, votre tableau tout indispensable qu'il soit, dans l'éducation générale de ce pays.

‘# Je crois fermement cependant (et c’est trop souvent le cas, si peu on est prophète dans son pays) qu'on saura de suite vous apprécier à l'étranger et je ne doute pas qu’aussitôt votre tableau connu aux Etats-Unis et en Europe, où, me dit-on, vous avez déjà eu le bon esprit de faire breveter votre invention; je ne doute pas, dis-je, qu'aussitôt vous aurez lancé votre prospectus à l'Etranger, aussitôt vous aurez des commandes et en grand nombre pour l'introduction du tableau dans toutes les Universités, écoles et autres institutions destinées à l’enseignement non-seulement de la jeunesse, mais aussi de l’àge mûr chez tous les peuples. ”

#4 C. J. L.-LAFRANCE, “ Profe <eur.”

Voici maintenant ce que dit de la formule, Mr. R. Steckel, mathématicien distingué d'Alsace, France : .

‘ Ayant eu occasion de vérifier votre formule quant à son exactitude—relativement à différentes espèces de corps, j'ai trouvé qu’en effet, tel que vous le dites en d'autres termes, elle est applicable rigoureusement à tous les polyèdres sans exception, de même qu'à tous les solides engendrés par la révolution des courbes du second ordre autour de l’un ou de l’autre de leurs axes principaux ainsi qu'aux segments de ces solides, quelle que soit la direction du plan de section.—En cela on pourrait ajouter à votre prospectus, il me semble, qu’en général la règle est applicable d’une manière rigourensement exacte :

‘1° À tous les solides engendrés par la révolution d’une ligne droite autour de deux plans parallèles l’un à l’autre définis en étendue par des contours limitrophes de forme quelconque, peu importe les variations du rapport entre les vitesses respectives des deux extrémités de la ligne mouvante.

9° À tout solide engendré par un plan à contour défini qui se meut avec une vitesse constante en ligne directe d’un point à un

autre, pendant que sa surface varie d’une manière correspondante comme le carré de la corde génératrice d'une zone de section conique quelconque, ,

‘ Pour ce qui regarde les solides engendrés par des courbes régulières d’un ordre plus élevé que les sections coniques, il est d’ordinaire assez facile de les subdiviser, avec une exactitude plus que suffisante pour toutes les fins pratiques, —de manière que les solides partiels résultants puissent être classés dans l’une ou dans l’autre des deux catégories de solides que je viens de décrire.

‘ De plus, à part de certaines espèces d’onglets de solides élémentaires, je ne vois guère de corps de formes régulières qui puissent se rencontrer dans la pratique du mesureur ou du jaugeur ou qui soient en usage dans les arts et métiers pour lesquels une subdivision répétée au delà de deux ou trois fois soit nécessaire ; et quant aux onglets biscornus il vous sera facile d'y référer dans le traité qui accompagnera le tableau.

‘ J'ai trouvé très-commode, un de ces jours passés, d'appliquer la règle à un trone de conoïde hyperbolique eagencré par la révolution d’une byperbole du 5ème ordre autour d’une de ses asymptotes, en procédant par subdivision, dans le but de vérifier le degré de précision apporté à la construction d’un ajutage convergent en cuivre ayant cette forme particulière que j'ai employé dans une expérience hydraulique. ”

Mr. Steckel, après avoir prouvé l'exactitude mathématique de la formule pour tous les corps mentionnés par l’auteur dans son prospectus, a fait de longues et difficiles analyses à l'endroit de l’application de la formule aux onglets de cylindre, de cône, de conoïdes, et de sphéroïdes, ete., et a démontré qu’en effet, tel que l’auteur le dit, l'erreur maximum pour ces solides, qui d’ailleurs se rencontrent très rarement dans la pratique du mesureur, ne dépasse pas d’ordinaire .005 ou la moitié dé un par cent, quand on toise le corps d’un seul trait, et que cette erreur petite qu’elle soit, s’élimine facilement et devient nulle, pour ainsi dire, en subdivisant l’onglet, le demi-tronc de fuseau, en deux ou tout au plus en trois parties, à chacune desquelles on applique séparément la formule, pour faire ensuite la somme des parties composantes.

