Complément à l'analysis situs

Dans le Journal de l'École Polytechnique (volume du centenaire de la fondation de l'École, 1894) j'ai public un mémoire intitulé Analysis situs, où j'étudie les variétés de l'espace à plus de trois dimensions et les propriétés des nombres de Betti. C'est à ce mémoire que se rapporteront les renvois que je serai amené à iaire fréquemment dans la suite, en mentionnant seulement le titre Analysis situs.

Dans ce mémoire se trouve énoncé le théorème suivant : Pour toute variété fermée, les nombres de Betti également distants des extrêmes, sont égaux.

Le même théorème a été énoncé par M. Picard dans Théorie des fonctions algébriques de deux variables.

M. Heegaard vient de revenir sur ce même problème dans un travail très remarquable, publié en langue danoise, sous le titre s Farstudier til en topologisk teori for de algebraiske Sammenhàng » (C hague, det Nordiske Forlag Ernst Bojesen, 1898). D'après lui, le théorème en question est inexact et les démonstrations sont sans valeur.

2 H. POINCARE.

Avant d'examiner les objections de M. Heegaard, il convient de faire une distinction. Il y a deux manières de définir les nombres de Betti.

Considérons une variété V que je supposerai, par exemple, fermée; soient viy v2, ... , vn , n variétés à p dimensions, faisant partie de V. Je suppose qu'on ne puisse pas trouver de variété à p -f- i dimensions, faisant partie de V et dont vt, v2, ... , vn constituent la frontière complète; mais que, si on leur adjoint une' (w-j- i)ème variété à p dimensions, que j'appellerai vn+1 et qui fera partie de V> on puisse trouver une variété à p -j- i dimensions, faisant partie de V, dont vt, v2, ... , vn, vn+i constituent la frontière complète et cela de quelque manière que Von ait choisi la (w-j-i)ème variété vn+l. Dans ce cas, on dit que le nombre de Betti est égal k n -\- i pour les variétés à p dimensions.

C'est la définition adoptée par Betti.

Mais on peut donner une seconde définition.

Supposons que l'on puisse trouver dans V une variété à p -J- i dimensions, dont vj} v2i ... , vn constituent la frontière complète; j'exprimerai ce fait par la relation suivante :

que j'appellerai une homologie.

Il pourra se faire que sur la frontière complète de notre variété à p -f- i dimensions, une même variété vi se retrouve plusieurs fois; dans ce cas, elle figurera dans le premier membre de l'homologie avec un coefficient, qui devra être un nombre entier.

D'après cette définition, on peut additionner les homologies, les soustraire les unes des autres, les multiplier par un nombre entier.

Nous conviendrons également qu'il est permis de diviser une homologie par un nombre entier, quand tous les coefficients sont divisibles par cet entier. Par conséquent, s'il y a une variété à p -j- i dimensions, dont la frontière complète sera constituée par 4 fois la variété vi , nous conviendrons qu'on peut écrire non seulement l'homologie :

[PLEMBNT À L'aUI TUS. 3

niais encore l'homologic :

vt rvj 0;

de sorte que cette homologie signifie qu'il y a des variétés à p -f~ i dimensions, qui admettent pour frontière complète la variété v ou un certain nombre de lois cette variété.

L'homologie

rifle qu'il y a des variétés à p -f- 1 dimensions, qui ont pour frontière complète 2 fois vi et 3 fois v,, ou 4 fois vi et 6 fois V , ou 6 fois vi et 9 fois v 2 , etc.

Telles sont les conventions que j'ai adoptées dans YAnalysis situs, page 19.

Je dirai que plusieurs variétés sont indépendantes, si elles ne sont pas liées par aucune homologie à coefficients entiers.

Si alors il y a 11 variétés indépendantes à p dimensions, le nombre de Betti, d'après la seconde définition, est égal à » -f- I.

Cette seconde définition, qui est celle que j'ai adoptée dans YAnalysis situs, ne concorde pas avec la première.

Le théorème énoncé plus haut, et critiqué par M. Heegaard, est vrai pour les nombres de Betti, définis de la seconde manière, et faux pour les nombres de Betti, définis de la première manière.

C'est ce que prouve l'exemple cité par M. Heegaard, page S6.

Si l'on adopte la première définition, on a :

et par conséquent

P2 < Ps

Si l'on adopte, au contraire, la seconde définition, on trouve : ?, = !, Pa = I,

et par conséquent

conformément au théorème énoncé.

C'est ce que prouvait également un exemple que j'ai cité, moimême, dans YAnalysis situs. C'est le 3ème exemple, page 51. Mais en renvoyant à cet exemple et à cette page de YAnalysis situs, je dois signaler une faute d'impression, qui pourrait gêner le lecteur (*).

