PROBLÈME XXII

Déterminer la surface d’une figure curviligne

quelconque.

(63) REGELEH, Divise: la figure entière, si elle est irrégulière, (c'est-à-dire, si les parties correspondantes ne sont pas symétriques) la moitié ou le quart, si elle est régulière, en trapèses de méme largeur ou hauteur, et procédez ensuite à la manière du problème VI., doublant ou quadruplant au besoin la surface ainsi trouvée pour avoir l'aire entière de la figure.

YOISÉ DES SURFACES, 57

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(*) (%0) La méthode d'évaluation par trapèzes, sera dautant plus exacte qu’il y aura dans la figure à estimer des concavités et convexités «db, bee, compensatoires l’une de l’autre, comme l’on en remar-

(*) Parmi ces figures, a est love ou ovale; (telle est la coupe verticale de l’œuf, ete.,) b est l'ellipse, (telle est la coupe du melon, ete.,) ou toute autre figure analogue, l’œil-de-bouc, la coupe du sphéroïde, l’amphithéâtre, ete. ; cest la demi-ellipse, ansede-panier, eycloïde, tête cintrée surbaissée d’une ouverture, coupe d’une voûte, ete. ; d, une figure curviligne irrégulière quelconque ; e, une parabole ou autre figure analogue, hyperbole, tête cintrée surhaussée d’une ouverture, coupe d’une voûte, coupe verticale d’un conoïde, d’un dôme, ete.; f est l’arche rampante ou la coupe d’une voûte inclinée; 4 est la surface latérale ou convexe développe d’un onglet de cylindre droit; k, la surface latérale développée d’un onglet de cône droit ; ” le développement de la surface d’un onglet de cylindre ou de cône oblique. Les lunettes ou intersections de voûtes, dont on a fait déjà mention à l’article (1148 G.) présentent aussi des surfaces dont le développement offre à la considération du mesureur les trois dernières figures que l’on vient de définir. La surfface latérale développée d’un tronc de cylindre droit présente la forme 4, et il suit du par. (897 G.) et de la dém. du par. (1099 G) qu'il suffit de multiplier la demi-somme de sa moindre et de sa plus grande hauteur tr, rs, par la longueur op perpendiculaire à rs ou wt, cette largeur étant évidemment égale à la circonférence developpée d’une section du cylindre par un plan perpendiculaire à son axe ou côté, Le déve‘oppement de la surface latérale d’un cylindre oblique (®9'7) présente la figure x, dont la hauteur rs qui est celle du côté incliné du cylindre, est partout uniforme, l’aire de l’enveloppe étant par conséquent égale au produit de »s par la largeur op, périmètre d’une section perpendiculaire à l’axe ou au côté du solide.

Il est utile de dire aussi que si l’onglet de cylindre droit dont la fig. g est l’enveloppe, au lieu d’être partiel comme KLNE ou KLRF page 409, est entier ou complet comme ADa, p\ge 388 G, on aura la superficie de 4 en faisant le produit de op par la moitié de rs, Car dans ce cas g ne sera autre qu’une enveloppe 4 de tronc de cylindre dent la moindre hauteur vt serait égale à zéro. En ajustant à la paroi latérale d’un onglet ou tronc de cylindre et de cône du tableau, une fouille de papier, pour ensuite le tracer ou découper à volonté, l’élève se fera une excellente idée de la nature des surfaces developpées dont il est ici question,

que dans les figares 9, h, m, k, puisque alors le segment bec qu'on néglige en considérant comme trapéze la partie BCceb de l'aire à évaluer, sera compensée par le segment adb qui est de trop dans le trapèze ABba,

(71) Mais quand la figure sera toute convexe on ajoutera à la précision en faisant entrer en compte la somme des segments abd, bce, etc., dont on fixera à l’œil ou autrement la largeur moyenne que lon multipliera par le périmètre correspondant adbec pour en avoir la surface.

(72) Observons aussi que au lieu de regarder comme nulle la hauteur initiale de la figure, à l'endroit À de la naissance de la courbe, ce qui donnerait pour aire de la partie ABbdaA de la fig. le triangle ABb, on obtiendra plus d’exactitude en regardant comme ligne droite la partie presque verticale Aa de la courbe, ce qui donnera alors pour surface plus approximative de cette partie composante de la fig. le trapèze AabB au lieu du triangle AB.

Il est clair aussi qu’une subdivision continue Dd, Ee, et suffisante pour permettre de considérer comme étant sensiblement des lignes droites les parties ad, bd, be, etc., de la circonférence convexe ou concave de la fig. aura aussi l’effet d'ajouter singulièrement à l’exactitude du résultat.

(73) Il est encore un moyen assez correct et expéditif d'arriver à la surface d’une figure irrégulière ABCD, celui de la réduire en une figure régulière ou rectiligne équivalante quelconque par des lignes compensatoires ab, be, c’est-à-dire, telles que la somme des parties excluses par ces droites soit égale en surface à la somme des parties comprises dans leur enceinte, opération graphique ou mécanique pour l'exactitude de laquelle on s’en rapportera souvent à une appréciation occulaire.

(74) Enfin, pour ce qui est de l'évaluation des longueurs développées des périmètres des figures dont il s’agit ici, remarquons encore comme on l’a fait, page 596 G, que la manière souvent la plus expéditive et non la moins exacte d’y arriver, consistera dans l’emploi d’un fil ou ruban ou de tiges ou tringles en bois ou en métal assez minces pour permettre de les ajuster au périmètre à estimer, afin d'en déduire de suite les dimensions voulues.