PROBLÈME XLVIII
Déterminer le volume d’un tronc quelconque ABEF ! de paraboloïde droit ABC, à bases non parallèles.
(Voir le Tableau.)
(181) LEGLE. Faites, par le dernier problème, les volumes respectifs du paraboloïde entier ABC dont le tronc fait partie, et du paraboloïide partiel ou calotte EFG qui manque au trone donné pour compléter le paraboloïde entier : la différence de ces solidités sera le volume demandé,
Soit ABEF (fig. du dernier problème) une section du tronc donné par un plan perpendiculaire au centre D de sa base ; prenez sur l’axe Dd de la section une longueur quelconque Dd, mesurez DB, db et puisque (479, 7) l’on a CD:Cd:: DB : db , faites (96, div. G.) CD — cd :ed:: DB —db :db , où ce qui est la même chose DB— db : db :: Dd:dC, ce qui donnera pour hanteur de la parabole génératrice dD+dC=DC. Maintenant, par le point milieu H de EF, menez HG parallèle à DC (car dans la parabole le centre est infiniment éloigné et tout dir re GH, c’est-à-dire toute bissectrice GH des cordes ou doubles ordonnées parallèles EF, ef, re, est en conséquence parallèle à l'axe CD), mesurez Hr quelconque, HE et re et faites, comme auparavant, re HE :HE :: Hr:HG ; avec HG et l'angle GHyp ou GHE, l'on trouve facilement (475 #.) la hauteur perpendiculaire Gp de la calotte FGE, pour faire ensuite les volumes respectifs des cordes entier et.partiel et leur différence, ce qui résoudra le problème.
(182) REM. Si le tronc à estimer ABEF (Voyez la figure du prob. L et supposez que ce soit un tronc de paraboloïde) est celui d’un paraboluoide oblique ; menez entre À et F une droite quelconque Bd parallèle à FE, bissectez en %’, H' ces doubles ordonnées et menez GX’ H’ qui passera par le sommet G’ de la calotte FEG' ; menez ensuite Ee paraitlle à AB, bissectez ces parallèles en
1. L'on peut aussi obtenir comme pour l’onglet de prisme de pyramide, de cône ou de cylindre, le volume près de l'onglet ABC-D, ABC-D”, ACD’-D d’an conoïde parobolique droit ou incliné, et cela, absoïument de la même manière que pour ces divers solides. (Voir le problème XXX I, etc.)
H', het menez le diamètre Gh H qui rencontrera le sommet G du paraboloïde oblique ABG; l’on calculera, comme auparavant, les hauteurs GP, G'p des conoïdes entier et partiel, à l’aide des angles G'L'E, GHB et des droites Gk GX dont on établira les longueurs comme îit a déjà été dit, et on aura le volume du tronc= vol. ABG vol, FEG’=surf. AB x 4GP — surf, EF x +4 G'5. Pour avoir au besoin CD, l’on mènera d’un point quelconque entre A ét F une droite m 0 n (supposez une droite »m o » qui soit perpendiculaire aux parallèles G’h', GH et dont o soit le point milieu) perpendiculaire à GH ou à G’H/, lu perpendiculaire CD, où mo=on sera l'axe voulu.
- PROBLÈME XL'X
Trouver le volume d’un hyperboloïde droit ou oblique, ou d’un tronc q'ielconque d'hyperboloïde, compris entre des bases paralièles, perpendiculaires, où non, à l’axe de révolution.
(Voir le tableau.)
(183) REGLE. À la somme des surfaces des basez opposées du solide, ajoutez 4 fois la surface d'une section à demi-distance entre elles, multiplier le tout par + de la hauteur et le produit sera le vol. voulu.