‘ La formule, dit le Révd. Mr. Billion, (mathématicien du Séminaire de St. Sulpice, Montréal,) s'applique à toute une série d’autres corps dont l’auteur n’a point parlé, et j'entends ici des corps auxquels la formule s'applique exactement : en effet, supposons un quelconque des corps mentionnés par l’auteur, soit par exemple un tronc de pyra-

12 * LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

mide. Ou peut considérer ce corps comme formé par la juxtaposition d’nne infinité de plans parallèles aux deux bases, Maintenant, supposons tous ces plans enfilés d’une base à l’autre par une ligne quelconque droite ou courbe, et susceptible de se courber, ou plier d’une manière quelconque. En inclinant, ou pliant, ou courbart, ou tordant cette espèce de directrice, on entrainera dans le même sens toutes les tranches äu dit corps, et on aura un nouveau corps de mêmes bases et de mème hauteur que le premier, parfaitement équivalent en volume, mais courbé suivant un arc de cercle, de parabole, ou d’une courbe sous loi quelconque, ou plié selon un angle quelconque, les tranches demeurant toujours dans le même plan. Si la direction est cortournée en hélice, et que la base soit un cercle, on aura une colonne torse, etc., ete. Voilà donc une multitude de corps auxquels la même formule s'applique, par la raison qu’ils sont équivalents aux premiers.

‘ L'auteur démontre sa formule comme rigoureusement exaete pour un grand nombre des corps énoncés, et comme aussi approximative qu’on voudra pour ceux auxquels elle ne s'applique pas d’une manière absolument rigoureuse. J'ai vérifié soigneusement la démonstration de la formule pour les lers corps, ceux auquels elle s'applique rigoureusement. La proposition et la démonstration sont exactes et vraies dans tous ces cas.

46 Quant aux autres corps, il est vrai que plus on multipliera les sections, suivant le besoin, plus l’approximation sera proche de la vérité. ”

‘ Dans les ouvrages publiés jusqu’à présent sur le Troisé des Solides, on trouve, dit Mr. Blain, une foule de règles différentes pour évaluer le volume des solides formés par la révolution d’une courbe du second ordre autour de son axe. Ces règles, desquelles résultent autant de formules, il faut les retenir, c’est-à-dire surcharger sa mémoire sans être bien sûr qu’elle vous sera fidèle au moment où vous aurez besoin de telle ou telle formule. La formule de M. Baillairgé est générale et dispense le praticien de ce pénible effort.

“ De plus, cette formule est applicable lorsqu'une courbe engendre un solide en tournant autour d’un axe qui n’est pas le sien, et voilà un cas qui a rarement, qui n’a presque jamais été prévu par les avceurs qui ont écrit sur la matière et dont le défaut général, sans vouloir faire injure à leur profonde science, a été d’avoir toujours trop en vue la théorie au détriment de la pratique.

‘ J'ai constaté, avec M. Steckel, qu'on ne fait pas mention, dans

lamajeure partie des Toisés, d'un sphéroïde coupé par un plan dans une direction oblique à ses axes, cas prévu par M. Baillairgé, no. 1,560 de son Traité. On ne parle pas non plus d'un paraboloïde dans les mêmes conditions, (1,564), et encore moins d'un hyperboloïde, (1,566).

‘“ Les jaugeurs, en par iculier, peuvent tirer un parti énorme de fa formule de M. Baillairgé, paisque la grande majorité, on pourrait presque dire la totalité des tonneaux, barils, bouilloires, chaudières, réservoirs, etc, et tous les vaisseaux employés habituellement à contenir des liquides, ne sont autre chose que des trones de fuseaux circulaires, hyperboliques, paraboliques ou elliptiques, des sphéroïdes ou trones de sphéroïdes, culottes sphériques, paraboloïdes, hyperboloïdes, troncs de cônes et de conoïdes à surfaces concaves ou convexes, etc.

‘ La formule de M. Baillairgé dispense aussi le praticien de déterminer à quelie espèce de solide appartient celui qu'on se propose de mesurer, opération qui est sujette à bien des erreurs dans la pratique.

# Enfin, la même formule donne le moyen de trouver la quantité de liquide contenue dans an vase seulement en partie plein, dans quelque position que se trouve ce vase et sans avoir besoin de changer sa position, (1,577, 1578, ete.)

“Je dépasserais de beaucoup les limites d’un article de journal, si je voulais énumérer tous les avantages de la découverte faite par M. Baillairgé, car c’est réellement une découverte importante qui honore et l’auteur et son pays.

