PROBLÈME VI
Déterminer la surface d’une figure longue et irrégulière bornée d’un côté par une ligne droite. *
(23) REGLE. 1° Mesurez, à chaque extrémité de la ligne droite, la largeur perpendiculaire de la figure; mosurez aussi cette largeur à plusieurs points intermédiaires également éloignés l'un de l'autre.
2° À la demi-somme des largeurs extrêmes ajoutez la somme des largeurs intermédiaires ; multipliez alors la somme ainsi obtenue par l'une des parties équles de la ligne de base; le produit sera la surface voulue à très près.
1. La chaîne de Gunter et de 66 pieds anglais, diviséo en 100 chaînons, dont chacun est en conséquence = 66 — 100 = 7.92 pouces anglais, L'acre équivaut à 1 chaîne X 10 chaînes — 10 chaînes carrées — 4 perches X 40 perches = 160 perches carrées = 100 chaînons X 1000 chaînons — 100000 chaînons carrés. L'avantage de cette division de la chaîne de Gunter en 100 parties consiste en ceci que toutes les dimensions qu’elle sert à établir, sont immédiatement applicables et sans réduction au calcul décimal. L'opération faite, on sépare 5 décimales, les chiffres restants à gauche étant alors des acres, puisqu'il y à 100009 chaînons dans l’acre et que séparer 5 chiffres équivaut à diviser par 100000. Il est clair aussi que pour les vergées on n’a qu’à multiplier d’abord le reste par 4 pour séparer encore 5 chiffres, ce qui équivaut à diviser de suite par 25000 (nombre de chuînons dans une vergée) et est de beaucoup plus expéditif. Pour les perches, en multiplie ensuite le second reste par 40, pour séparer encore 5 chiffres, puisque la perche est la 40ème partie de ln vergée; ou si l’on voulait négliger les vergées, on multiplierait de suite le premier reste par 160 (4 X 40) dont on retrancherait de même 6 chiffres. Le dernier reste 45120 est évidemment uno fraction de perche, c’est-à-dire, «4420 de perche; or la perche carrée étsn; de 625 choînons, 5506500 de 625 = .00625 et co nombre multiplié par le numérateur ,45120 donne les 282 chaînons de la réponse; c’est-à-dire que pour les mailles on multiplie tout simploment le dernier reste par 625 et l’on sépare encoro 5 décimales.
2. Les terrains qui avoisinent'et sont bornés d’un côté par les sinuosités d'un chemin ou d’une rivière, etc., présentent souvent au calcul des figures de cette sorte; ou, après avoir déterminé par la méthode du dernier problème d} la superficie du polygone rectiligne ABCDE quifait partio L du pol. irrégulier AbBCDEed A, on se servira de la méthc ie du problème actuel pour obtenir les parties secondaires et irrégulières AubcB, AdeE,
Soit AEea une figure irrégulière ayant pour base la droite AE. Aux points A, B, C, D et 6 d E, également éloignés i’un de l’autre, élevez ! les perpendiculaires Aa, Bb, Ce, Dd, Ec et ? : ©! : | désignez ces perpendiculaires par les lettres À B "Ü D à a, b, c, d,e.
Alors (825 @) la surface du trapèze AB ba = = L x AB,
lu surface du trapize BC cb = è ù Uk BC, la surface du trapèze C" de =154 x CD,
et la surface du trapèze DE ed =t+i x DE;
done, leur somme, ou la surface de la figure entière est égale à
(+ est dd + *) x AB,
2 2 2 2 puisque AB, BC, etc., sont egales entre elles. Or, cette somme est égale à Gtosera xs) + AB.
expression qui s'accorde avec l’énoncé de la règle. (24) Si Aa devient très petit, on n’en aura
pas moins surf. ABba =t1? * AB et si a BE y PA HE EN
et À se confondent en un même point, ou que À BR © D Ÿ le trapèze ABba devienne le triangle ABb on
aura © . LPS : ; dans ce cas il est clair que l'expression pour la surface de la figure AEedbA devient( +0 à CAD à CAN È 2) x AB,
ou, ce qui est la même chose, (b+c+d+4e)xAB. Et si Ee devient aussi, —0, l'expression pour la surface AEdbA prendra la forme (b+c+d) x AB.
