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pommes

Fc men = CE Pr M NAPPES EN ete RES GE D rue

PROBLÈME XLII

Étant donné le diamètre d’une sphère, trouver le côté de l’un quelconque des polyèdres réguliers, qui puisse être inscrit dans la sphère, circonscrit à la sphère, ou qui soit égal à la sphère.

(Voir les 5 polyèdres réguliers du tableau.)

(172) REGLE. Multipliez le diamètre donné par le nombre qui, dans la table suivante, répond à la demarde, et le produit sera le côté du polyèdre voulu.

Il suffit de ce que l’on a déjà dit à l'endroit des polyèdres réguliers (pages 423 à 427) pour faire comprendre de suite comment on a pu calculer cette table.

Le dianètre | Capable d'étre d'une sphèreétant, inscrit dans la 1, le côté d'un sphère, est

Eqal en volume à celui de la sphère, est

Capable d'étre circonscrit à la sphère, est

| Tetraèdre 0.8164966 2 4494807 1.6439480 | Hexaèdre,..... 0.5773503 1.0000000 0.8059958 Oelphdre.s vus 0.707 1068 1.2247 447 1.035630) Dodécaèdre....| 0.3568221 0 4190279 04088190 Tocanddte. 0:5257309 06615845 0.621443

Ex. L'on veut refondre en forme d’un cube parfait d'égal volume, un boulet de canon dont le diam. est de 10 pouces; quel sera la longueur de côté de l’exaèdre voulu ?

Rep. 0.8059958 x 10=8.059958 pouces.

2. De combien diminura-t-on le poids d’une sphère en pierre de 5 pieds de diamètre, en le réduisant au plus grand polyèdre régulier de 20 côtés qu’on puisse en tirer, 1e poids de la pierre étant supposé égal à 150 livres par pied cube ?

Rep. Le vol. de la sphère donnée=5 Ÿ X .5236— 65.45 pieds cubes ou 65.55 x 150=98174 livres pesant, Le côté de l’icosaèdre voulu sera, d'après la règle, 0.5257309 x 5=2,6286545; cubant ce dernier nombre, on a 18.163 et multipliant ce cube par le volume 2.181695 du polyèdre de :.eme nom dont le côté est 1, on a pour le volume de la sphère réduite en icosaèdre 39.626 pieds cubes ou 39.626 x 150 = 5943.9 livres pesant; la différence 3873.6 livres est le poids demandé.

Étant donné le côté de l’un des cinq polyèdres réguliers, trouver le diamètre d'une sphère qui puisse être inscrite dans le polyèdre, circonserite au polyèdre ou qui lui soit égal en volume.

(Voir les 5 polyèdres réguliers du tableau.)

(173) REGLE, l'aites les proportion suivante: le nombre respectif de la table ci-dessus, sous le titre ‘‘inscrit,” “circonscrit,” “égal, ” est à 1, comme le côté du polyèdre donné est au diamètre de la sphère inscrite, cürconscrite ou égale, suivant le cas.

En d’autres termes: le côté du polyèdre inscrit, circonscrit ou égal (suivant le cas) de la table, est au diam. 1 de sa sphère circonscrite, inscrite or égale, comme le côté du polyèdre donné est au diam. de sa sphe irconsérite, inscrite ou égale,

Ex. 1. Le côté d'un icosaèdre est 2.623865, on veut le réduire en une sphère du plus grand diamètre possible, quel sera ce diamètre ?

Rep. .6615315:1::2.62865:3.973, près, lé Zliamètre voulu. Ta surface de l’icosaèdre donné est (25 TT.) 2.62865 x 2.628635 *« .4330127 x 20=59.849355, cette surf. x 3.973 +6 (c’est-à-aire par la sixième du diam. ou tiers du rayon de la sphère inscrite) donne pour le volume de l'icosaèdre 39.6259 pieds cubes ou 39.626, comme dans l’exemple 2 du problème précédent, chacun des deux résultats étant de cette manière une vérification de l’exactitude de l’autre et en même temps une preuve de l'exactitude des facteurs du tableau.

2. On demande quel sera le diamètre du bonlet de canon qu’on pourra obtenir en faisant refondre une masse de fer en forme d’un octaèdre de 12 pouces de côté ?

