LA FORMULE

La formule prismoïdale, proprement dite, n’est pas nouvelle ; puisque déjà et depuis longtemps on en fait quelquefois l'application au calcul des terrassements et déblais de voies ferrées, ete, ; mais on ne semble pas avoir jamais eu l’idée de se servir de cette règle pour toiser, par exemple, un tronc de pyramide on de cône, un conoïde ou un segment de sphéroïde incliné à son axe, un tronc d’ellipsoïde entre

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bases parallèles inclinées à l'axe sous un angle quelconque et en général la plupart des solides du tableau, et l’eût-on fait d’ailleurs que cette formule ne serait jamais devenue d'une application générale dans la pratique où dans l’enseignement sans le tableau, pas plus que la vapeur sans l'engin, l'électricité sans le télégraphe,

L'auteur à à partager avec d'autres l’'honneurde cette découverte pour un certain nombre de solides auxquels on en a démontré Papplication, quoique d'une manière plus ou moins directe et variée ; mais en cela il est en bonne compagnie et peut-être même doit-il sen féliciter puisque ce sont autant d'adhésions à l'appui de sa thèse et pas plus il ne doit s'en contrarier que Leverrier et Adams au sujet de “# Neptune,” Newton et Leibnitz à l’endroit des ‘* fluxions.”

“ Ilest bien clair, dit le Révd, Mr, Billion, dans sa lettre à Mgr. Larocque, que l'auteurn'exige pas qu'on fasse usage de sa formule dans une foule de cas, où une expression plus simple peut la remplacer.”

I y a bien en effet, non pas une foule de cas, mais trois ou quatre cas, où l’on peut remplacer la formule générale par une expression plus simple; mais ces expressions simplifiées découlent directement et sans effort de la formule générale,

Peu de personnes ont saisi en ceci toute la pensée de l’auteur, à l'endroit de la nécessité, avantage d'une seule et même formule pour tous les solides possibles. Mais qu’on lise plutôt la lettre suivante de Mr, le professeur Lafrance, et l’on admettra de suite la sagesse de ses remarques.

Québec, 11 Décembre 1871.

A. Mr. C. BAILLAIRGÉ, Monsieur,

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& Quant à l’exactitude de la formule, nul ne saurait en douter puisque en la promulguant, comme vous l’avez fait dans votre traité de 1866, vous avez vous-même donné toutes les preuves nécessaires à l'appui.

‘ Quant au prisme ou cylindre, tout d’abord, (article 1254 de votre traité) si l’on objecte que pour ces solides au moins, votre formule loin d'offrir aucun avantage, ne fait que compliquer le calcul ; je répondrai qu’il n’en est pas ainsi, puisque dans ce cas, cette formule se réduit de suite à la règle ordinaire. Aïrsi l'élève qui a déjà appris que toute section d’un prisme où d’un cylindre par un plan parallèle à la base est uue figure semblable et égale à la base,

se dira de suite : “ Mais, la somme des bases, plus 4 fois la section intermédiaire, vaut 6 fois la base, et 6 fois la base multipliée par la 6me partie de la hauteur revient tout simplement à multiplier une fois la base par toute la hauteur”; et en effet, c’est le cas. Or, en conservant la formule, même pour le prisme et le cylindre, cette formule reste générale pour tous les solides et exempte d'apprendre ou de retenir dans la mémoire une seule formule additionnelle; car enfin, c’est là l'inmense avantage du système que vous proposez ‘une seule et méme formule ” pour tous les solides possibles, et du moment que vous en introduisez une seconde, voire même une troisième pour la pyramide et le cône, une quatrième pour le paraboloïde dont le cubage par les règles ordinaires paraît plus simple que par la vôtre ; dès lors, vous introduisez la confusion dans l'esprit de l'élève, du mesureur ; dès lors il y a danger de confondre ces règles, de prendre l'une pour l’autre, de les oublier toutes ou ne pas les retenir dans la mémoire et de nécessiter par là même un livre de renvoi, ce dont votre système dispense entièrement.