Ex. 1. Les largeurs d’une £gure irrégulière en 5 endroits également éloignés l’un de l’autre, éta:t 8.2, 7.4, 9.2, 10.2, et 8.6 et la longueur de la base = 40 ; auelle est la surface ?
Une des largeursextrêmes= 8.2 La base entière = 40
L'autre largeur extrême = 8.6| Une des parties égales 40--4= 10 — | Somme des largeurs —=35.2
Somme cs largeurs ext. —16.8 | Multipliée par 10
Demi-somme = 8.4| = surface voulue = 352
le Largeur intermédiaire = 7.4 2e Largeur intermédiaire = 9.2 3e Largeur intermédiaire =10.2
Somme des largeurs. =35.9
2. La longueur d’une figure irrégulière étant de 84 mètres et les lageurs, en six endroits équidistants, 17.4, 20.6, 14.9, 16.5, 20.1, et 24.4 mètres ; on demande la surfuce ? Rep. 1550.64 m. c.
8. La longueur d’une lisière de terre est de 125 perches et sa largeur prise en 15 endroits différents et équidistants, est de 5.2, 4.6, 7.2, 8.3, 9.4,8.1, 7.8, 7.9, 6.6, 7.2,7.3, 8.4,7.4, 6.5, et 5.8 perches. Quel!e en est le contenu ?
Rep. La somme des demi-largeurs extrêmes et des largeurs intermédiaires= 101.7, la longeur 125--14=-8.92857 et 8.902857 x 101.7 =908 . 0356 perches carrées. 1
(25) REV. Certains auteurs enseignent à décerminer la surface de la figure de ce problème en faisant le produit de la base entière AE par la moyenne des largeurs que l’on obtient en ajoutant ensemble toutes ces largeurs pour diviser ensuite leur somme par le nombre de ces largeurs. Cette règle est fautive, et cela, d'autant plus qu’il y a un moindre nombre de hauteurs ou de divisions dans la figure à estimer. L'erreur de cette méthode, dans le cas ou il n’y aurait Que trois parties composantes et par conséquent quatre hau-
1. Sila perche linéaire dont il s'agit ici est de 18 pieds français, c’est-à-dire, le dixième d’un arpeut, la surface qu’on vient de trouver équivaudra à 9 arpents carrés, 8 .0356 perches carrées, car, comme on l’a déjà fait remarquer, l’arpent carré est de 10 X 10 perches — 100 perches carrées, et comme la perche carrée est de 18 X 18 = 324 pieds carrés (ou l’arpent carré de 324 X 100 — 32400 pieds carrés) on réduira au besoin la décimale . 0356 de perche carrée en pieds carrés en multipliant par 324, ce qui donne dans cet exemple 11.53 pieds carrés. Si, au contraire la perche linéaire étuit de 163 pieds anglais, c'est-à-dire celle de la chaîne de Gunter, on aurait en divisant par 160, 5 acres, 108 . 0356 perches, et si l’on voulait ensuite traduire en pieds carrés, la décimale de perche, il est clair que la perche carrée étaat de 163 X 164 = 272.96 pieds carrés (ou l’acre == 272.95 X 160 ou 66 X 660 pieds — 43560 pieds carrés) il n'y aurait qu’à multiplier . 0356 par 272.25 pour avoir 9.69 pieds carrés anglaise |
teurs ou largeurs, pourrait aller jusqu’à 25 pour cent en défaut de la surface exacte. Elle donne pour largeur moyenne, dans cet exemple, 107.2-+-15 =7.1466 et 7. 1466 x 125—893.325 perches carrées au lieu de 908.035 ; soit un défaut de près de 15 perches carrées de terrain.