Au lieu de

il faut lire au lieu de il faut lire

ABB'A' = DD'C'C, ABB'A'==C'CDD'; AB==B'D'=e=C'A', AB==B'D'== C'C.

Nous avons formé (page 66) les équivalences fondamentales, qui s'écrivent de la façon suivante :

2 Cx = 2 C2 = 2 C3 = 0, 4 CI = o;

nous pouvons en déduire les homologies :

Comme, d'après notre convention, on peut diviser ces homologies par 4, nous arrivons au système suivant d'homologies fondamentales :

C 00 C w C cvj o.

Si alors Pl et P, sont les nombres de B e 1 1 i, définis de la seconde manière, on trouve

(*) Je profite de l'occasion pour signaler un autre erratum de YAnalysis situs. Au bas de la page 102, il faut lire: « ou plus précisément les deux v +1, auxquelles v appartiendra, appartiendront aux mêmes v +I , aux mêmes vq+, , . . . , aux mêmes Vp ; de telle façon que la suppression de v et l'annexion mutuelle des deux v +l , ne changera rien aux v +2 , aux v.+, , . . . , aux Vp ».

COMW.l' MI.VI \ ' TUS.

Mais l'égalité entre les noi P, et P i . i on

avait adopte la première définition, qui est celle de Bctl toujours P2 — i, mais nous n'aurions Pt = i.

En effet, il n'y a pas d: variété i deux din. qui ait pour

frontière complète la ligne fermée C , juoi nous aurions l'équi-

valence C, == o.

Ce qui est vrai seulement, c'est qu'il y a une variété à deux dimensions, admettant pour frontière 4 fois la ligne Cr Donc P. n'est pas égal à 1.

Revenons au théorème d'après lequel les nombres de Betti, lement distants des extrêmes, sont égaux.

La démonstration que j'en ai donnée dans VAualysis situs, semble s'appliquer également bien aux deux définirions des nombres de Betti; elle doit donc avoir un point faible, puisque les exemples qui précèdent, montrent suffisamment que le théorème n'est pas vrai pour la première définition.

M. Heegaard s'en est bien rendu compte; mais je ne crois pas que sa première objection soit fondée.

Après avoir cité la façon dont je définis les variétés î\ , V2 , . . . , V (Analysis situs, page 43), par les équations <î> = 0, F'- = 0, il ajoute (page 70) « Enhver af Mangfoldighederne V skulde aitsaa kunne votre dm fulstaendigc Skoering mellem p Mangfoldigheder af h — 1 Dimcnsioner i [/». Cela n'est pas exact, car, outre mes égalités, j'ai un certain nombre d'inégalités, que j'ai introduites au début du mémoire et que j'ai négligé d'écrire de nouveau dans la suite; mes variétés ne sont donc pas des intersections complètes.

La seconde objection est, au contraire, fondée. « Naar otnvcndt, dit

M. Heegaard, Homologien T^ V . 00 0 ihke finder Sied, saa i U' kan

hgges en lukket Kurve V , saa al

yN(v, r.)^o

men det er îkke sikkert, ai demie Kurve kau udskeeres af nogen Mangfoîdighed V ». C'est là, en effet, le véritable point faible de la monstration,

6 H. PÔINCARÉ.

Il est donc nécessaire de revenir sur la question, et c'est l'objet du présent travail.

Souvent, pour simplifier les démonstrations, j'ai envisagé seulement le cas des variétés fermées à 3 dimensions, contenues dans l'espace à 4 dimensions. On pourrait facilement les étendre au cas général.

J'envisage, donc, dans la suite, une variété V fermée, mais pour calculer ses nombres de Betti, je la suppose divisée en variétés plus petites, de façon à former un polyèdre, au sens donné à ce mot à la page 100 de YAnalysis situs.

Schéma d'un polyèdre.

Considérons, donc, comme à la page 100 de YAnalysis situs, un polyèdre à p dimensions, c'est-à-dire une variété V à p dimensions, divisée en variétés v ; les frontières des v seront les v , celles des v seront les v , . . . , celles des vx (arêtes) seront les v0 (sommets).

J'appellerai <xi le nombre des vv

Soient a\ , a\ , . . . , ai les différentes v .

Soit a\ une des variétés v et a\~l une des variétés v x> qui lui sert de frontière. Étudions les rapports de a\ et de aq~\

Soient

(1) F1 = F2 = . . . = Fn q = Fn q+1 = o, <pT > o

les égalités et les inégalités qui définissent aq~* , d'après la première définition des variétés (Anaiysis situs, page 4).

Les relations qui définissent a\ pourront se mettre sous la forme :

(2) F1 = F2 = ... = Fn q = oi F„î+I>o, <pr>o.

Dans ce cas, nous dirons que la relation de a\ et de a\~x est directe.

Cette relation deviendrait inverse, si l'une de ces deux variétés était remplacée par la variété opposée; elle redeviendrait directe , si chacune des deux variétés était remplacée par la variété opposée.