‘# D'ailleurs, pour la pyramide ou le cône, comme vous le dites (1595 de votre Géométrie) la. surface de la section intermédiaire est le quart de celle de la base ; or +x4=1 et 1+1 font 2, et l’on voit de suite que la sixième partie de ? est la même chose que le tiers de 1, d’où il suit que la formule générale ramène immédiatement à la règle ordinaire et cela sans qu’il soit nécessaire de connaître d'avance cette règle.

‘“ Encore, que le prisme, le cylindre, la pyramide, le cône, comme il arrive dans la pratique, soient tant soit peu convexes ou concaves, où en serions-nous avec les règles ordinaires, tandis que au contraire dans ce cas votre formule est la seule qui puisse cuber exactement le corps dont il s’agit, et pour la futaille, tronc central de fuseau (1574), le paraboloïde (1564), que sa paroi latérale soit (rem. page 697) le moins du monde trop ou trop peu convexe ou bombée, la règle ordinaire qui consiste à multiplier sa base par sa hauteur et à prendre la moitié, donnera un volume ou trop fort ou trop faible. Comment donc arriver dans ce cas à la vérité, sinon par votre formule qui, comme dans le cas de la futaille, fait entrer dans le caicul,le sinus verse (ou à peu près) du plus ou moins de renflement du corps à cuber, c’està-dire, l'élément même qui concourt à en faire varier le volume.

“ Je viens d'indiquer les articles ou alinéas de votre traité où on trouve la preuve de l’exactitude de la formule pour les corps cidessus mentionnés; eh bien, l’article 1561 en fait foi aussi dans le cas du sphéroïde ou ellipsoïde allongé ou applati,—1562, pour le seg-

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ment de ce solide,—1566, pour l’hyperboloïde, et de 1581 à 1592 pour le prismoïde en général.

“ Le fait est que trop peu de personnes encore se sont donné la peine d'examiner votre livre, tant est grande lu tendance chez nous à rester toujours dans l’ornière de la vicille routine, En effet on a été 20 ans à substituer au caleul des louis, chelins et deniers, le calcul décimal infiniment plus simple et plus expéditif des piastres et centins; on en sera bien encore 10 à apprécier votre œuvre, à introduire votre formule, votre tableau tout indispensable qu'il soit, dans l'éducation générale de ce pays.

‘ Je crois fermement cependant (et c’est trop souvent le cas, si peu on est prophète dans son pays) qu’on saura de suite vous apprécier à l'étranger et je ne doute pas qu’aussitôt votre tableau connu aux Etats-Unis et en Europe, où, me dit-on, vous avez déjà eu le bon esprit de faire breveter votre invention ; je ne doute pas, dis-je, qu'aussitôt vous aurez lancé votre prospectus à l'Etranger, aussitôt vous aurez des commandes et en grand nombre pour l'introduction du tableau dans toutes les Universités, écoles et autres institutions destinées à l’enseignement non-seulement de la jeunesse, mais aussi de l’âge mûr chez tous les peuples. ”?

C, J, L.-LAFRANCE, ‘ Professeur. ”

Voici maintenant ce que dit de la formule, Mr. R. Steckel, mathématicien distingué d'Alsace, France :

‘ Ayant eu occasion de vérifier votre formule quant à son exactitude—relativement à différentes espèces de corps, j'ai trouvé qu’en effet, tel que vous le dites en d'autres termes, elle est applicable rigoureusement à tous les polyèdres sans exception, de même qu'à tous les solides engendrés par la révolution des courbes du second ordre autour de l’un ou de l’autre de leurs axes principaux ainsi qu'aux segments de ces solides, quelle que soit la direction du plan de section.—En cela on pourrait ajouter à votre prospectus, il mt semble, qu’en général la règle est applicable d’une manière rigour reusement exacte :

‘6 19 A tous les solides engendrés par la révolution d’une ligne droite autour des deux plans parallèles l’un à l’autre définis e@ étendue par des contours limitrophes de forme quelconque, peu im: porte les variations du rapport entre les vitesses respectives de deux extrémités de la ligne mouvante.

