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Par m. N. I,ANDUR,

FR0FB8SEUB DB MATHÉMATIQUES.

CALCUL DE LA FORCE MOTRICE NÉCESSAIRE POUR SOUTENIR EN L'AIR DES APPAREILS PLUS DENSES QUE L'AIR.

Les systèmes mécaniques que Ton peut imaginer pour soutenir en l'air des appareils plus denses que l'air paraissent nombreux, mais ils se ramènent tous k un très-petit nombre de types dont voici les principaux :

i^ On peut se servir d'une ou plusieurs surfaces qui descendent en s'appuyant sur l'air et remontent après avoir été réduites à une forme ou à des dimensions telles, que l'air ne s'oppose que faiblement à leur mouvement ascensionnel. Tels seraient des parapluies ou des éventails qui descendraient déployés et remonteraient ployés; ou encore des palettes qui seraient horizontales en descendant et verticales en remontant. Tous ces systèmes ressemblent beaucoup aux ailes des oiseaux.

2® On peut munir l'aéronef d'une vaste surface inclinée, et imprimer par le moyen d'un propulseur quelconque un mouvement horizontal de translation au système entier. Si l'inclinaison de la surface et la vitesse sont convenablement choisies.

(*) Ce Mémoire contient les principaux résultats d'études que j'ai commencées i] y a plus de trois ans, à la demande de M. le V** d'Amécourt. Je ne m'y occupe que des moyens de soutenir et diriger en Pair des appareils peu volumineux et plus denses que Tair, et nullement des moyens de diriger les ballons. Je suis loin de prétendre, néanmoins, que la direction des ballons soit impraticable ou peu utile.

{Note dp rjuteur,)

42 HÉMOIRE

l'air exercera contre la surface une pression dont la composante verUcale annulera TefTet de la pesanteur.

3^ Au lieu de donner à cette surface an mouvement rectiligne dé translation, on peut la faire tourner autour d'un axe vertical. Le résultat sera le même, seulement il faudra prendre la précaution de faire constamment tourner en sens contraires deux surfaces d'actions équivalentes, pour que l'aéronef entier ne prenne lui-même aucun mouvement de rotation. C'est là le système à hélices.

4^ On pourrait, au moyen d'une pompe foulante, insuffler de l'air sous un parachute, de manière à lui donner une poussée de bas en haut capable d'annuler l'action de la pesanteur. Je n'examinerai pas ce quatrième système qui me parait avoir peu de chances de succès et qui se laisse difficilenoent soumettre au calcul. Les fusées avec ou sans parachutes le réalisent d'une manière désavantageuse. ^ -. Les systèmes qui rentrent dans le premier type paraissent être ceux qui utilisent le mieux la résistance de l'air. Ce sont aussi ceux dont la théorie est la plus facile à établir et pour lesquels les données expérimentales nous manquent le moins.

Supposons que l'on disposée de plusieurs surfaces dont le mouvement soit réglé de telle façon que les unes s'abaissent quand les autres remontent. Admettons que l'air résiste très-peu à celles qui remontent, et supposons que toutes ces surfaces équivalent à une surface unique, d'une étendue de S mètres carrés, descendant constamment avec la vitesse v mètres par seconde^ Soit P kilogrammes le poids total de l'aéronef. La pression de l'air contre la surface S doit faire équilibre au poids P puisque le centre de gravité de Taéronef conserve invariablement la même altitude. Cette pression est égale à k^9^ (*)» ^ étant un coefficient sensiblement indépendant de la forme du contour de la surface S, mais dépendant de la courbure de celle-ci. On peut diminuer ce coefficient autant qu'on voudra, mais aucune disposition connue ne permet de l'accroître beaucoup. Les expériences de MM. Didion, Piobert et Morin (voyez Mécanique industrielle^ par M. Poncelet) montrent en effet que la pression de l'air contre un parachute ayant la concavité la plus avantageuse est à peine supérieure de { à la pression qui s'exercerait dans les mêmes circonstances contre le même parachute ramené à la forme d'un plan exact. Les différents expérimenta^ teurs ont donné pour k des valeurs différentes; celles qui me paraissent les plus dignes de confiance se rapprochent de o,i6. Je ne pense pas que par des combinaisons ingénieuses on puisse élever k jusqu'au double de ce chiffre, et si l'on y parvenait l'économie de force motrice qui en résulterait ne serait pas de moitié, mais seulement des 7^. Le nombre k est inversement proportionnel à la densité

(*) La formule /Sc^ est admissible, avec un coefficient k légèrement variable, pour des vitesses comprises entre 1 et 100 mètres par seconde. Pour des vitesses inférieures à i mètre, et pour des vitesses très-grandes, ^elle donne des résultats trop faibles. La loi de la résistance de Tair pour des vitesses inférieures à I mètre çst inconnue. On a proposé la formule A'S(a4-^]; mais cette formule est absurde puisqu'elle conduit à dire qu'un parachute très-grand ne tomberait pas.

de Tair, et les expériences dont il s'agit ont été faites k la pression barométrique ordinaire.

L'équilibre existant» on aura donc l'égalité fondamentale

(f) ? = iSi^\

Cela posé» le travail mécanique nécessaire pour mouvoir la surface S avec la vitesse v sera

(3) T = iS^ kilogrammëtres.

Éliminant v entre ces deux équations, il nous vient

Tel est donc le travail mécanique à dépenser chaque seconde pour soutenir en l'air le poids P par le moyen de surfaces équivalant ensemble a une surface totale de S mètres carrés.