Dans le és de l’hyperboloïde droit A8C ou du tronc AB bu d'hyperboloïde droit à bases parallèles, cette règle est, en d’autres termes, celle même qu’enseigne le “ calcul dif. et int.” et puisque le diam. intermédiaire est ici essentiel au calcul à faire, il est à démontrer comment on peut l’obtenir quand il ne se trouve pas au nombre des données nécessaires, L’hyperbole est telle que son centre O est en dehors de l’enceinte de la courbe, et comme dans le cercle, l’ellipse et la parabole, de même dans l’hyperbole tout diamètre OC, OG prolongé bissecte la corde ou double ordonnée AB, ab, — EF, ef parallèle à la tangènte tg, t'y" menée par Îe pairit C ou G où tel diamètre rencontre la courbe. Il suit de là que pour déterminer le centre de l’hyperbole, il n’y a qu’à meuer et à bissecter en D,d,—H,h, deux paires de parallèles quelconques AB, ab, — ÆF, ef, et à prolonger en dehors de la figure les droites Dd, H4 reliant les points de section, jusqu’à leur rencontre ex @ qui sera le centre voulu ; ou, si la direction OD de l'axe est cuutue, l’intersection de cet axe par la droite H# prolongée
déterminera je centre voulu. Maintenant, par la nature de l'hyper-
bole, l’on démontre el ‘“ sections coniques ”? que 20C.CD + CD': 2 b”
OC.Cd A Cd: : DB° : db , où que 20G. GH+GH':20G.Gh + Gh°
: HE :%e ; voilà done comment on obtient le diari. intermédiaire Fe ou #f en prenant Cd=dD ou Gh=AH suivant le cas.
Ex. x. La hauteur CD d’un hyperboloïde droit ABC est 10 pouces, et AD le rayon de sa base est 12 pouces, le diamètre intermédiaire ab est 15.8745 pouces : quel est le volume ?
Rep. A + 4 fois 15.8745 ) * 10-+-6—2073.454691 pouces cubes. 2. Un vaisseau qui paraît être un conoïde hyperbolique droit, a pour hauteur ou profondeur 50 pouces, pour diam. sup. 104 pouces et
pour diam. intermédiaire 68 pouces : quelle en est * capacité en gallons à vin +
Rep. 104” x .7854—8494.8864=surf. de la base supérieure, 4 fois 68” x .7854=68" x .3.1416=14526.7584, la somme de ces surfaces est 23021.6448, cette somme x + 50 ou, ce qui est la même chose x 50 et le produit - 6==191847.04 pouces cubes, - 231=8304 gallons.
3. Combien y a-t-il de mètres cubes d'espace sous une voûte qui a l’air d’être hyperbolique et dont la hauteur est de 15 mètres, le diamètre de la base 32 mètres et le diam. intermédiaire 20 mètres ?
Rep. 5152.224 mètres cubes.
4. Une chaudière en forme d’hyperboloïde, contient une certaine quantité de liqueur ; l’on demande combien il faudra encore de gallons pour la remplir, la partie du vaisseau à combler ayant par conséquent la forme d’un tronc d’hyperboloïde à bases parallèles ; les diamètres de ces bases sont 24 et 32 pouces, le diam. inter. ?8.1708 et la hauteur du tronc 29 pouces ?
Rep. (24 + 32° +4 fois 98.1708°) X .7854 x 20 +6 = 124994 pouces cubes ou 54.108 gallons, ou 7.2334 pieds cubes.
%. L'une des parties composantes d’un cul-de-lampe ou autre objet à estimer, présente l’apparence d’un tronc d’hyperboloïde dont la hauteur est 12 pouces, le petit diam. 6 pouces, le grand diam. 10 pouces et le diam. interm. 8k pouces : quel en est le volume ?
Rep. 667.59 pouces cubes.
(184) REM. Pour l’hyperboloïde oblique ou le segment d’un hyperboloïde droit par un plan non perpendiculaire à l'axe, ie “# calcul ” enseigne à obtenir le volume en faisant la proportion sui-
vante: GH+2G0 :: # GH+2G0: :+ cylindroïde de mème base et hauteur; volume requis.