29 À tout solide engendré par un plan à contour défini quist meut avec une vitesse constante en ligne directe d’un point à

autre, pendant que sa surface varie d’une manière correspondante comme le carré de la corde génératrice d'une zone de section conique quelconque,

‘ Pour ce qui regurde les solides engendrés par des courbes régulières d’un ordre plus élevé que les sections coniques, il est d’ordinaire assez facile de les subdiviser, avee une exactitude plus que sufBsante pour toutes les fins pratiques,—de manière qu* les solides patiels résultants puissent être classés dans l’une ou dans l’autre des deux catégories de solides que je viens de décrire.

‘# De plus, à part de certaines espèces d’onglets de solides élémentaires, je ne vois guère de corps de formes régulières qui puissent se rencontrer dans la pratique du mesureur ou du jaugeur ou qui soient en usage dans les arts et métiers pour lesquels une subdivision répétée au delà de deux ou trois fois soit nécessaire; et quant aux onglets biscornus il vous sera facile d'y référer dans le traité qui accompagnera le tableau.

‘ J'ai trouvé très-commode, un de ces jours passés, d'appliquer la règle à un tronc de conoïde hyperbolique engendré par la révolution d’une hyperbole du 5ème ordre autour d’une de ses asymptetes, en procédant par subdivison, dans le but de vérifier le degré de précision apporté à la construction d’un ajutage convergent en cuivre ayant cette forme particulière que j'ai employé dans une expérience hydraulique.”

Mr. Steckel, après avoir prouvé l'exactitude mathématique de la formule pour tous les corps mentionnés par l’auteur dans son prospectus, à fait de longues et difficiles analyses à l’endroit de l’application de la formule aux onglets de cylindre, de cône, de conoïdes, et de sphéroïdes, etc., et a démontré qu’en effet, tel que l’auteur le dit, l'erreur maximum pour ces solides, qui d’ailleurs se rencontrent très rarement dans la pratique du mesureur, ne dépasse par d’ordinaire .005 ou la moitié de un par cent; quand on toise le corps d’un seul trait, et que cette erreur petite qu’elle soit, s'élimine facilement et devient nulle, pour ainsi dire, en subdivisant l’onglet, le demitronc de fuseau, en deux ou tout au plus en trois parties, à chacune desquelles on applique séparément la formule, pour faire ensuite la somme des parties composantes.

‘ La formule. dit le Révd. Mr. Billion, mathématicien du Séminaire de St. Sulpice, Montréal,) s'applique à toute une série d’autres corps dont l’auteur n’a point parlé, et j'entends ici des corps auxquels la formule s'applique exactement: en effet, supposons un quelconque des corps mentionnés par l’auteur, soit par exemple un tronc de pyra-

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mide, On peuf considérer ce corps comme formé par la juxtaposition d’une infinité de plans parallèles aux deux bases. Maintenant, supposons tou ces plans enfilés d’une base à l’autre par une ligne quelconque droite ou courbe, et susceptible de se courber, où plier d'une manière quelconque, En inclinant, on pliant, ou courbant, ou tordant cette espèce de directrice, on entraînera dans le même sens toutes les tranches du dit corps, et on aura un nouveau corps de mèmes bases et de même hauteur que le premier, parfaitement équivalent en volume, mais courbé suivant un are de cercle, de parabole, où d’une courbe sous loi quelconque, ou plié selon un angle quelconque, les tranches demeurant toujours dans le même plan. Ki la direction est contournée en hélice, et que la base soit un cercle, on aura une colonne torse, ete., ete. Voilà donc une multitude de corps auxquels la même formule s'applique, par la raison qu’ils sont équivalents aux premiers.

L'auteur démontre sa formule comme rigoureusement exacte pour un grand nombre ‘tes corps énoncés, et comme aussi approximative qu'on voudra pour ceux auxquels elle ne s'applique pas d’une manière absolument rigoureuse. J'ai vérifié soigneusement la démonstration de la formule pour les lers corps, ceux auquels elle s'applique rigoureusement. La proposition et la démonstration sont exactes et vraies dans tous ces cas.

