PROBLÈME VII
Trouver la surface d’un polygone régulier. :
(26) REGLE TI. Multipliez: (663 G.) le périmètre du polygone par son demi-rayon dr'ût, et le produit sera la sirface voulue.
REM. Si le polygone n’est connu que par son côté, déterminez en d’abord le rayon droit de la manière suivante : Divisez 360° par le nombre des côtés du polygone proposé, et le quotient sera (620 G.) l'angle au centre ; c'est-à-dire, l’angle sous-tendu par l’un des côtés égaux. Maintenant les rayons droit et oblique du polygone forment avec le demi-côté un triangle rectangle dans lequel on connaît la base, c’est-à-dire le demi-côté, et l’angle aigu opposé, c’est-à-dire, le demi-angle au centre, pour trouver la perpendiculaire ou le rayon droit du polygone.
Ex. 1. Soit à trouver l'aire d’un hexagone régulier dont le côté est de 20 A & B pieds ?
Rep. 360°-+6= 60 et 60-2 = 30° angle AOG, moitié de AOB. On a aussi F C OAG—90°—A0G=60° et AG=10; alors (1235 G.) sin. AOG : AG :: sin. OAG:
OG ; d'où, E D
Min AO semer rene rente co 1p.ar. log. 0.301030 CAS Si OA OO sen ssssnssendeseenseee ses eee 9.937531 comme MOT A snesscacesase en ee ee Re ETES 1.000000 est à LA LE Age fr get: ‘11° RENNES EU PSE SRE QE 1.238561
Maintenant comme il y a 6 côtés, chacun égal à 20, on aura le périmètre = 20 x 6—120 et la surf. —=120 x 4(17.32052) ou ce qui est la même chose=17.32052 x + (120)=17.32052 x 60=—1039.23120 p. c.
Ex. 2. Quel est le contenu superficiel d’un octogone dont le côté est 20 ? Rep. 1931.368.
1. Voir les bases parallèles des prismes droits et prismoïdos du Tableau et leurs sections où coupes parallèles,
36 CLEF DU YABLEAU.
Car l'angle au centre = 360°-8—45° dont la moitié 22° 30’ est l'angle AOG adjacent au rayon droit, et son complément OAG en conséquence=90°—220 30/—67°.30 ; or on a (1231, 3° G.) OG=AG x tang. nat. OAG=10 x 2.41421=24.41421 et surf, =24. 41421 x 80
(demi-pér.)=1931 .368.
8. On demande l’aire d’un nonagone dont le côté mesure 8 pieds et la perpendiculaire menée du centre= 10,99 pieds ? Rep. 395 .64 p. c.
&. Trouver l’aire d’un heptagone dont le côté = 19.38 et le rayon
droit =28 ? Rep. 1899.24.
5. Le côté d’un pentagone=?5 mètres et la distance du côté au centre=17 .2 mètres ; quel est le contenu ? Rep 1075 m. c.
(27) A l’aide de cette règle, on obtient aisément l’aire d’un polygone quelconque, 1 c’est-à-dire d’un polygone d’un nombre quelconque de côtés. Ayant donc calculé et disposé suus la forme du tableau suivant, les aires relatives des divers polygones ayant pour côté l’unité ou 1 ; savoir :
Vo, ERayon du cercle Côtés. Rayon du dre: Ve
circons. cercle ins.
Triangle... ... 0.5773503 .. . 0.2886751 .. 0.4330127 .. 30° Carré........ 0.7071068 .. 0.5000000 .. 1.0000000 .. 45
Pentagone... 0.8506508 ..
5 .. 0-6881910 .. 1.7204774 .. 54 Hexagone ... 1.0000000 .. 6 ?
.. 0.8660254 .. 2.5980762 .. 60 Heptagone .. 1.1523824 .. .. 1.0382607 .. 3.6339124 .. 643 Octogone 2... 1.3065628 .. .. 1.2071068 .. 4.8284271 .. 674 Ennéagone... 1.4619022 .. 9 .. 1.3737387 .. 6.1818242 .. 70 Décagone.... 1.6180340 .. 10 .. 1.5388418 .. 7.6942088 .. 72 Undécagone.. 1.7747324 .. 11 .. 1.7028436 .. 9.3656399 .. 73%
Dodécagone.. 1.9318517 .. 12 .. 18660254 ..11.1961524 .. 75
Et parce que (556 G.) les aires des polygones semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, l’aire d’un polygone donné quelconque aura au carré de son côté le même rapport que l’aire du polygone de même nom et dont le côté est 1, au carré de l'unité ; d’où, on a :
(28) REGLE IL, Carrez le côté du polygone donné ; multipliez alors ce carré par l'aire du polygone de même nom dont le côté est 1 : le produit sera la surface voulue.
1. Voir les bases et sections parallèles des prismes et prismoïdes, etc., du Tableau.
2. Dans le cas de l’octogone régulier ou même symétrique on obtient de suite la surface en retranchant du carré du double rayon droit ou apothème sur l’un des côtés, le caxré de l'antre côté, comme on le verra plus tard dans le toisé des solides.
Ex. 1. Quelle est la surface d’un hexagone régulier, dont le côté est 20 ?
Rep. 20° —400, l'aire de l'hexagone du tableau=2, 5980762, et 2.5980762 x 400— 1039 . 2304800, comme auparavant. 2. Déterminer le contenu superficiel d’un pentasone dont le côté est de 25 verges ? Rep. 1075.298375 v. c.
8. Le côté d’un décagone mesure 20 mètres ; quelle est faire ? Rep. 3077.68352 m. c.
4. Trouver la superficie d’un dodécagone dont le côté est 6 ? Rep. 403.0614864.
5. Le côté d’un terrain en forme de ‘triangle équilatéral mesure 3 a pents 7 perches et 6 pieds ; quel en est le contenu ? Rep. 373 por. x 373 per. = 13937 ou 1393.77777, x 0.4330127 = 603.5234737 ou G arpents carrés, 34 perches carrées à peu près.