148 OLEF DU TABLEAU.
6. Soit à cuber un hyperboloïde EFG dont le grand axe EF de la base elliptique mesure 78 unités et son diamètre conjugé 69.2, soit OG 41.7, GH=198, Gp=158; l’on a vu que pour trouver efil y à à faire 2GO.GH+GH : 2GO.Gh + Gh'::HE he, où (ce qui (73, Ax. G.) est la même chose) :: EF”: ef, c’est-à-dire, en chiffres, 2043 .36 : 923.67 :: G084 : 2750.18=ef d’où ef=52.44217 ; maintenant la section parallèle ef étant une ellipse semblable à EF, on aura surf, ef en faisant EF : ef °:: surf, EF : surf, ef ou G084 : 2750.18 :: 4239.975 : 1916.3=surf, ef ; enfin (surf, EF + 4 surf. ef) x + Gp=volume EFG, ou (4239.275+4 fois 1916.3) x 15.8 et-+6=31,348.4508 unités de volume dans le solide à estimer. Pour preuve, la règle donnée dans la reinurque qui précède cet exemple, donne 103.2 : 96.6: : 33490.2723 : 31,348.4595, la différence 31534555 OU .00000005 étant due aux décimales négligées.
PROBLÈME L
Déterminer le volume d’un tronc quelconque ABEF d'hyperboloïde à bases AB, EF non parallèles. !
(Voir le tableau.)
(185) REGLE. Faites séparément les volumes respectifs de l’hyperbole entier ABG et de l’hyperboloïde partiei EFG, et prenez la différence de ces volumes qui sera ia solidité voulue.
Menez Bb parallèle à EF, Ee parallèle à AB, bisséctez ces deux paires de parallèles et par les points de bissection menez les droites HO, H'’O dont l'intersection en O sera le centre de la courbe génératrice.
Par les points d’intersection G, G’ menez les perpendiculaires GP, G'p aux bases AB, / n EF et le volume demandé sera (surf, AB + Lt 4 surf, section intermédiaire entre AB et G) x 4 GP, moins (surf. EF +4 surf. sect.
inter. entre EF et G’) x 4 G'p.
REM. I. Pour fixer la direction de l’axe CD de révolution : du centre O avec un rayon quelconque, intersectez les côtés opposés de
1. L'on peut nussi obtenir comme pour l’onglot de prisme, de pyramide, de cône ou de cylindre, le volume près de l'onglet ABC-D, ABC-D’, ACD’-D d’un conoïde hyperbolique droit ou incliné, et cela, absolument de la mème manière que pour ces divers solides. (Voir le problème XXXI, ete.)
la courbe, joignez ces intersections par une lig::e droite, et OD menée perpendiculaire du centre O sur cette dernière sera la direction voulue.
REDMI. EX. Pour trouver les points G et G’, c.-à-d. les facteurs GP, Gp et les autres éléments nécessaires au calcul des surf, des sections intermédiaires et des volumes des solides entier ot partiel, on à vu (188 T.) que 20G.GH + GH Ë 206. Gh + Gh :: AB "Æ, ce qui denne (96. div. G. ) (2 20G.GH +GH dite - (20G.Gh + Gh° *):20G Gh+ GR #3 ÂB-cE :Æ. Dans cette proportion, on connaît (20G GI + GI )— (20G.Gh+Gh À = = 2Hh.h0 + Hn (e omme une simple esquisse de 20G.Gh + GA superposée à 20G.GH + GH ‘le fait voir de suite) ; on connaît aussi AB —cE et eE ', c’est-à-dire, 3 termes pour Pour le dième 20G.Gh + Gh° ; maintenant (859 G.) 1 —(20G.Gh
+ Gh =6G0 ? VGo”- == GO,H0 — GO=GH et à l’aide de GH et de l'angle GHB on détermine GP, ete., etc.
PROBLÈME LI
Déterminer le volume près, d’un fuseau quelconque, soit circulaire, elliptique, parabolique ou hyperbolique.
(186) REGLE. Divisez le demi-fuseau (ACD ou BCD) en deux sections ou tranches parallèles (AEF, ECDF) d'épaisseur où hauteur (AL, LK) égale ou à peu près égale, par des plans perpendiculaires à l'axe de révolution (AB) de la courbe génératrice (ACB ou ADB) ; faites séparément le volume de chacune de ces tranches, en ajoutant à la somme des surfaces de ses bases parallèles ou opposées, 4 fois la surface d'une section (ef, ed) également éloignée de ces bases, et multipliez le tout par de la hauteur de la tranche ; faites ensuite la somme des volumes des deux tranches composantes et doublez le résultat pour le volume près, du fuseau proposé.