COMW.l'.MI.NI .. !.' | .ALYSIS Si: 7

On suit qu'une variété est retnpl céc par l.i variété opposée (-/ Jyjtf Wfetf, page 15), quand on permute deux de. fou jUÎ,

égalées a zéro, donnent les ( • qui définissent la variété), ou

qu'on change le signe de l'une d'elles.

Ainsi les deux variété',

F, = F, = FjS=05 Ft = F2 = o, /->o; F, = F, = F*= 0; F, s F, = o, F, < o; F.^F.^F, = o; F, = F, = o, F,>oî

sont en relation directe; tandis que les deux variétés

Fi = F2 = F3 = 0; F, = Fa = 0, i\ < 0; F, = F2 = F,= o; F, es F, := o, F2 > o;.

sont en relation inverse.

Cela posé, soit e? . un nombre qui sera égal à o, si a'l~l n'est pas frontière de a\\ à -j- I, si aV~l est frontière de a\ et en relation directe avec fl?j et, enfin, à — i, si aq~l est frontière de ffî, mais en relation inverse avec #?.

Nous conviendrons d'écrire la çongmence

(3) aJfaXtf/flJ-S

qui nous fait connaître les frontières de a?.

L'ensemble des congruences (3), relatives aux différentes v,,-1 > • • • > v0 ^Q y> constitue ce qu'on peut appeler le schéma d'un polyèdre.

On peut se poser deux questions :

i° Un schéma étant donné, existera-t-il toujours un polyèdre, qui y corresponde ?

2° Deux polyèdres qui ont même schéma, sont-ils homéomorp' .

Sans aborder, pour le moment, ces deux questions, cherchons

ô H. POINCARE.

quelques-unes des conditions auxquelles doit satisfaire un schéma, pour qu'un polyèdre y puisse correspondre.

Considérons l'une des v , ap~z par exemple; cette variété devra séparer, l'une de l'autre, deux des vb et deux seulement; de sorte que, parmi les nombres

il y en aura un qui sera égal à — j— i, un qui sera égal à — i et tous les autres seront égaux à o.

Ce n'est pas tout; envisageons l'une quelconque des vt , a\ par exemple, et une quelconque des v , aqk~2 par exemple.

De deux choses, l'une : ou bien al~2 n'appartiendra pas à a\, et dans ce cas tout les produits

seront nuls, car si aqrx n'appartient pas à aqi3 le premier facteur est nul; si, au contraire, ay1 appartient à a\ , la variété a\~2 ne peut pas appartenir à aq~x (sans quoi, elle appartiendrait à a?, contrairement à l'hypothèse), et le second facteur doit être nul.

Ou bien a\r2 appartiendra à a\\ mais alors nous pourrons raisonner sur la variété a\y comme nous raisonnions tout à l'heure sur la variété V, et nous conclurons que a\~2 doit séparer, l'une de l'autre, deux des variétés v x , qui appartiennent à a?, et deux seulement : soient a\~l et aq~\

Parmi les produits (4) il n'y en aura que deux qui ne seront pas nuls, à savoir

£? S5"1, E? Zq-\

Pour tous les autres, en effet, ou bien a?-1 n'appartiendra pas à a\, ou bien a\~2 n'appartiendra pas à aqr\

Ces deux produits sont d'ailleurs égaux : l'un à -J- 1, l'autre à — 1. On aura donc dans tous les cas :

coMFL&knn 9

Nous avons de même

et, plus généralement, quel que soit k :

(5bi0 Z<i = o-

La relation (5his) peut être regardée, à un certain point de vue, comme un cas particulier de la relation (5).

Soit P la portion de l'espace à p -f- 1 dimensions, limitée par le polyèdre V; alors la frontière complète de P se composera des di • variétés v , qui, par leur ensemble, forment V\ nous pourrons donc écrire, au sens de la congruence (3),

(3bis) *"■]£«&

ou encore

où les nombres e^t1 seront tous, par définition, égaux à 1. A ce compte, la relation (5bis), qui peut s'écrire

Ye'tV, =0,

n'est plus qu'un cas particulier de la relation (5).

Nous avons, ensuite, chaque vi qui a pour limites deux v , et deux seulement, ce qui nous donne des congruences (5) de la forme :

et une relation analogue à (5) et (jbis) :

qui rentrerait encore dans la forme (5), en convenant de taire tous les e° égaux à — J— 1.

10 H. PO INC A RE.

D'autre part, envisageons l'une des a?, toutes les aq+1 auxquelles elle sert de frontière; toutes les a\^2 , auxquelles ces aq+I servent de frontières et ainsi de suite. L'ensemble de toutes ces variétés constituera ce que nous avons appelé un aster (Analysis situs, page 106).