‘6 Quant aux autres corps, il est vrai que plus on multipliera les sections, suivant le besoin, plus l’approximation sera proche de la vérité. ?” j

‘ Dans les ouvrages publiés jusqu’à présent sur le Toisé des Bolides, on trouve, dit Mr. Blain, une foule de règles différentes pour évaluer le volume des solides formés par la révolution d’une courbe du second ordre autour de son axe. Ces règles, desquelles résultent autant de formules, il faut les retenir, c’est-à-dire surcharger sa mémoire sans être bien sûr qu’elle vous sera fidèle au moment où vous aurez besoin de telle ou telle formule. La formule de M. Baillairgé est générale et dispense le praticien de ce pénible effort.

& De plus, cette formule est applicable lorsqu'une courbe engendre un solide en tournant autour d’un axe qui n’est pas le sien, et voilà un cas qui a rarement, qui n’a presque jamais été prévu par les auteurs qui ont écrit sur la matière et dont le défaut général, sans vouloir faire injure à leur profonde science, a été d’avoir toujours trop en vue la théorie au détriment de la pratique.

‘ J'ai constaté, avec M. Steckel, qu’on ne fait pas mention, dans

INTRODUOTION, 13

la majeure partie des Toisés, d'un sphéroïde coupé par un plan dansune direction oblique à ses axes, cas prévu par M, Bailluirgé, no. 1,560 de son Traité, On ne parle pas non plus d'un paraboloïde dans 'es mêmes conditions, (1,564), et encore moins d’'nn hyperboloïde, (1,566).

# Les jaugeurs,en particulier, peuvent tirer un parti énorme de la formule de M, Baillairgé, puisque In grande majorité, on pourrait presque dire la totalité des tonneaux, barils, bouilloires, chaudières, réservoirs, ete, et tous les vaisseaux employés habituellement à contenir des liquides, ne sont autre chose que des troncs de fuseaux cireulaires, hyperboliques, paraboliques ou elliptiques, des sphéroïdes ou troncs des sphéroïdes, calottes sphériques, paraboloïdes, hyperboloïdes, troncs de cônes et de conoïdes à surfaces concaves ou convexes, etc.

& La formule de M. Baillairgé dispense aussi le praticien de déter. miner à quelle espèce de solide appartient celui qu'on se propose de mesurer, opération qui est sujette à bien des erreurs dans la pratique.

# Enfin, la même formule donne le moyen de trouver la quantité de liquide contenue dans un vase seulement en partie plein, dans quelque position que se trouve ce vase et sans avoir besoin de changer sa position, (1,577, 1578, etc.)

Je dépasserais de beaucoup leslimites d’un article de journal, si je voulais énumérer tous les avantages de la découverte faite par M. Baillairgé, car c'est réellement une découverte importante qui honore et l’auteur et son pays.

Je le disfranchement, j'ai d’abord douté de l'exactitude des calculs de M. Baillairgé, et, avant d'exprimer une opinion, j'ai refait moi-même les calculs, puis consulté des hommes habiles et versés dans la pratique. Je ne fait que consigner ici leur opinion qui sera confirmée plus tard par tous ceux qui emploieront le nouveau système de mesurage.”

Pour ce qui est maintenant, de l'exactitude des résultats que donne la formule dans le cas des troncs de faseaux par exemple et des vaisseaux de capacité de cette sorte, comparée à celle que donnent les règles ordinaires, l’auteur ne saurait mieux faire que de publier au long les remarques censées de M. le professeur Gallagher à ce sujet On y verra aussi la somme de travail dans les deux cas.

Quebec, 9 Décembre 1871.