Rep. 1.053563: 1 ::12:11.58715, c’est-à-dire, le diam. du boulet sera de 11.6 pouces près.

PROBLEME XLIV

Trouver le volume d’un sphéroïde quelconque,

(Voir sur le tableau, les sphéroïdes apiati, allongé et à 3 axes.)

(174) REGLE I. Multipliez l'axe fixé par le carré de l’uxe de révolution (ou par le rectangle ou produit des deux axes de révolution, suivant le cas) et le produit par .5236 : le résultat sera le volume demandé.

RÆEDMT. Il est clair que cette règle est en tout analogue à celle que l’on donne (:086 G.) pour établir le volume d’une sphère; et en effet, le sphéroïde, coxime la sphère, vaut les & de son cylindre circonscrit ; car l’on démontre en ‘sections coniques ” que si l'on à Ao: 00 dans l’ellipse :: Ao:

00 dans le cerele, l’on aura aura aussi oc: OC dans l'ellipse :: oc: OC dans le cercle; de là, puisqu'on peut (1009, G.) regarder la sphère et le sphéroïde conime composés chacun d’une infinité de tranches minces ou de surfaces superposées engendrées par la révolution d'un même nombre d’ordonnées oc perpendiculaires à l’axe fixe AB des deux solides, et que ces surfaces composantes sont entre elles comme les carrés des rayons générateurs, il est évident que les deux solides seront aussi entre eux comme les carrés (104 G.) de ces ordonnées, ou, ce qui est la même chose, comme les surfaces des bases ou sections correspondantes des cylindres de même hauteur AO circonsceri‘s à ces solides.

Ce que l’on vient de dire du sphéroïde allongé AB et de sa sphère circonscrite, s'entend également du sphéroïde aplati CD et de sa sphère inscrite, car, quel que soit le rapport de Om à mC dans chacun de ces deux dernières solides, on aura entre am AO de l’un le même rapport qu'entre am et AO de l’autre.

475) REGLE 1. Multiplies (12T T.) 4 fois la surface d'une section quelconque (AB, CD, GH, etc.) passant par le centre (O) du sphéroïde, par + de ia hauteur perpendiculaire (CD, AB ou EP, etc.) du solide correspondant à telle section.

Car, en premier lieu, pour ce qui est du sphéroïde engendré par la révolution de la demi-ellipse ACB autour de son axe AB, les facteurs dans les deux règles se réduisent aux mêmes, En effet la première règle donne pour volume AB * CD x CD «5236 et la

seconde règle donne CD x CD *x .7854 x 4x1 AB; si ces expressions sont égales ou équivalentes, l’on doit avoir (en négligeant les facteurs AB, CD, communs aux deux formules) .7854 x 4x1=,.5236; or .7854 X 4= 3.1416 et 3.1416 : 6=.5236 ; donc etc.

En second lieu, La section AB du même sphéroïde est une ellipse égale en tout à l’ellipse ACBD et sa surface est (57 T.)= AB x CD x.7854; si la seconde règle est correcte, l’on aura donc AB x CD x .7854 x 4x4 CD = AB x CD x CD x .5236 ; et en effet en éliminant les facteurs AB, CD et CD qui sont communs aux deux expressions,

il reste encore 7854 x 4 x &=.5236; donc, etc.

En trvuisieme lieu, il est à démontrer que 4 surf. section GH x 1EP est encore égale à CD” x ABx* 5236; or, les sections coniques enseignent que quels que soient les axes ou diamètres conjugés 1 GH, EF dont on se sert, les parallélogrammes circonscrits à l’ellipse et dont les côtés sont parallèles à ces axes conjugés, sont tous égaux en surface au rectangle AB x CD; mais (8, T.) la surface du parallélogramme ayant pour côtés GH, EF est GH x EF * sin, nat. angle EOG ou EFP-GHXxEP. La surface de la section GH=(car toute section d’un sphéroïde est une ellipse) GH «x CD x .7854 et l’on vient de voir que GH x EP=AB x CD ; donc GH x CD x .7854 x 4 x 4 EP= AB x CD x CD x.5236, CD étant commun aux deux formules, AB x CD=GH x EP et .7854 x 4 x 4=.5236 ; donc, etc.

