TOUS
LEN CORPN—NEGMENTS, TRONCN ET ONGLETS DE CES CORPS PAR UNE SEULE ET MÊME RÈGLE
(1) Il est utile de recuillir et de présenter sous une forme succincte les diverses formules ou règles qui ont trait au calcul des surfaces et volumes des divers corps et figures dont il a été jusqu'ici question. Un ensemble de cette sorte permettra de référer plus aisément à ces règles, pour y trouver d’un coup-d’œil celle dont ou aurait besoin, eu égard au problème à résoudre, et quelques exemples pratiques des divers cas mettra l'élève plus au fait du procédé à suivre pour arriver au résultat voulu.
(2) Déterminer une surface ou un volume, c’est comme on l’a vu (333 et HO1LA G.2) trouver le nombre de fois que cette surface ou volume contient une autre surface ou volume que l’on prend pour unité
1. (“Nouveau traité de géométrie et de trigonométrie rectiligne sphérique, ete,” par le même auteur.)
2. RrmarQue.—Les nombres en caractère noir et entre parenthèse, comme (333 et 1014 G.), (24 @.), (1018 G .), etc., renvoyant au ‘nouveau traité de géométrie et de trigonométrie rectiligne et sphérique, etc., ?” par le même auteur, et les nombres aussi en caractère noir et suivis d’un T., au traité actuel où les numéros correspondants des paragraphes, alinéas ou articles ont trait à la définition, démonstration ou solution, suivant le cas, de la chose énoncée dans le traité dont il s’agit.
18 OLEF DU TABLEAU,
de mesure (24 G.) Ainsi, quand on dit qu’une toise carrée contient 36 pieds carrés, il faut entendre que l'unité de mesure est le pied carré et que cette unité est contenue 36 fois dans la toise earrée, la toise linéaire étant de 6 pieds, et 6 x 6=36. De même, si la toise cubique, contient 216 pieds cubes, c’est que le pied cube est dans ce cas l'unité prise pour mesure et que cette unité est contenue 216 fois dans la toise, laquelle étant de 6 pieds linéaires, son volume est (1018 G.) 6 x 6 X 6 = 216; et sile mètre cubique contient 1000 décimètres cubes, c'est que l’unité de mesure est le déci-mètre et que 10 x 10 x 10= 1000.
(3) L'unité de mesure qu’il convient d'employer est d'ordinaire le carré ou le cube (suivant le cas) dont le côté est (3% ct 1014 €.) l’unité linéaire qui a servi à établir les dimensions linéaires de la figure à estimer ; mais il est clair que rien n'empêche d'estimer en mètres ou en verges carrés la surface d’une figure dont les dimensions seraient exprimées en pieds ou en pouces, ete.; et de même il sera indifférent d'exprimer en pieds cubes, en mètres ou en toises, ete., le contenu d’un corps ou solide dont les dimensions linéaires seraient données en verges, en pieds ou en pouces, ete., faisant attention seulement aux réductions nécessaires pour traduire les éléments donnés en éléments d’un autre nom, c’est-à-dire, d’une valeur différente.
(4) La formule de l’auteur, pour trouver d'un trait, ou par décomposition, le volume d’un corps quelconque, est comme suit:
‘6 A la somme des surfaces des bases où extrémités opposées et pa- ‘ yallèles du corps à évaluer, ou de l’une, quelconque, de ses tranches com- ‘ posantes, ajouter quatre fois la surface d'une section parallèle à ces ‘ bases et située à mi-chemin entre elles, et multiplier ensuite la somme ‘“ de ces surfaces par la sixième partie de la hauteur ou longueur du ‘ solide.”
(5) Le nouveau système ne comporte donc que le seul toisé de certaines surfaces et sections du ccrps sous considération, puisque une simple addition de ces surfaces et la multiplication de leur somme par la hauteur où longueur du solide, pour prendre ensuite la sixième paroi du résultat.
(6) Mais on a souvent à évaluer une surface indépendamment de toute considération ayant trait au volume du corps dans cette surface forme la paroi totale ou partielle,
Pour ces diverses raisons, il convient done de s'arrèter tout d'abord au
PROBLÈME I
Déterminer la surface d’un carré, rectangle, losange, rhombe ou parallélogramme quelconque :
| E F B C l | K L —— G | , Sr — R Al D et 0 N Pt 0,
(7) BREGLE EE Multipliez la base (182 G.) par la hauteur (180 @.) et le produit sera la surface voulue (833 ct 341 G.)
Ex. 1. Quelle est la surface d’un carré dont le côté mesure 204.3 pieds ? Rep. 41732.49 pieds carrés.
2. Quel est le nombre de carrés (le carré est de 10 x 10=100 piets carrés) dans un plancher, plafond, colombage, lambris, couverture, ete., rectangulaire, dont la longueur = 60 pieds et la largeur 35 pieds ? Rep. 21.
