PAR UNE SEULE ET MÊME RÈGLE
(1) Il est utile de reeuillir et de présenter sous uue forme succincte les diverses formules ou règles qui ont trait au calcul des surfaces et volumes des divers corps et figures dont il a été jusqu'ici 1 question. Un ensemble de cette sorte permettra de référer plus aisément à ces règles, pour y trouver d'un coup-d'œil celle dont ou aurait besoin, eu égard au problème à résoudre, et quelques exemples pratiques des divers cas mettra rélève plus au fait du procédé à suivre pour arriver au résultat voulu.
(2) Déterminer une surface ou un volume, c'est comme on l'a vu (333 et 1014 G.2) trouver le nombre de fois que cette surface ou volume contient une autre surface ou volume que l'on prend pour unité
1. (" Nouveau traité de géométrie et de trigonométrie rectiligne sphérique, etc.," par le même auteur.)
2. Remarqdk. — Les nombres en caractère noir et entre parenthèse, comme (333 et 1014 G.), (24 G.), (1018 G .), etc., renvoyant au "nouveau traité de géométrie et de trigonométrie rectiligne et sphérique, etc., " par le môme auteur, et les nombres aussi en caractère noir et suivis d'un T., au traité actuel où les numéros correspondants des paragraphes, alinéas ou articles ont trait à la définition, démonstration ou solution, suivant le cas, de la chose énoncéo dans le traité dont il s'agit.
de mesure (24 G.) Ainsi, quand on dit qu'une toise carrée contient 36 pieds carrés, il faut entendre que l'unité de mesure est le pied carré et que cette unité est contenue 36 fois dans la toise carrée, la toise linéaire étant de 6 pieds, et 6 x 6 = 36. De même, si la toise cubique, contient 216 pieds cubes, c'est que le pied cube est dans ce cas l'unité prise pour mesure et que cette unité est contenue 216 foisdans la toise, laquelle étant de 6 pieds linéaires, son volume est (1018 G.) 6 x 6 x 6 =-216; et si le mètre cubique contient 1000 décimètres cubes, c'est que l'unité de mesure est le déci-mètre et que
(3) L'unité de mesure qu'il convient d'employer est d'ordinaire le carré ou le cube (suivant le cas) dont le côté est (333 et 1014 G.) l'unité linéaire qui a servi à établir les dimensions linéaires de la figure à estimer ; mais il est clair que rien n'empêche d'estimer en mètres ou en verges carrés la surface d'une figure dont les dimensions seraient exprimées en pieds ou en pouces, etc. ; et de même il sera indifférent d'exprimer en pieds cubes, en mètres ou en toises, etc., le contenu d'un corps ou solide dont les dimensions linéaires seraient données en verges, en pieds ou en pouces, etc., faisant attention seulement aux réductions nécessaires pour traduire les éléments donnés en éléments d'un autre nom, c'est-à-dire, d'une valeur différente.
(4) La formule de l'auteur, pour trouver d'un trait, ou par décomposition, le volume d'un corps quelconque, est comme suit :
" A la somme des surfaces des bases ou extrémités opj)osées et pa-
11 rallèles du corps à évaluer, ou de l'une, quelconque, de ses tranches com- 11 posantes, ajouter quatre fois la surface d'une section parallèle à ces 11 bases et située à mi-chemin entre elles, et multiplier ensuite la somme " de ces surfaces par la sixième partie de la hauteur ou longueur du " solide."
(5) Le nouveau système ne comporte donc que le seul toisé de certaines surfaces et sections du cerpssous considération, puisque une simple addition de ces surfaces et la multiplication de leur somme par la hauteur ou longueur du solide, pour prendre ensuite la sixième paroi du résultat.
(6) Mais on a souvent à évaluer une surface indépendamment de toute considération ayant trait au volume du corps dans cette surface forme la paroi totale ou partielle.
Pour ces diverses raisons, il convient donc de s'arrêter tout d'abord au
PROBLÈME I
Déterminer la surface d'un carré, rectangle, losange, xhombe ou parallélogramme quelconque i
Er-
(7) ÎIEGLE I. Multiplies la base (182 G.) par la hauteur (ISO ©.) et le produit sera la surface voulue (333 et 341 G.)