REDMT. Dans le cas du sphéroïde aplati engendré par la révolation de la demi-ellipse DAC autour de l’axe CD, la preuve est analogue à celle que l’on vient de donner.

Æx. 1. Quel est le volume d’un ellipsoïde allongé dont l’axe de révolution est 60, et l’axe fixe 80 ?

Rep. 60 x 60 = 3600, 3600 x 80 = 288000,288000 x .5236—150796.8 unités de volume.

2. Avec les mêmes données, quel sera le volume du sphéroïde aplati ? Rep. 80 x 80—6400, 6400 x 60 = 384000,384000 x .5236 =201062.4 unités de volume.

3. Un sphéroïde allongé a pour axes 100 et 200; quelle en est la solidité ?

Rep. 100” x 200 x .5236—1,047,200=le volume demandé. Maintenant, soit EF dans cet ‘exemple un diamètre quelcunque=166, on

aura son conjugé GH=VAB? +CD° — EK°(car l’on démontre en ‘sec

tions coniques ” que la somme des carrés de toute paire de diamètres conjugés est égale à la somme des carrés du grand et du petit axe) = 149.81322, 4 surf. GH=GHxCD x .7854 x 4 = 47065.3212. Puisque AB.CD=EF.GH x sin. rat, EOG, on obtient sin. nat. EOG=AB.CD + EF.GH=20000 + 24869=8042141=53° 32, et .8042141 x 166=EP

1. Lo diam. GH, conjugé de EF, est celui qui est parallèle à la tangente PF à l'ellipse au point F, où le diam. EF rencontre la courbe. Lo

138 OLEF DU TABLEAU.

= 133.49954, et 47065.3212 x 133.40954+ 6—1,047,199.8, la différencé * entre les deux résultats se rapportant aux décimales qu'on à négligées dans le calcul.

4. Si les deux axes de la terre sont entre eux comme 304 et 303 quel sera le volume du sphéroïde (il est aplati, 1: diam. polaire étant moindre que le diam. équatorial) et de combien ce volume diffèrerat-il de celui d’une sphère sur le grand axe ?

Rep. Le vol. du sphéroïde= 304 x 304 x 304 x ,5236—14661872.3328 le volume d’une sphère sur le grand axe =14710261.3504 et la différeuce de ces volumes est 48389.0176.

PROBLÈME XLV

Déterminer le volume d’un segment quelconque de sphère ou de sphéroïde à une seule base ou a’un tronc quelconque à deux bases parallèles, perpendiculaires ou non aux axes du solide.

(Voir les segments et zones solides du tableau.)

(176) REGLE. À la surface de la base du segment ou à la somme des surfaces des bases du tronc, ajoutez 4 fois la surfuce d'une section à demi-distance entre la base et le sommet ou entre les bases parallèles, suivant le cas, et multipliez le tout par 4 de la hauteur du solide : le produit sert le volume demandé. T

En premier lieu, pour ce qui est du demi-sphéroïde (dont on peut d’ailleurs obtenir le volume en faisant celui du sphéroïde entier pour en prendre ensuite la moitié) on a vu (474, F.) que surf, section cd : surf. section CD dans le sphéroïde ::

surf, section cd : surf, section CD dans la sphère ; or il a été démontré (134. TT.) que dans la sphère, surf. cd à demi-distance entre A et O=# surf. CD : donc aussi dans le sphéroïde, surf. ed=# surf. CD ; donc surf, CD+ 4 surf. ed=4 surf, CD, et par le dernier problème, vol. ACD=4 surf, CD x# AO ; donc vol. ACD= (surf. CD +4 surf. cd) x + AO.