&. Quelle est la superficie d'un parallèlogramme dont la base égale 12.95 et la hauteur 8,5 ? Rep. 104.125.
4. Combien de verges carrées de peinturage, dans un rectangle dont la base est de 66.3 pieds et la hauteur 33.3 pieds? Rep. 245.31.
5. Déterminer la superficie d’une planche rectangulaire dont la longueur est 124 pieds, et la largeur 9 pouces ? Rep. 95 p.c.
1. Voir les faces composantes et les sections ou coupes parallèles des prismes et autres modèles du tableau. Ces figures se rencontrent partout dans la pratique du mesureur, géomètre, arpenteur, toiseur, etc.; ainsi, le parquet, plancher, ou plafond, ou l'un des pans d’un appartement ou d’une pièce quelconque sera d'ordinaire un carré ou un rectangle. Il en sera de même d’une porte ou d’une fenêtre dont une partie au moins sera rectangulaire, et l’on retrouvera encore cette figure dans la surface développée d’une joue de porte, de fenêtre ou de toute autre ouverture qui serait cintrée sans être ébrasée ; ainsi que dans le développement du pourtour d’une pièce ou d’un appartement quelconque dont le plan serait un cercle ou toute autre figure curviligne et dont il sera toujours facile d'obtenir avec assez d’exactitude les dimensions curvilignes à l’aide d’un ruban, si la surface à estimer est convexe, ou au moyen d’une tringle assez mince pour pouvoir s’ajuster à la surface concave à estimer. Pour ce qui est du parallèlogramme oblique-angle, on rencontrera souvent de ces surfaces à l’enaroit de deux courses superposées d’escaliers de même inelination. Les subdivisions des territoires en cantons, lots et parselles, affoctent aussi pour la plupart des figures de cette sorte,
20 GLEF DU TABLEAU.
6. On demande le nombre de verges carrées de tapisserie nécessaire pour couvrir un parallélogramme, dont ia base est de 37 pieds, et la hauteur de 5 pieds 3 pouces ? Rep. 21;..
7. Combien de pieds carrés de vitrage dans une fenêtre rectangulaire ayant 75 pouces en hauteur sur 374 pouces en largeur? Rep.75. x 37k+144=79 pieds carrés, 764 pouces carrés = 19, 755=19,53195 ou 6,3 x 3,/14/=19.63 = 19.6575 = 1951=19.53 ou 194 p. c. à peu près.
8. Combien de pouces carrés de dorure faudra-t-il pour couvrir une surface dont la longueur est de 3 pieds 3 pouces et la largeur a loppée ou périmètre de 13 pouces ? Rep. 507.
9. Quel est le nombre de pieds superficiels dans l’ensemble des moulures d’une corniche en pierre, en bois ou en plâtre, ete., dont la longueur est de 60 pieds 7 pouces et la largeur développée eu contour de 3 pieds 34 pouces ? Rep. 199, (à très-près) p.s.
REM. Ces largeurs développées, contours ou périmètres, s’obtiennent au moyen d’un fil ou ruban que l'on ploye autour des diverses moulures, dans une direction perpendiculaire (956, 9958 G.) à leur longueur.
10. On demande le nombre de verges carrées de vernis sur une porte dont la hauteur est de 74 pieds et la largeur développée (on mesure autour de toutes les moulures, ete.) de 3 pieds 11 pouces ?
Rep. 3 v.c. 245 p.c.z= 8 v.c. 2.375 p. c.— 32375 v.c.—=/3.20639 v. e., soit 34 v. c. à peu près.
11. Combien de mètres carrés dans une parcelle de terre ayant 113.75 mètres en longueur sur 10.5 mètres en largeur ? Rep. 1194385,
12. Déterminer en arpents et perches carrés, la superficie d’une terre mesurant 40 arpents, 5 perches en profondeur ou longueur, sur 3 arpents 74 perches de front ou largeur (10 perches linéaires formant un arpt. lin. et par conséquent 10 x 10 ou 100 perches carrées, un arpent carré). Rep. 151 arp. 874 perches.
(8) REGLE X. Z'aites le produit de deux côtés adjacents du parallélogramme, et multipliez ensuite ce produit par le sinus naturel de l'angle inclus.
En effet, on a vu (1:84, 1°@.) que qnant G D F C R=1 la perpendiculaire DE du triangle rectangle AED est égale au produit de l’'hypothénuse AD par ie sinus de l’angle À; mais DE est la hauteur du parallélo- :
gramme AC, et puisque surf, AC = AB x He B DE et que DE = AD x sin, À, il est clair alors que surf, AC=AB x AD * sin, A.
tr.
ee
TOISÉ DES SURFACEE, 21
Ex 1.—Quelle est la “arface d’un rhombe ou losange dont le côté est de 25 chaînes et l'angle inclus de 57° 34. Rep. 25 x 25= 625, et 625 x .84386 (sin. nat. de 67° 33)=227.4195 chs. ce.