Ex. 1. Quelle est la surface d'un carré dont le côté mesure 204.3 pieds ? Rep. 41738.49 pieds carrés.
2. Quel est le nombre de carrés (le carre est de 10 x 10=100 pieds carrés) dans un plancher, plafond, colombage, lambris, couverture, etc., rectangulaire, dont la longueur = 60 pieds et la largeur 35 pieds? Rep. 21.
3. Quelle est la superficie d'un parallélogramme dont la base égale 12.25 et la hauteur 8.5 ? Rep. 104.125.
4. Combien de verges carrées de peinturage, dans un rectangle dont la base est de 66.3 pieds et la hauteur 33.3 pieds ? Rep. 245.31.
5- Déterminer la superficie d'une planche rectangulaire dont la longueur est 12£ pieds, et la largeur 9 pouces? Rep. 9f p. c.
1. Voir les faces composantes et les sections ou coupes parallèles des prismes et autres modèles du tableau. Ces figures se rencuntrent partout dans la pratique du mesureur, géomètre, arpenteur, toiseur, etc. ; ainsi, le parquet, plancher, ou plafond, ou i'un des pans d'un appartement ou d'une pièce quelconque sera d'ordinaire un carré ou un rectangle. Il en sera de même d'une porte ou d'une fenêtre dont une partie au moins sera rectangulaire, et l'on retrouvera encore cette figure dans la surface développée d'une joue de porte, de fenêtre ou de toute autre ouverture qui serait cintrée sans être ébrasée ; ainsi que dans le développement du pourtour d'une pièce ou d'un appartement quelconque dont le plan serait un cercle ou toute autre figure curviligne et dont il sera toujours facile d'obtenir avec assez d'exactitude les dimensions curvilignes à l'aide d'un ruban, si la surface à estimer est convexe, ou au moyen d'une tringle assez mince pour pouvoir s'ajuster à la surface concave à estimer. Pour ce qui est du parallélogramme oblique-angle, on rencontrera souvent de ces surfaces à l'endroit de deux courses superposées d'escaliers de même inclination. Les subdivisions des territoires en cantons, lots et parcelles, affectent aussi pour la plupart des figures de cette sorte.
6. Ou demande le nombre de verges carrées de tapisserie nécessaire pour couvrir un parallélogramme, dont la base est de 37 pieds, et la hauteur de 5 pieds 3 pouces ? liep. 21^.
7. Combien de pieds carrés de vitrage dans une fenêtre rectangulaire ayant 75 pouces en hauteur sur 37 i pouces en largeur ? &'ep. 75, x 37|-4-144=79 pieds carrés, 7G| pouces carrés = lï). Jff =19.53125 ou
6'.3" x 3.'H"=19.6f = 19.6-f!5 = 19f£= 19.53 ou 19| p. c. à peu prés.
8. Combien de pouces carrés de dorure faudra-t-il pour couvrir une surface dont la longueur est de 3 pieds 3 pouces et la largeur développée ou périmètre de 13 pouces ? Rep. 507.
9. Quel est le nombre de pieds superficiels dans l'ensemble des moulures d'une corniche en pierre, en bois ou en plâtre, etc., dont la longueur est de 60 pieds 7 pouces et la largeur développée ou contour de 3 pieds 3i pouces ? Stop. 199^ (à très-près) p. s.
REM. Ces largeurs développées, contours ou périmètres, s'obtiennent au moyen d'un fil ou ruban que l'on ployé autour des diverses moulures, dans une direction perpendiculaire (996, 998 €*.) à leur longuexu*.
10. On demande le nombre de verges carrées de vernis sur une porte dont la hauteur est de 7i pieds et la largeur développée (ou mesure autour de toutes les moulures, etc.) de 3 pieds 11 pouc
Rep. 3 t. c. 2 4j| p. c.= 3 v, c. 2.375 p. c— 3.23/5 v. c. = '3.2639 v. c, soit 31 v. c. à peu près.
11. Combien de mètres canes dans une parcelle de terre ayant 113.75 mètres en longueur sur 10.5 mètres en largeur ? Rep. 1194.385.