Maintenant, pour le demi-sphéroïde dont la base AB est uno ellipse= ACBD dont la section ab est aussi une ellipse sembläble à la base, (car toutes sections parallèles quelconques du sphéroïde sont des ellipses semblables) on a encore surf. ab:surf. AB :: surf, ab: surf AB

1 La figure ds ce paragraphe représente un segment quelconque ACB ou aCÿ ou cCd de sphère ou de s\hé-oïde, on un troic quelconque AB-ub, ou ab-cd, ou AB-c de sphère ou de sphér"e; mais la démonstration a lieu par la figure au haut de la page 136.

dans la sphère, car ab : AB : ab: AB dans les deux solides et (104, @)

a : AB ::ab° : AB dans les deux solides, et les surfaces des ellipses semblables, comme de toutes autres figures semblables, sont entre elles comme les carrés de leurs diamètres ou autres lignes homologues ; donc surf. ellipse ab=# surf. ellipse AB ; cr, vol. demisphéroïde ACB=par le dernier problème 4 surf, AB x 4 CO; donc aussi le même volume = (surf. AB-+4 surf, ab) x & CO.

REM., 1. C’est encore une propriété de l’ellipse que tout diam. EF de cette figure bissecte toute corde ou double-ordonnée gh parallèle au diamètre conjugé GH, ce qui donne nh=ng et l’on démontre que de :nême que l’on à (sections coniques) AB :CD :: VA0.0B : oc, et CD : AB :: /Cm, mD : mb, de même on a aussi EF :GH::#YEn,nF :nh et par suite que nh : OH :: mb : OB :: oc : OC quand On, Om et Oo ont à OF, OC et OA ou à nF, mC etoA le même rapport. On aura donc surf. section gh=# surf. section GH et comme il est déjà démontré que vol. demi-sphéroïde GFH=# (4 surf, GH x } EP) on aura aussi vol, GFH=(surf. GH+4 surf. gh) x 4 Op ou par 4 EP +2,

(177) En second lieu, pour ce qui est de tout segment de spheroïde autre que le demi-sphéroïde, il sufft de ce que l’on vient de dire et de la démonstration qu’on à donnée au par. (485 "F.) de l'exactitude de la règle dans le cas d’un segment quelconque de sphère, pour faire comprendre aussi son exactitude dans le cas actuel ; ce qui dispensera aussi d'ajouter sans nécessité aux dimensions déjà volumineuses Ge ce traité.

Ex. 1. Quel est le volume d’un segment MNA de sphéroïde à une base MN perpendiculaire à l'axe fixe AB, la hauteur Ao du segment étant de 10 unités et les longueurs des axes AB=100, CD=60?

Rep. AB: CD :: /Ao. oB:0M, d’où oM =18 et MN=3%; rm==Ar.rb x CD + AB= 13.0766985 et sn =26.153307 ; surf. MN +4 surf. mn=(MN° +4 mn )

x .7854, MN °=129%6, mn =684 à très près, (1296+4 fois 684) x .7854 =3166.7328, multipliant par 4 Ao, ou par + 10, on a 5277.888 unités de volume dans le segment proposé.

2. On demande la solidité d’un segment MNB de sphéroïde par un plan MN perpendiculaire à laxe fixe AB, oB étant = 20 et AB, CD 100 et 60 respectivement ?

Rep. Sim n’est pas donné on le trouve=Ar’.r'B x CD-+ AB (puisque AB:CD ::YAr B:rm où 100:60 :: 955 x 45 : r’m’) = 29

«8496208 où m'n' = 59,6992416, MN° + 4 mn” x .7854x1 0B = vol. MNB=183218.112; la somme 188,496 de ces volumes est le volume du sphéroïde entier ACBD, car (174, "T.) 60 x 60=3600, 3600 x 100= 360,000 et 360,000 x.5236— 188,496, ce qui prouve aussi l'exactitude de la règle de ce problème.

REM. EI. Dans Lis deux derniers exemples on a supposé les axes AB et CD connus: mais cette connaissance n’est aucunement essentielle, puisque les diamètres intermédiaires mn, m'n’ sont censés connus ou que d’ailleurs on peut les obtenir directement en mesurant, dans la pratique, ces diamètres ; et c’est là l’un des avantages de la règle de ce problème, qu’elle ne requiert pas que l’on sache à qu! sphéroïde appartient le segment à estimer.

8. Un segment MNC de sphéroïde par un plan MN perpendiculaire à l’axe de révolution CD, et dont la base est par conséquent une ellipse, a pour hauteur oC 12 unités, les axes AB, CD étant respectivement 100 et 60 : quel est 1° contenu solide äu segment ?