Nous avons vu (loc. cit., page 107) que le polyèdre qui correspond à un aster, doit être simplement connexe. Ainsi une condition pour qu'un polyèdre puisse correspondre à un schéma donné, c'est que les polyèdres qui correspondent aux différents asters, d'après la convention de la page 107 de Y Analysis situs, soient tous simplement connexes.

Considérons maintenant une des a\y toutes les aqrx qui lui servent de frontières, les aqk~2 qui servent de frontières à ces aq.~l et ainsi de suite. Cet ensemble de variétés constituera un polyèdre à q dimensions; nous supposerons que ce polyèdre soit simplement connexe.

Ce n'est plus là une condition nécessaire pour qu'un polyèdre puisse correspondre au schéma; c'est simplement une condition que, sauf avis contraire, nous supposerons remplie.

Pour éclairer ces définitions par quelques exemples, voyons d'abord quel est le schéma du tétraèdre généralisé, défini à la page 105 (Analysis situs).

Les faces de ce tétraèdre seront définies par les n -\- 1 équations :

*, = 0, x2 = o, '. . . , xn = 0 (6)

On obtiendra les a\ en supprimant q -f- 1 de ces équations; pour définir le sens de la variété a\, nous supposerons qu'on supprime ces q -J- 1 équations, mais sans changer l'ordre des n — q équations restantes.

Cela posé, considérons la relation de a\ et de aq~x et cherchons à déterminer le nombre s? ...

D'abord, pour que aqrx appartienne à a?, il faut que aqrx soit définie par les n — q équations qui définissent a?, auxquelles on devra adjoindre une (n — ^-J-i)ème équation, prise parmi les équations (6). S'il n'est pas ainsi, le nombre ef . sera nul.

COlfFLEMEin À I II

Supposons, donc, que a l obtenu en supprimant les </ équa-

tions qui occupent Les

rangs.

Supposons que fl| soit obtenue en supprimant, en outre, la fi*"* équation; alors le nombre e'j , dont la valeur absolue sera toujours égale a i, aura même signe que le produit:

(P-a.XP-O ...»-«,).

Il est aisé de vérifier alors que la relation (5) a lieu.

Considérons, en effet, la variété a\~2 , obtenue en supprimant les équations de rang ixi , a2, ... , a et la variété a]> obtenue en supprimant, en outre, les équations de rang (ï et y. (Il est clair que si a\ ne s'obtenait pas en supprimant les mêmes équations que pour a\~2 , plus deux autres, tous les produits sj.e^1 seraient nuls).

Dans ce cas, tous ces produits seront encore nuls, sauf deux :

qui correspondront aux deux variétés a\~l et aq~2, obtenues respectivement en supprimant les équations de rang « , x,, ... , « , 'i et celles de rang xx, aa, ... , 0^, y.

Alors les quatre nombres

» I > I,fc ' 1,2 > 2,Jt

auront respectivement même signe que :

(ï-PXy-O (y -<)••• (ï-vA (y — «,)(ï — aJ ••• (y — «,,)•

12 H. PO INC A RÉ.

On vérifie ainsi que les deux produits, qui ne sont pas nuls, sont égaux et de signe contraire. c. q.. f. d. (*)

Nombres de Betti réduits.

Je m'en vais chercher, maintenant, les nombres de B e 1 1 i, relatifs à un polyèdre, mais afin d'éviter l'équivoque, dont j'ai signalé plus haut la possibilité, je conviendrai de définir ces nombres de la seconde manière, c'est-à-dire que P — i sera le nombre de variétés fermées à q dimensions, que l'on peut tracer sur notre polyèdre V et qui sont linéairement indépendantes, je veux dire, qui ne sont liées par aucune homologie à coefficients entiers, au sens de YAnalysis situs, page 18.

Mais je me proposerai d'abord de déterminer le nombre P' — i des variétés à q dimensions, fermées et linéairement indépendantes, que l'on peut tracer sur notre polyèdre V, mais en nous bornant à celles qui sont des combinaisons des variétés v .

Le nombre P ' sera, alors, ce que j' appellerai le nombre de Betti réduit.

Les variétés à q dimensions, qui sont des combinaisons des v , pourront évidemment être représentées par :

Yï.a?, les \. étant des coefficients entiers et les lettres aq. continuant à dési-

gner les différentes variétés v .

Quelle est d'abord la condition pour que la variété ^\#- soit

fermée ?

Pour cela, cherchons quelles sont les variétés v , qui forment les frontières de cette variété. Pour les trouver, il suffit évidemment de remplacer a\ par sa valeur donnée par la congruence (3).

(*) Le polyèdre ainsi défini, ainsi que tout polyèdre à n dimensions, limité par 11 -j- 1 variétés planes, s'appellera tétraèdre généralisé rectiïigne. J'appellerai tétraèdre généralisé toute variété homéomorphe à un tétraèdre généralisé rectiïigne.