‘6 Nul doute que cette formule est mathématiquement correcte appliquée à tous les solides que vous énumérez dans votre prospectus. C’est d’ailleurs ce que vous avez parfaitement démontré dans votre

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précieux ouvrage sur la Géométrie et le mesurage, publié en 1866, C'est ce que M. Steck°1 a promptement fait voir de la maniére la plus concise dans la lettre qu'il vous à adressée à ce sujet, pour ne rien dire des lettres des R. R, MM. Méthot et Maingui, de la part des professeurs de Mathématiques du Séminaire de Québec et de l'Université Laval, où les expressions “étonné” ‘‘enchanté” montrent suffsamment la haute opinion qu'ont de votre découverte ces juges compétents. Mais, dans mon opinion, vous n’insistez pas suflisamment sur la grande valeur, les avantages manifestes et multipliés de votre règle appliquée aux fuseaux, dont les troncs centraux se rencontrent tous les jours et dans toutes les parties du monde civilisé sous les mille et une forme de futailles de toutes les grandeurs et de toutes les espèces que l’on puisse concevoir ; et la nécessité de mesurer ces objets avec promptitude à cause de leur nombre, et avec exactitude à cause de la nature généralement précieuse de leur contenu, rend une règle simpie, facile, et commode, comme celle que vous proposez maintenant, de la première iniportance pour l'humanité.

‘ Maintenant, Monsieur, que votre règle embrasse ces précieuses qualités requises, permettez-moi de la comparer, dans son opération et ses résultats avec les règles données par quelques-uns de nos meilleurs mathématiciens et de nos meilleurs auteurs tels que Bonuycastle par exemple, voir l'édition de son traité de mesurage, du Rév. E. C. Tyson, page 147.

Problème XXVII (pour exemple.)

‘ Trouver la solidité du trone central d’un fuseau eïliptique ; sa # Jongueur, ses diamètres au centre et au bout étant donnés ; le dia- ‘ mètre qui se trouve à égale distance du diamètre du milieu et de “ celui du bout étant aussi connu.”

Règle. ‘1° de la somme de trois fois le earré Cu diamètre du ‘ centre, et le carré du diamètre da bout, Ôtez quatre fois le carré du “ diamètre qui se trouve entre celui du milieu et celui du bout, et de ‘“ quatre fois le dernier diamètre ôtez la somme du plus petit dia- ‘ mètre et trois fois celui du centre, et + du quotient provenant de ‘ a division de la première différence par la dernière donnera la dis- ‘ tance centrale.

‘20 Trouvez les axes de l’eilipse par le Problème II, et la sur- « face du segment elliptique, dont la corde est la longueur du tronc, ‘6 par le Problème V.

‘3° Diviseztrois fois la surface ainsi trouvée par la longueur du ‘“ tronc, et du quotient soustrayez la différence entre le diamètre du

“ centre et celui du bout, et multipliez le reste par huit fois la dis- “ tance centrale.

‘49 Alors de la somme du carré du plus petit diamètre, et deux “ fois le carré de celui du centre, ôtez le dernier produit trouvé, et ‘’ cette différence multipliée par la longueur, et ce produit encore par ‘261799, etc., donnera la solidité demandée.

‘6 Tci l'esprit s'égare entièrement au simple récit des différentes opérations qu'il faut exécuter (pas moins de 27) et les simples résultats de chacune de ces opérations sans parler des détails des multiplications, des divisions, et d’autres calculs nécessaires pour y arriver, prennent deux pages entières du livre,

‘ Appliquée, disons à une futaille de 28 pouces de long, le diamètre de la bonde étant de 24 pouces, celui du fond de 21.6 pouces, et le diamètre intermédiaire de 23,40909 pouces, le résultat, comme il est entièrement fait aux pages 148 et 149 du dit livre, donne 11,854# pouces cubes bien près, ou 51 gallons et 5 demiards.

‘ Or, le même exemple, par votre formule donne 11,855.2 pouces cubes, ce qui ne diffère du dernier résuitat que de .0000045 ou moins d’un demi-pouce sur environ 12000 pouces, ou la 240ème partie de un par cent d’excédant, la 14ème partie d’une roquille.