Rep. CD: AB :: /Co.oD : oM ou 60 : 100 D :: 48 x 12 : 40, et parce que les sections parallèles MN, AB sont semblables, on a AB : CD :: MN : pq diamètre conjugé de la base elliptique MN du segment donné; donc pg=60 x 80--100=—48 et surf. Mp Ng =80 x 48 x .7854; puisque 0C0=12 on a rC=6 et rD=54, 60 :100:: 154 * 6: 30=7rm, le diam. conjugé de rm—18 (car 100: 60 :: 30 : 18) et la surface de la section mn=—60 x 36 x .7854 ; j cela posé, on à vol.

MNC = (surf. MN.+4 surf. mn) x 4 oC=MN + 4 mn” x .7854 x 2 19603.584 unités de volume.

4, Quel est le volume de l’autre segment du même sphéroïde ?

Rep. On a r'D=0D—+#+ oC=24, et rC=36, d’où l’on obtient comme auparavant m/x:/=979796; l’autre diam. où axe de l’ellipse m'n/=58.78776; d'où surf. m'n/—4523. 904 et surf. MN + 4 surf. mn =21111.55?, cette somme * + 48 ou par 8 = 168892.416 le volume demandé.

Les deux segments réunis donnent 188,496 qui est en effet le volume du sphéroïde entier comme on l’a vu à l’endroit du 2ème exemple.

5. Quelle est la solidité d’un tronc central AD de sphéroïde dont les bases parallèles sont des cercles égaux de 40 pouces de diamètre, le plus grand diamètre du tronc=50 pouces et la hauteur ou distance entre les bases parallèles 18 pouces ?

Rep. (Surf, AB +su'f, CD +4 surf, EF) x 1 OP= (40° ++ 40 ou 2 fois 40 } +4 fois 50 ) X 7854 x 3=31101.84 pouces cubes ou 18 pieds cubes près.

6. Les diamètres respectifs des bases parallèles d'un trone de sphéroïde sont 10 et 20, le diam. d’une section à distances égales de ces bases est 30 et I hauteur du trone est 40 : quel est le volume ?

Rep. (10 +20 +4 fois 30) x .7854 x 406 = 3220.14 x 406 = 64402.8 pouces cubes,

2. L'une des parties composantes d’un cul-de-lampe adossé à un mur, présente la forme dun demi-segment où tronc de sphéroïde à bases parallèles elliptiques. Les diamètres des ellipses ou plutôt des demi-ellipses inf, et sup. mesurent respectivement 30 et 39 pouces, le diamètre intermédiaire est 86 et les trois demi-diamètres conjugés ou saillies du cul-de-lampe mesurent 10, 13 et 12 pouces, la hauteur du tronc est 18 pouces ; quel en est ie volume ?

Rep. (30 *X 10+539 x 13 + 4 fois 36 x 12) x .7854 x 3 = 59729,67 pouces cubes ou 3.4 pieds cubes près.

S. L'on désire savoir combien il y a de gallons (231 pouces cubes au gallon) dans une barrique de vin dont la longueur est 40 ponsee et les diamètres au centre et à chaque extrémité 32 et 24 pouces ?

Rep. (2 fois: 24 +4 fois 32 x,7854x40-6=—27478,5 pouces cuhes, divisant par 231 on a 119 gallons à moins d’une septier près.

9. Dans un vaisseau incliné, dont la forme paraît être celle d’un demi-sphéroîde, se trouve une quantité de liqueur, la plus granüo profondeur de la liquear est de 15 pouces, les diamètres respectifs de sa surface elliptique sont 48 et 36 pouces et les diamètres correspondants de l’ellipse parallèle intermédiaire entre la surface et le fond sont de 30 et 224 pouces ; quelle est la quantité de liqueur dans le vaisseau ?

Rep. (48 x 36 +4 fois 30 x 22,5) x .7354 x 2,5 = 8694.378 pouces cubes, soit 37 gallon près. .

jé PROBLÈME XLVI.

Déterminer le volume d’un tronc de sphéroïde à bases non parallèles. :—(Voir les troncs du tableau.)