(187) Ex. I. On demande le vol.
pres d’un fuseau circulaire (c-à-d.
engendré par la révolution d’un are de cercle) dont la longueur AB est 48, et le diam. CD 36?
Rep. Si les diamètres intermédiaires EF, ef, cd ne sont pas donnés ou qu’on ne puisse les obtenir directement par le mesurage du solide à estimer, il sera facile de les déterminer par le calcul ;
ainsi on aura tout d'abord le rayon oC de l’are ACB par la méthode du par. (540 G.): 24 +18=3%2=le reste du diam. dont CK fait partie, le diam.=32+18=50 et le rayon par conséquent=?5. Maintenant on aura op, og et or respectivement égaux aux racines carrées des différences entre le carré du rayon et les carrés de ep, Eg et cr, ce qui est évident; or, si lon‘suppose AL=KL on aura An=nL= Ln=mK, ou cr=6, Eg=12, ep=18, 0p =0e — ep 625 — 324 = 301 dont la y est 17.349352 de laquelle retranchant oK=7=25—18 il reste Kp ou en = 10.349352 et par conséquent ef ou 2en=20.698704 ou soit 20.6987, car, comme la différence de volume d’après cette règle est toujours en plus, on peut négliger au moins les dernières décimales; de l4 même manière on trouve diam. EF=29,863 et cd= 34,5386,
Le volume de EC=(DC" +4 ed + EF) X,.7854 x E KL ou par 2 = 10931.82, le volume de efAZ(EF +4 ef ) x .7854 x 2—4092.72, ces volumes ajoutés l’ur à l’autre et le tout x ?, donne pour volume du fuseau entier 30049 unités cubiques.
REED. Le volume exact du fuseau du dernier exemple est 29916.6714, c.-à-d. que le volume rapproché excède de ,15?; ou de .0044 (moins d’un demi-centième) le volume réel, ce qui équivaut d'ordinaire dans la pratique à une exactitude parfaite eu suffisante au moins, eu égard au travail additionnel qu’il faut donner au caleul d'après les règles ordinaires; et d’ailleurs comme on l’a déjà dit (1137 G, 140 T.) on peut avec la règle ici donnée porter la précision à tel degré qu’on voudra par une subuivision du demi-fuseau en trances plus nombreuses et dont les côtés s’approchent davantage de la ligne droite. ,
(188) Ex. 2. Trouver le volume pres, d’un fuseau elliptique (c’est-à-dire engendré par la révoiution d’un arc d’ellipse autour d’une corde perpendiculaire à l’un de ses axes) dont la longueur AB est 80 décimètres, le plus grand diam. CD 24 décimètres et un diam. EF également éloigné de A et CD 18.99094 décimètres ?
Rep. 'Soit AECGB la courbe génératrice; pour en trouver le centre, menez (36 T, R. I.) deux cordes parallèles quelconques BC, ab et par les points milieux de ces cordes menez une droite GO qui intersectra CD, prolongé s’il le faut, en O centre de l’ellipse. Soit maintenant CO =30, l’on a un diam. de l'ellipse=2CO, une ordonnée AK ou KB=+%+ AB=40, une abscisse CK ou segment du
diam.=1? et par conséquent l’autre segment =2C0 — CK=60 - 12= 48, pour trouver (176, T. R. E.) l’autre diamètre MN de lellipse en faisant ÿCK x (2C0 — CK): KB : :2C0 : MN ou 12x48 : 40 : : 60 : 100 = MN, MN étant le moindre ou ie plus grand diam. de l’ellipse, suivant que le rectangle des segments est plus grand ou moindre que le carré de l’ordonnée ou perpendiculaire'KB.