12. Déterminer en arpents et perches carrés, la superficie d'une terre mesurant 40 arpents, 5 perches en profondeur ou longueur, sur 3 arpents 7£ perches de front ou largeur (10 perches linéaires formant un arpt. lin. et par conséquent 10x10 ou 100 perches carrées, un arpent carré). Rep. 151 arp. 87J perches.
(S) REGLE II. Faites le produit de deux côtés adjacents du parallélogramme, et multiplie- ensuite ce produit par le sinus naturel de V angle inclus.
En effet, on a vu (1131, l°€r.) que quant R=l la perpendiculaire DE du triangle rectangle AED est égale au produit de l'hypothénuse AD par le sinus de l'angle A ; mais DE est la hauteur du parallélogramme AC, et puisque surf. AC = AB x
DE et que DE = AD x sin. A, il est clair alors que surf. AC=AB x AD x sin. A.
TOISK DES SURFAC 21
Ex 1. — Quelle est la surface d'un rhombe ou Losange donf le côté esl de 25 chaînes el l'angle inclus de 57° 33'. Wtvi». 25 x 25= 625, el 625 x .84386 (sin. nat. de 67° 33)=227.4125 chs. c.
(9) Pour résoudre ce même problème par logarithmes x où R=10, on a (1229, 1° G.) R. sinus A:: AD: DE; d'où, DE =
. — — 5— — — y or, surf. AG=AB x DE et eu substituant à DE,sa valeur
AD sin. A i . • , ,. . r; ,, . . t, AD y sin. A , on obtient pour surface AG,l'expressien AB x
ou ce qui est la même chose, surf. AG = * ADsin. A. cJest.à-dire
qu'il faut ajouter ensemble les logarithmes des deux côtés adjacents et le sinus logarithmique de V angle inclus ; cette somme, diminuée du log.
dit rayon, sera le lot/, de la surface voulue,
r +log. AB 25 1.397940
Log. surf. AG = i xlog.AD 25 1.3:.
xlog. sin. A 57-33' 9.926270
l — log. R 10
Log. surf. AG= 2.722150
Log. moindre suivant 2.722140 = 527.41 chs. ; la différence eutre ce log. etle log. trouvé est 10, auquel ajoutant (1286 G.) deux zéros et divisant par 82, on a (à très-près) 22 que l'on ajoute à la droite des chiffres 527.41 déjà trouvés, pour avoir comme auparavant, 527.4122.
Ex. 2. On demande la surface d'une terre dont les côtés sont respectivement de 40i ar. et de 3 ar. 7£ per. et l'angle inclus 57° 33'.
KeP f + log. 40i ar. ou 405 per 2.607425
Log. surf. voulue= J +loS- 3 ar- 7± Per- ou 37-5 Per 1.574031
x log. sin. angle inclus 57° 33' 9.926270
—log. R 10.
Log. surf, voulue = 4.107756
Le log. moindre suivant .107549 correspond au nombre 1281 ; la différence entre ce log. et le log. trouvé est 207 ; ajoutant les 0 et divisant par la dif. (D) 338, on obtient 612426 que Ton écrit (1286 G.) à la droite du nombre déjà trouvé 1281 pour avoir 1281612426; mais la caractéristique du log. trouvé est 4, ce qui correspond (1273 G.) à 5 chiffres d'entiers; donc le nombre voulu est 12810.12426 perches, ou 128 ar, 16.124 (ou 16|) perdes, près.
1. Pour les tables do Logarithmes, voir le «'Nouveau traité de Géométrie et de Trigonométrie, etc., " par le même autour.
PROBLÈME II
Trouver la surface d'un triangle. x
Quand la base et la hauteur sont données.
(10) REGLE. Multiplies la base par la hauteur et prenez la moitié du produit. Ou, multiplies Vune de ses dimensions par la moitié de Vautre (3 44 ou 34S Ci.).
Ex. 1. Quelle est la surface d'uu triangle dont la base est 625 et la hauteur 260 ? Rep. 162500.
2. Combien de verges carrées d'enduits dans une surface triangulaire dont la base est 40 pieds et la hauteur 30 pieds ? Rep. 66f .
S. Quel est le nombre de mètres carrés dans un terrain triangulaire, dont la base mesure 30 mètres 7 décimètres, et la hauteur 17 mètres 39 centimètres ? Rep. La surface voulue =