Alors non seulement votre formule dans ce cas doit être considérée, sous tous les rapports aussi exacte que celle de Sonnycastle, mais ei: l’est réellement plus dans la pratique ; car, même si l'erreur en excédant atteignait le maximum de .095 ou de + de un par cent, où est le mesureur pratique ou jaugeur qui, pour la considération d'une pinte sur un baril de 50 gallons, où d’un pot par tonneau, voudrait, pourrait passer des heures de son temps à calculer par l’ancienne méthode ce qu'il peut faire avec plus d’exactitude et en moins de deux minutes par la nouvelle; car chaque marchand vous dira que dans le jaugeage pratique du baril il y à généralement une erreur en plus ou en moins de un à deux gallons par barrique.

‘6 Et même on ne pourrait arriver à cette exactitude comparative de l’ancienne méthode qu’en prenant toutes les décimales, ce que personne ne voudrait faire par suite de l'immense travail des calculs ; tandis que par la nouvelle formule, en raison de sa grande simplicité et de sa concision, toutes les décimales peuvent facilement être prises, et il ne résulte aucun inconvénient si l’or “ “glige quelques-unes des dernières puisque le résultat, comme je l'ai démontré ci-dessus est, (et pour les formes convexes est toujours, quoique très-légèrement) en excédant du véritable contenu.

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‘€ J'ai tort cependant en disant que l'erreur maximum, par votre règle, dans le jaugeage des barils, est de .005 ou de la moitié de un par cent, et vous ne le dites pas non plus dans votre prospectus ; au contraire vous mouirez de la manière la plus satisfaisante, aux pages 708, 709 de votre dit traité, dans les nombreux exen,ples que vous donnez et que vous complétez, les comparant dans chaque cas avec les résultats donnés par les règles de Bonnyceastle, que l'erreur maximum en excédant ne dépasse pas, dans votre premier exemple et votre second, + de un par cent ou d’une pinte par tonneau; dans l'exemple 8 c’est 1 de 1 par cent; l’exemple 10 donne pour l'erreur maximum À de 1 par cent; l'exemple 5 donne + de 1 par cent ; les exemples 4 et 12 (@), 4 de 1 par cent; Pexemple 9, ;, de 1 par cent; les exemples ? et 12 (1 et 3) + de 1 par cent; et l’exemple 7, 4, de 1 par cent ; et ces exemples comprennent toutes les variétés et toutes les grandeurs de barils circulaires, elliptiques et paraboliques, c’està-dire des trois variétés que l’on rencontre généralement dans la pratique.

‘ Mais en appuyant sur la formule, je m'aperçois que je n’ai encore rieu dit du si important ‘Tableau Stéréométrique ” sans lequel, comme vous le remarquez avec tant d’apropos, la règle serait presque aussi inutile pour l’enseignement du mesurage dans les écoles, sinon dans la pratique, que la vapeur sans l'engin, ou l’électricité sans le télégraphe.

# Votre tableau, en dehors du simple mesurage des corps, possède beaucoup d’autres avantages, comme vous les énumérez dans votre prospectus, et sur lesquels il est inutile pour moi d'appuyer, vu que je concours entièrement dans tout ce que vous en dites; quoique je crois que vous auriez pu insister encore plus sur l'avantage d’un pareil tableau dans l’étude d’un élève architecte, bien plus d’un architecte de profession, qui parmi ces modèles, trouverait celui de toute forme ou proportion convenable de toit, de dôme, ete., dont il puisse être appelé à faire le dessein; de l'Ingénieur Civil qui y trouverait toutes les descriptions des prismoïdes qu’il puisserencontrer dans les déblais ou remblais pour les chemins de fer, les canaux, les docks, ete. ou dans les jetées, piliers et culées de ponts ou autres constructions ; de l'Ingénieur Mécanicien qui y trouverait toutes les variétés de bouilloires, chaudières ou autres vaisseaux et les parties constituantes de toutes espèces de mécanisme ”

J. GALLAGHER.

CLEF

DU

TABLEAU STÉRÉOMÉTRIQUE BAILLAIRGE.

NOUVEAU SYSTEME DE TOISER