1, L’on obtiendra avec exactitude, comme dans le cas de la sphère, lo volume d’un onglet quelconque ADBMA de sphéroïde aplati ou allongé ou d’un sphéroïde à 3 axes, pourvu que La commune intersection DM des plans contenants ou limitatifs DAM, DBM passe dans une direction quelconque par le centre O du solide dont l'onglet fait partie ; et si l’arêtê DM de l'onglet ne passe pas par le centre O du sphéroïde, on n’en obtiendra pas moins le volume près de l'onglet proposé

(178) REGLE, Faites le volume du segment de sphéroïde à une seule base dont le trone donné fait partie, failes aussi le volume de la calotte qui manque au tronc donné pour compléter le segment ; la différence de ces volumes sera celui du tronc proposé.

Æx. 1, Soit à trouver le volume de la partie CDae d'un sphéroïde compris entre un plan CD passant par le centre perpendiculairement à AB et un autre plan quelconque ea non parallèle au premier,

Æep. Il nous faut à cet effet déterminer l'axe inconnu AB du sphéroide dont la hauteur AO du segment CDA fait partie, Ayant mesuré une ordonnée quelconque ab et les abscisses Ch, bD ou plutôt 4dD=ab, ad=bD et Chb=CD—DD, on fera (sections coniques) ŸCD.06D : ab :: CD : AB et on aura le vol, de CDAZ4 surf, CDx1A0. L'on mesurera ensuite de, OH parallèle à ae, eO menée du centre au point milieu o de ae (00 formant partie du diam. EF le conjugé de GH) et l’absaisse pH de l’ordonnée ap parallèle et égale à 00 ; avec ces données, l'on fera Gp.ph : ap :: GH:EF ; on aura alors oF et par suite la perpendiculaire Fr, comme au par. (475,7. Ex. 3). Il reste à établir le diam. mn d’une section intermédiaire entre «ae et le sommet F de la ealotte «eF ; or l’on aura mg ou ng moitié (176, T., BEM, 4) de mx en faisant EF:GH::VEg.gF img. Enfin on aura le vol. demandé CDae=(4 surf. CD x 4 Ao) moins (surf. ac+4 surf. ”n x 4 Fr).

2. Si le solide à estimer était le tronc KLae, l’on opérerait pour la calotte KLB comme on la fait pour eaF et la somme des voiunes de ces calottes distraite de celui du sphéroïde entier ACBD), il resterait le volume du tronc proposé.

PROBLÈME XLVII

Trouver la solidité d’un paraboloïde droit ou oblique ou d’un tronc ou segment quelconque de paraboloïde compris entre bases parallèles, perpendiculaires, ou non, à l’axe du solide.

(Voir les modèles du tableau stéréométrique.)

(179) REGLE,. À la somme des surfaces des bases opposées,

en faisant le produit de 4 fois la surface de sa section médiane AOBA (sorte de secteur de cercle ou d’ellipse) par la sixièmo partie de la longueur DM de l’onglet,

ajoutez 4 fois la surface d'une section intermédiaire à demi-distances entre eiles ; multiplies le tout par 4 de la hauteur du corps à estimer et le produit sera le volume demandé.

En effet, la parabole génératrice ABC est une courbe telle que les abscisses sont proportionnelles aux carrés des ordonnées, c’est-à-dire qu’on à toujours ed : CD

2 2 ::4b : DB , etilen est de mème pour

tout autre paire où système d’ixes où de 1] p Hoi 1)

diamètres conjugés E F, GH qui donnent

encore Gh : GH::fh : FH"; ; done Si Cd=t C D, db sera = Ÿ DB et

de même si Gh=+ GH, l'on aura eh = 4 EH ; or l’on démontre que

le volume du paraboloïde vaut la moitié de son cylindre circonscerit, c’est-à-dire, que ce vol, = surf, base AB %x <& CD, ou vol, FEG=surf,

base EF x + Gp; mais si bd = + B D on à surf, ab = 4 surf, AB (puisque les sections parallèles ab, AB sonc des cercles et que les figures semblables sont entre elles comme les carrés de leurs lignes homologu: s) et surf, AB + 4 surf, ab=3 surf. AB; donc surf. AB x 4CD=3 surf, AB x ! CD={(surf. AB +4 surf. ab) x 4 CD. De même surf, base elptiqne EF=2 surf, base elliptique semblable ef et surf. EF x + Gp=(surf, EF +4 surf. ef) x & Gp.