& Je le dis franchement, j'ai d’abord douté de l'exactitude des calculs de M. Baillairgé, et, avant d'exprimer une opinion, j'ai refait moi-même les calculs, puis consulté des hommes habiles et versés dans la pratique. Je ne fais que consigner ici leur opinion qui sera confirmée plus tard par tous ceux qui emploieront le nouveau système de mesurage.

Pour ce qui est maintenant, de l’exactitude des résultats que donne la formule dans le cas des troncs de fuseaux par exemple et des vaisseaux de capacité de cette sorte, comparée à celle que donnent les règles ordinaires, l’auteur ne saurait mieux faire que de publier au long les remarques censées de M. le professeur Gallagher à ce sujet. On y verra aussi la somme de travail dans les deux cas

Québec, 9 Décembre, 1871.

Nul doute que cette formule est mathématiquement correcte, appliquée à tous les solides que vous énumérez dans votre prospectus. C'est d’ailleurs ce que vous avez parfaitement démontré dans votre

SE

14 LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

précieux ouvrage sur la Géométrie et le mesurage, publié en 1866, C’est ce que M. Stecke]l à promptement fait voir de la manière la plus

concise dans la lettre qu’ii vous à adressée à ce sujet, pour ne rien

dire des lettres des R. R. MM. Méthot et Maingui, de la part des pro-

fes.eurs de Mathématiques du Séminaire de Québec et &e l'Université

Laval, où les expressions ‘ étonné ” “enchanté” montrent suffi-

samment la haute opinion qu'ont de votre découverte ces juges com-

pétents. Mais, dans mon opinion, vous n’insistez pas sufhsamment

sur la grande valeur, les avantages manifestes et multipliés de votre

règle appliquée au fuseaux, uont les troncs centraux se rencontrent

tous les jours et dans toutes 1: parties du monde civilisé sous les

mille et une forme de futailles de toutes les grandeurs et de toutes : les espèces que l’on puisse concevoir ; et la nécessité de mesurer ces

objets avec promptitude à cause de leur nombre, et avec exactitude

à cause de la nature généralement précieuse de leur contenu, rend

une règle simple, facile, et commode, comme ,celle que vous proposez

maintenant, de la première importance pour l'humanité,

‘ Maintenant, Monsieur, que votre règle embrasse ces précieuses qualités requises, permettez-moi de la comparer, dans son opération et ses résultats avec les règles données par quelques-uns de nos meilleurs mathématiciens et de nos meilleurs auteurs tels que Bonnycastle par exemple, voir l'édition de son traité de mesurage du Rév. E. C. Tyson, page 147.

Problême XXVII (pour exemple.)

& Trouver la solidité du tronc central d’un fuseau elliptique ; sa ‘“ Jongueur, ses diamètres au centre et au bou étant donnés ; le dia- ‘# mètre qui se trouve à égale distance du diamètre du milieu et de “ celui du bout étant aussi connu. ?

Règle. ‘1° de la somme de trois fois le carré du diamètre du centre, et le carré du diamètre du bout, ôtez quatre fois le carré du “ diamètre qui se trouve entre celui du milieu et celui du bout, et de ‘ quatre fois le dernier diamètre ôtez la somme du plus petit diamètre et trois fois celui du centre, et + du quotient provenant de ‘ la division de la première différence par la dernière donnera la dis- ‘6 tance centrale.

99 Trouvez les axes de l’ellipse par le Problème II, et la sur- “ face du segment elliptique, dont la corde est la longueur du tronc, ‘ par le Problème V.

“3° Divisez trois fois la surfaes ainsi trouvée par la longueur du “ trone, et du quotient soustrayez la différence entre le diamètre du

‘“ centre et celui du out, et multipliez le reste par huit fois la dis- ‘ tance centrale,

‘4° Alors de la somme du carré du plus petit diamètre, et Ceux ‘# fois le carré de celui au centre, ôtez le dernier produit trouvé, et ‘ cette différeu ‘e multipliée par la longueur, et ce produit encore par ‘,261799, ete., donnera la solidité demandée,

“# Ici l'esprit s’égare entièrement au simple récit des différentes opérations qu'il faut exécuter (pas moîns de 27) et les simples résultats de chacune de ces opérations sans parler des détails des multiplications, des divisions, et d’autres calculs nécessaires pour y arriver, prennent deax pages entières du livre,

‘“ Appliquée, disons à une futaille de 23 pouces de long, le diamètre de la bonde étant de 24 pouces, celui du fond de 21.6 pouces, . et le diamètre intermédiaire de 23,40909 pouces, le résultat, comme il est entièrement fait aux pages 148 et 149 du dit livre, donne 11,854? pouces cubes bien près, ou 51 gallons et 5 demiards.