(9) Pour résoudre ce même problème par logarithmes ! où R= 10, on a (1229, 1° G.) KR. sinus A :: AD : DE; d'où, DE = ADUX sa, or, surf. AG= AB x DE et en substituant à DE,sa valeur
R AD x sin. A « : . AD x» sin. À ——$ , on obtient pour surface AG,l’expressien AB x a D , A » AB * ADsin, pa . \ Q ou ce qui est la même chose, surf, AG = "© D) c’est-à-dire qu'il faut ajouter ensemble les logarithmes des deux côtés adjacents el le sinus logarithmique de l'angle inclus ; cette somine, diminuée du log.
du rayon, sera le log. de la surface voulue,
+log. AB D ER 1.397940 Lo eur -ÂC = x log. AD Qi asser 1.307949 | lon PES 9.926270 En CU CUS DR TT ET 10 DO OUR ACER NN Sin AE sers 2.722150
Log. moindre suivant 2.722140 = 527.41 chs.; la différence entre ce log. etle log. trouvé est 19, auquel ajoutant (4286 G@.) deux zéros et divisant par 82, on a (à très-près) 22 que l’on ajoute à la droite des chiffres 527.41 déjà trouvés, pour avoir comme auparavant, 527.4122,
Ex. 2. On demande la surface d’une ‘erre dont les côtés sont respectivement de 40f ar. et de 3 ar. 74 per. et l'angle inclus 57° 33.
+log. 404 ar. on 405 per........-... 2,607425 Log. surf. voulue= ? +108. 3 ar. 74 er. ou 37,5 per... 1.574031] o° : En 4 4 LA L» 12 72 Ly d x log. sin. angle inclus 57° 33... .... 9.926270 CE Là TE ES 10. LOW: BUÉ VOUIUB SR. - Ssssehsssesesesudusansse 4.107756
Le log. moindre suivant .107549 correspond au nombre 1281; la différence entre ce log. et le log. trouvé est 207 ; ajoutant les 0 et divisant par la dif. (D) 338, on obtient 612426 que l’on écrit (4286 @.) à là droite du nombre déjà trouvé 1981 pour avoir 1281612426 ; mais la caractéristique du log. trouvé est 4, ce qui correspond (1273 @.) à 5 chiffres d’entiers ; donc le nombre voulu est 12816.12426 perches, ou 128 ar, 16.124 (ou 164) perceles, près.
ent
1. Pour les tables de Logarithmes, voir le ‘Nouveau traité de Géométrie et de Trigonométrie, ete., ” par le même auteur.
CLEK DU TABLEAU.
PROBLÈME II
Trouver la surface d’un triangle. ‘
Pa 2
ÎlER CAS.
Quand la base et la hauteur sont données.
(19) HREGLE. Mulliplies la base par la hauteur et prenez la moitié du produit. Ou, multipliez l'une de ses dimensions par la moitié de l'autre (344 où S4S G.).
Ex. 1. Quelle est la surface d’un triangle dont la base est 625 et la hauteur 260 Ÿ Rep. 1062500.
2. Combien de verges carrées d’'enduits dans une surface triangulaire dont la base est 40 pieds et la hauteur 30 nieds? Rep. 66$.
3. Quel est le nombre de mètres carrés dans un terrain triangulaire, dont la base mesure 30 mètres 7 décimètres, et la hauteur 17 mètres 39 centimètres ? Rep. La surface voulue = 30.7 mètres x 17.39 mètres = 206.9365 m. ce.
4, Combien faut-il de carrés de lambris pour couvrir un pignon dont la base est de 37 pieds 9 pouces et la hauteur de 53 pieds 4 pouces ? Rep. 463? p. c, = 4 carrés 63% p. c.
&. Déterminer le nombre de carrés de toiture en chaume, tuile, ardoise, bardeau, zine, plomb, cuivre ou autre métal, ete., dans une eroupe dont la base est de 65.4 pieds et la haureur de 37.3 pieds ?
Rep. 1? carrés 19,71 p. c.
1. Voir les faces composantes ou limitatives des pyramides et autres modèles du Tableau, et les sections ou coupes parallèles telles qu’indiquées par le trait à mi-chemin entre les bases ou faces parallèles. Le triangle, comme le parallélogramme, se rencontre fort souvent dans in pratique du mesureur, ete. Les pignons d’un édifice, Les croupes d’un toit, les côtés ou joues d’une lucarne, etc., affectent cette sorte de figure; et il n’est pas rare non plus d’avoir à déterminer la surface d’un terrain triangulaire.