in second lieu, Soit ABba un segment quelconque de paraboloïde à bases parallèles, l’on démontre que le volume s'obtient en multipliant par la hauteur dD du trone, la demi-somme des surfaces de ses bases parallèles ; or à cause de Cd:Cq:CD :: db :qn: "DE", il est clair que la surf. Intérrédiatte mn est moyenne arithmétique entre surf, AB et surf. ab; d'où il suit que surf, AB + surf, ab + 4 surf, ma=6 surf, mn; donc le vol. de AB ba=(surf. AB +surf, ab + 4 surf, nn) X + dD.

{480) REM. Dons je cas du paraboloïde ou du tronc de paraboloïde proprement-dit, il est clair que cette règle n'offre aucun avantage et au contraire il est plus simple "d'arriver de suite au volume désiré en faisant le produit de 4 CD par surf. AB, ou de + Gd par surf. EF, ou de + dD par la somme des surfaces de AB et de ab, suivant le cas ; mais c’est que dans la pratique il est rare que les solides à estimer soient parfaitement géométriques, et elles le seraient, qu’on ne le saurait pas sans un travail préliminaire qu'il vaudrait autant dévouer de suite au caleul du vol. requis d’après la règle qu’on en donne ici; tandis que si (187, 146, 'Æ.) l’on prenait pour un paraboloïde, un solide qui fût au contraire un segment ou tronc de sphéroïde ou d’'hyperboloïde, ou qui ressemblât seulement à ces solides

144 OLEF DU TABLEAU,

sans pouvoir s'identifier avee aneun d'eux, la règle de ce probième est celle qui offrirait les garanties d’une exactitude très voisine de la vérité,

Æx. 1. Quel est le volume d’un paraboloïde droit dont la havteur est 84, et le rayon de la base 24?

ep. diam. 48 x 48 x ,7854 :: 4 84=76001,5872 le vol, requis.

2. Quelle est, en gallons de 231 pouces cubes, la capacité dur chaudron parabolique dont la profondeur est 36 pouces et le diamètre 60 pouces ?

Rep. 60 x,.7854 x 18-+931=50,893.02 pouces eubes--231=220 32 où 2204 gallons près.

3. Une voûte qui a l'air d'être parabolique, a 60 mètres de hauteur, le diamètre de sa base est 40 mètres et son diamètre intermédiuire est 28 mètres 285 millimètres; quel est le volume de l’espace renfermé ?

2 2 C 4] Li U

Rep. (40 +4 fois 28.285 ) x .7864 x 60 + 6 = 37,699.2 mètres cubes,

4, Dans un vaisseau incliné qui peut être un paraboloïde ou un segment de sphéroïde, se trouve une quantité de liqueur dont la surface est en conséquence une ellipse ayant pour diamètres 50 et 30 pouces, la plus gronde profondeur de la liqueur est de 18 pouces, et l’un des diamètres (le moindre) de la sectiou elliptique prise au milieu de cette profondeur est de 22,5 pouces quel est le volume du contenu ?

Rep. La section intermédiaire étant semblable à la base ou surface, on aura son grand diamètre en faisant 30:50 ::22,5:37,5 ; le volumez=(50 x 30 + 4 fois 22,5 x 37,5) x .78554 x 3=11486 pouces cubes.

5. L'une des parties composantes d’un solide à estimer, paraît être un tronc de conoïde parabolique à bases parallèles, les circonférences respectives de ses deux bases circulaires et d’une section à demi-distarces entre elles, sont 182,2, 944, 145.15 pouces et la hauteur est 48 pouces ; quel en est le volume en pieds cubes ?

Rep. Divisant chacune de ces circonférences par 8.1416 l’on obtient pour diamètres des sections respectives 58, 30 et 46.2 pouces, ce qui donne pour volume (58° + 30 +4 fois 46.2 ).7854=10054.5, et 100545 x 486 c’est-à-d, par 8,—80,436 pouces cubes, -- 1728 = 46.55 pieds cubes.