# Or, le même exemple, par votre formule donne 11,855.2 pouces cubes, ce qui ne diffère du dernier résultat que de .0000045 où moins d’un demi-pouce sur environ 12000 pouces, ou la 20ème partie de uu par cent d’excédant, la 14ème partie d’une roquille,

‘ Alors non seulement votre formule dans ce cas doit ètre considérée, sous tous les rapports aussi exacte que celle de Bonnycastle, mais elle l’est réellement plus dans la pratique ; car, même si l'erreur en excédant atteignait le maximum de .005 ou de + de un par cent, où est le mesureur pratique on le jaugeur qui, pour la considération d'une pinte sur un baril de 50 gallons, où d’un pot par tonneau, voudrait, pourrait passer des heures de son temps à calculer par l’ancienne méthode ce qu’il peut faire avec plus d’exactitude et en moins de deux minutes par la nouvelle ; car chaque marchand vous dira que dans le jaugeage pratique du baril il y à généralement une erreur en plus ou en moins de un à deux gallons par barrique.

‘ Et même on ne pourrait arriver à cette exactitude comparative de l’ancienne méthode qu’en prenant toutes les décimales, ce que personne 0 voudrait faire par suite de l'immense travail des calculs ; tandis que par la nouvelle formule, en raison dc sa grande simplicité et de sa concision, toutes les décimales peuvent facilement être prises, et il ne résulte aucun inconvéuient si l’on négiige quelques-unes des dernières puisque le résultat, comme je l'ai démontré ci-dessus est, (et, pour les formes convexes est toujours, quoique très-légèrement) en excédant du véritable contenu.

16 LE TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE.

4 J'ai tort cependant en disant que l'erreur maximum, par votre règle, dans le jaugeage des barils, est de .,005 ou de la moitié de un par cent, et vous ne le dites pas non plus dans votre prospectus ; au contraire vous montrez de la manière la plus satisfaisante, aux pages 208, 709 de votre dit traité, dans les nombreux exemples que vous donnez et que vous complétez, les comparant dans chaque cas avec les résultats donnés par les règles de Bonnycastle, que l'erreur maximum en excédant ne dépasse pas, dans votre premier exemple et votre second, + de un par cent ou d’une pinte par tonneau ; dans l'exemple 8 c’est & de 1 par cent ; l'exemple 10 donne pour l'erreur maximum +4 de 1 par cent ; l'exemple 5 donne } de 1 par cent ; les exemples 4 et 12 (2), de 1 par cent ; l'exemple 9, ,, de 1 par cent; les exemples ? et 12 (1 et 3); de 1 par cent ; et l'exemple 7, 4, de 1 par cent ; et ces exemples comprennent toutes les variétés et toutes les grandeurs de barils circulaires, elliptiques et paraboliques, c’està-dire des trois variétés que l’on rencontre généralement dans la pratique.

Mais en appuyant sur la formule, je m'aperçois que je n’ai encore rien dit du si important ‘“ Tableau Stéréométrique ” sans lequel, comme vous le remarquez avec tant d'apropos, la règle serait presque aussi inutile pour l’enseignement du mesurage dans les écoles, sinon dans la pratique, que la vapeur sans l'engin, ou l'électricité sans le télégraphe.

Votre tableau, en dehors du simple mesurage des corps, possède beaucoup d’autres avantages, comme vous les énumérez dans votre prospectus, et sur lesquels il est inutile pour moi d'appuyer, vu que je concours entièrement dans tout ce que vous en dites ; quoique je croie que vous auriez pu insister encore plus sur l'avantage d’un pareil tableau dans l'étude d’un élève architecte, bien plus d’un architecte de profession, qui parmi ces modèles, trouverait celui de toute forme ou proportion concevable de toit, de dôme, ete., dont il puisse être appelé à faire le dessin ; de l'Ingénieur Civil qui y trouverait toutes les descriptions de prismoïdes qu’il puisse rencontrer dans les déblais ou remblais pour les chemins de fer, les canaux, les docks, ete., ou dans les jetées, piliers et culées de ponts ou autres constructions; de l'Ingénieur Mécanicien qui y trouverait toutes les variétés de bouilloires, chaudières ou autres vaisseaux et les parties constituantes de toutes espèces de mécanisme ”

J. GALLAGHER

CLEF

DU

TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE BAILLAIRGÉ.