Le facteur \/r^ éis^nl la vitesse avec laquelle tomberait le poids P suspendu a

un parachute de surface S, la présente formule indique qu'il faudra dépenser chaque seconde le travail nécessaire pour faire remonter ce poids à la hauteur dont il serait descendu dans le même temps, muni d'an tel parachute. La puissance motrice, comptée en chevaux, capable de produire ce travail, est

75 VJf V S c'est-ànlire, en supposent k = o,i6t

(/j) F = £y/| chevaux.

Cette formule sera discutée plus loin. Voyons d'abord quel est le travail qu'exigent les autres appareils.

Soit S une surface inclinée de l'angle a sur l'horizon , et se mouvant horizontalement avec la vitesse v. La résistance de l'air contre cette surface, résistance évaluée suivant la normale, sera

iSfVC»).

/(a) étant une fonction que la théorie ne détermine guère, mais que Texpérienee fait assez bien connaître.

La composante verticale de cette pression sera

kv^Sf{cc) cosa,

et comme elle doit être égale au poids P pour que l'appareil reste k une hauteur constante 9 on aura

(5) ? = kv^Scosa/{oc).

Le travail nécessaire pour produire le mouvement de la surface S sera

(6) T = k.v\S./{a).sma.

Donc

T = Pi^tanga,

et par suite

^7^ ^-*^V*Sv//(«).cosa-

3 sin' a

La fonction /(a) serait, d'après M. Duchemin, sensiblement égale à - . , En admettant cette expression et substituant dans la valeur de T il viendrait

(8) T = Pl/S^^Ï^-

Cette formule montre que l'on aurait du bénéfice à prendre l'angle a très-petit (en supposant que le glissement de la surface S contre l'air ne produise pas alors une résistance supplémentaire ), et le minimum de T serait environ

quantité bien voisine de celle que nous donne la formule ( 3) ; et comme cette valeur est un minimum, le facteur 0,7 est en réalité trop faible. Le travail nécessaire pour se soutenir en l'air à l'aide d'appareils convenablement construits rentrant dans le deuxième type est donc a peu près le même qu'avec des appareils du premier type.

Le même calcul et le même raisonnement s'appliquent exactement à chaque élément des surfaces du troisième type (appareils à hélices). Étant donnée la forme de

la surface tournante, on peut aisément trouver la valeur de T dans chaque cas par* ticulier : il suffit d'effectuer les intégrations contenues dans les formules

(lo) T = )t r(wr)»/(a)sina.d>,

(il) P = kf[fùrYf[a) sin a.e&,

dans lesquelles cj désigne la vitesse angulaire et rie rayon de rotation de Télémeot de surface d$. On peut même calculer, par le calcul des variations, le mode de cour-

T bure qui rend minimum p* On voit alors que Tinfluence de la courbure se réduit à

peu de chose, et que Ton a de l'avantage à faire a aussi petit que possible, sauf à donner une grande vitesse de rotation aux ailes hélicoïdales. On reconnaît aussi que la valeur minfmum de T est k peu près la même que pour les appareils du deuxième type, ainsi que cela se conçoit par le simple bon sens. J'ai fait ces divers calculs pour plusieurs formes de surfaces en supposant/ (ûc) = sin'a (*), mais je ne crois pas utile de les reproduire ici vu l'incertitude qui subsiste sur la nature de la fonction /(a).

En résumé, quel que soit le système que l'on emploie pour se soutenir en l'air, le travail mécanique k dépenser uniquement pour se soutenir sera a peu près le même, si l'appareil est judicieusement construit, et correspondra à une force mo-^ trice d'environ

chevaux.

Je répète qu'il y a peu d'espoir que l'on puisse beaucoup diminuer cette fbrce. Ta réduire à moitié par exemple (**).

Cette formule nous montre que la force motrice nécessaire pour soutenir en l'air un poids P peut être aussi minime que Ton voudra, pourvu que la surface S soit assez grande. Mais les exigences de la construction et le poids même dé cette surface imposent une limite à celle-ci.

Je suis^porté à croire que l'on pourra, sans trop de difficulté, faire que le rapport ^

ne surpasse pas l'unité, c* est-à-dire qu'un aéronef pesant n kilogrammes, y compris le poids du moteur et des ailes, porte h mètres carrés d'ailes. Dans ce cas la

force motrice serait x- chevaux, c'est-à-dire qu'un aéronef pesant 3bo kilogrammes

(*) En admettant cette valeur de /(a), les appareils du premier type ont un avantage marqué sur les autres.

(**) Je suppose que Ton ne profite pas du vent^ lequel peut être d'un' grand secours^

aurait besoin» uniquement pour se maintenir en l'air, d'un moteur de la force de

lo chevaux. De plus grands aéronefs ne seraient sans doute guère avantageux, car

ces machines sont de celles qui réussissent mieux en petit qu'en grand (*)•

Avec des aîles 4» 9f 1 6 fois moindres, la force motrice devrait être double, triple,

quadruple, etc....

p Chez les oiseaux le rapport ^ est ordinairement très-grand. On assure qu'il est

égal à 2o chez le héron et à t\o chez la perdrix (**). Pour que l'homme pût se soutenir en l'air dans des conditions aussi défavorables, il lui faudrait des moteurs ne pesant pas 6 kilogrammes par force de cheval.