Pour avoir ef, on fera d'abod la proportion MN :2C0 ou (ce qui est la même chose) MO : CO : : ŸMgq.qN : ge ou 50 : 30 : : 20 x 80 : eg = 24 et comme ng=KO=CO—CK=30 -12=18, on aura en=21—18 +6 et diam. ef=?en 12; on trouvera de même es—=29,39412, cs — ms= 11.39412= cm et 2cm== diam. cd=22.78824, Ki EF n'était pas donné on le détermineruit tout de même.
Diam. EF 18.990094 — 360.6558 Diam. EF 18.990904" — 360.6558 4 Diam. ed 22.788241" —2077.2155 4 Diam. ef 12.00000 = 576.000 Diain. CD 2400000 = 576,0000
Somme = 936.6558
Somme = 3013.8713 RE
Aer! HER Produit =735.649456
Produit =2367.0935 à 40
x 40 as 14 He A
| Qc uotient = 4904.32976 Quotient 5 ts “ = 2 vol. EFA
=9 vol. ECDF
vol. ? FC =15780.62 vol, 2 EFA= 4904.33
vol. AB = 2068495
La somme 20,684.95 de ces volumes est celui du fuseau proposé et ne diffère que de 57 unités en plus, ou du quart de 1 pour cent, .du vol. exact 20628.34 dont le calcul par les règles ordinaires exige un travail bien plus considérable, et offre par suite de la diversité des opérations à faire (telles que détaillées dans un énoncé de 16 lignes de texte) beaucoup plus d'occasions de se tromper, comme c’est d’ailleurs toujours le cas, plus ou moins, quand le procédé à suivre n’est pas tellement simple et direct qu’on puisse sans effort se rendre compte, en poursuivant les détails du calcul, de la raison d’être de chacun d'eux. Voici l'énoncé dont il s’agit.
1°. De trois fois le carré du diamètre au centre (CD) soustrayez quatre fois le carré du diamètre (EF) entre le milieu et l'extrémité: aussi, de quatre fois ce dernier diamètre, retranchez trois fois le diamètre au
centre ; et'un quart du quotient provenant de la division de la première différence par la dernière, donnera la distance centrale (OK).
2°. Trouvez par la méthodedu par. (296, 'T. R.E.) l'axe de l’ellipse el par la méthode du par. (G1,'T.) la surface du segment générateur (ACB).
3°. Divisez trois fois la surface ainsi trouvée, par la longueur (AB) du fuseau, et soustrayez du quotient le diamètre au centre ; multipliez alors le reste par quatre fois la distance centrale, et retranchez ce produit du carré du diamètre au centre ; ce dernier reste multiplié par le tiers de la longueur du fuseau et le produit de nouveau par 1.57079, donnera le volume du fuseau.
Le calcul à faire d’après cet énoncé est d’au moins deux à trois pages, et cela sans même y comprendre les détails des multiplications, divisions ete. ; tandis que tout ce qui est essentiel à l'énoncé de la
règle ici donnée se résume en ces mots: Multipliez la sixième partie
de la hauteur de chacune des tranches composantes par la somme des surfaces de ses bases plus quatre fois la surface d'une section à demidistance entre elles ; la somme des volumes ainsi obtenus sera le volume du fuseau à très près ; et comme, dans la pratique, l’on obtient d’ordinaire les diamètres nécessaires ef, EF, ed, CD par un mesurage direct de ces diamètres ou de leurs circonférences respectives, tout le calcul à faire se réduit, sauf les multiplications, à celui que l’on vient d'indiquer au bas de la dernière page.
(189) Ex. 3. Trouver le vol. d’un fuseru parabolique, «c’est-à-dire engendré par la révolution d'une parabole ACB ou ADB autour d’une double ordonnée AKB perpendiculaire à l’axe CK) dont la longueur AB est 60 et le plus grand diam. CD 34?
Rep. Dans le cas de la parabole et des distances égales An, nl, Lm, mK, les diamètres intermédiaires ef, EF, ed, s'ils ne sont point donnés, sont des plus aisés à déterminer, puisque comme on l'a vu (179, T.) les abscisses ou segments Cp, Cq, Cr, de l’axe sont comme les carrés des ordonnées correspondantes ep, Eg, Cr et que quand ces ordonnées sont des multiples où sous-multiples égaux l’une de lautre, les segments ou abscisses sont aussi de simples multiples ou sous-multiples de l'axe entier CK ; or (215 G.) à cause de Eg=
+AK on aura Eqg =}AK et par Mgr otre Cq=t CK, on aura de même Cr=t Cq ou x CK et Cp =,%CK puisque ep:AK::3:4 et
que 8° :4"::9: 16; l’on trouvera donc de cette manière Cq=17+4 =4,25, Cr 4.95 + 4 ou 17 + 16 = 1.0695, Cp = 317 = + + 5 = 8.54 1.0625=9,5625, d’où l’on obtient diam. ef = 2pK=14.875, EF=2KQq= 25.5, cd=?2Kr =3l. 875; maintenant vol. AËF=— (surf. EF + 4 surf. ef)
x 4 AL = (EF° + A ef ) x .7854 x 4 AL = (? 25.5 +4 fois 14.875” ) x 7854 x 24 ou de suite par 5 (puisqu'il y a deux conoïdes ou segments égaux dans le fusée sau à estimer) = 6033. 1 unités cubiques ; le volume
du tronc FC C=(34° +4 fois 31, 875" + 25.5 3 * .7854 x 24 ou par 5 pour avoir 2FC=923052.7 unités cubiques ; la somme 29085.8 de ces volumes est la solidité du fuseau proposé ; elle ne diffère de la solidité exact 290534 que de 32 unités, c’est-à-dire, de 35455 où .0011 soit 4 de ! pour cent en plus.
REM. Quelque compliquées que soient les règles ordinaires pour le volume des fuseaux circulaire et elliptique, la règle pour le fuseau parabolique est au contraire fort simple ; elle consiste seulement à multiplier le carré du diamètre central par la longueur du fuseau et le produit de nouveau par ,418879 (=3.14159-+7+) ; mais il y a toujours ceci à considérer que si le fnseau n’était pas proprement dit parabolique, cette dernière règle pourrait être assez loin de fournir un volume exact, tandis que par la règle générale qu’on trouve ici pour tous les solides élémentaires, on n’a pas à s'occuper tout d'abord de la nature du solide à estimer, si ce n’est toutefois quand il y a lieu de déterminer par le calcul les diamètres intermédiaires dont on a besoin.
(190) Ex. 4. Un fuseau ABCD qui a l'apparence d’être hyperbolique (c'est-àdire, engendré par la révolution d’une hyperbole ACB ou ADB, autour d’une corde ou double ordonnée AKB perpendiculaire à son axe CK ou KD) et dont je plus grand diamètre CD=71 pouces, mesure 106 pouces en longueur AB, et ses diamètres intermédiaires pris en 4 endroits m, L, n, équidistants l’un de l’autre et chaque distance égale au quart de la demi-longueur AK du fuseau, sont respectivement ef —26.8, EF —=49, cd=65.4 : quel en est le volume ?
Rep. (CD +4cd +EF°) x.7854 x 4 LKet(EK”+4e@) x 1854 * 1 AL, ou ce qui est la même chose, puisque AL=LK, vol. = (CD” +4 cd” +9EF" +4 ef) x .7854 x 4 LK ou AL, ou par # LK ou AL pour avoir de suite le volume du fuseau entier = (71 + 4 fois
65.4 x 2 fois 49° + 4 fois 26.8 ) x.7854 x 53-+f < 206,914 pouces cubes ou 119.742 pieds cubes.
154 OLEF DU TABLEAU.
Ponr trouver Op ou Cp et par suite pK=CK -- C p=<en:=+ diam, interm. ef, on a d’abord AK° sept: : 2OC.CK + CK : 20C.Cp + Cp, ’ puis, comme on l’a dit (REDMI. 17.) (20C.CK + CK” ) — (20C Cp + Cp )==2Kp.p0 + Kp° ; Or, il est clair (329, G.) que 2Kp'pO + Kp + pO ==KO ; d’où, à, pÔ = =KO — (2Kp.pO + Kp )on pO = = KO —
