COMPLÉMENT : US
Cet ensemble de variétés fm:.tiu.. ,,ra donc donné par la formule :
• / Pour que la variété ^\-0. soit fermée, il suffit, donc, que l'on
ait identiquement :
ixv!,"r' = ">
c'est-à-dire que, quel que soit /, on ait :
En d'autres termes, la variété ^ \ a\ sera* fermée, si l'on a:
en vertu des congruences (3, q); j'appelle ainsi celles des congruences (3), qui lient les a] aux aq~l.
Cherchons maintenant les homologies qui peuvent exister entre les variétés a]. On obtiendra toutes ces homologies, en combinant celles que l'on peut obtenir de la façon suivante.
Considérons la congruence :
qui, d'après la convention que nous venons de faire, est une congruence (3, q -J- 1); remplaçons le signe 39 par «-o, et le premier membre par zéro; il viendra :
(9, g) IC^~°-
Cette homologie aura évidemment lieu, puisque, par définition, elle exprime, comme la congruence (8), que les a] forment la frontière complète de tf|+I.
i/\ h. poincar!
Nous démontrerons plus loin (§ 6), qu'il n'y en a pas d'autres. Je désigne cette homologie par (9, q) pour marquer qu'elle a lieu entre les a\.
Je dis que si l'homologie (9, q) a lieu, la congruence
(10, q) 2xr^0
sera une conséquence des congruences (3, q).
Remplaçons, en effet, les a\ par leurs valeurs, données par ces congruences (3, q~); il viendra :
Le second membre est identiquement nul en vertu des relations (5).
Cela posé, soit a le nombre des variétés a\\ soit a' le nombre de ces variétés qui restent distinctes, si l'on ne regarde pas comme distinctes des variétés liées par une homologie de la forme (9, q); soit a" le nombre de ces variétés qui restent distinctes, si l'on ne regarde pas comme distinctes des variétés liées par une congruence de la forme (7, q).
Il résulte de ces définitions :
i° qu'il y a a — a' homologies distinctes de la forme (9, q);
2° qu'il y a a — a'' congruences distinctes de la forme (7, q);
30 que
car si plusieurs a\ sont liées par une homologie de la forme (9, q), elles seront liées également par la congruence (10, q) correspondante. Enfin le nombre cherché F — 1 est égal à
car les variétés fermées de la forme ^T\ aq{, réellement distinctes, sont
en nombre égal à celui des congruences (7, q\ c'est-à-dire au nombre
Le nombre F — 1 est le nombre de ces variétés qui restent
de a — a".
COMPLÉMENT \ : US. i;
distinctes, en ne regardant pas connue distinctes celles qui sont liées par une homologie (<j, q). Or le nombre de c I — % ;
nous avons donc :
Soient a], à'2, ... , tfj des variétés V , au nombre de i et
les congruences (3) correspondantes. Formons les homologies correspondantes :
z«t/«r ~ °> z«ii«r ~ °> • • • ■ z^p ~ °-
La condition nécessaire et suffisante pour que ces homologies soient distinctes, c'est que l'on n'ait entre les /variétés a\, a\, ... , <7; aucune congruence de la forme :
\a\ + \al + ... + \a'i=so.
Le nombre des homologies distinctes est donc égal au nombre des a\ distinctes, en tenant compte des congruences (7, q). Donc :
OU
[ qi
jf i
= Cf.'
Nous aurons d'autre part
Si, en effet, on peut aller d'un sommet quelconque a* a un autre
lé H. POINCARÉ.
sommet quelconque a°y en suivant des arêtes (c'est-à-dire si le polyèdre est d'un seul tenant), on aura l'homologie :
c'est-à-dire qu'il n'y aura qu'un seul sommet distinct, en tenant compte des homologies.
Envisageons maintenant la congruence (3bis)
l'homologie correspondante s'écrit :
et il n'y a pas d'autre homologie (9, p). Donc
a* = al -f- ïp P '
De plus, le polyèdre étant d'un seul tenant, une seule des combinaisons y "kta\ pourra être fermée, c'est le polyèdre lui-même dans son entier, représenté par la formule 2 ar
Nous aurons donc une seule congruence de la forme (7, j>) :
Donc
Nous avons donc la série d'équations :
ao = °>
«o=ao + aî»
GOMPLÉMENI . L*AH 17
d'où l'on tire aisément :
*p — v> + v» "" • • • ± a' ^ ■• = ' — r/J - 0 + ... ...=F (^-0±(^-0 Fii
tout à fait analogue à la formule :
que nous avons trouvée dans YAnalysis sitiis, page 121.
S iv.
Subdivision fies Polyèdres.
Considérons un polyèdre V, à p dimensions, avec ses diverses variétés :
a* afr-\ ... , a\. a0.
Supposons que l'on subdivise chacune des variétés af en plusieurs autres, que j'appellerai les bï\ soient ensuite /'[I les variétés à p — 1 dimensions, qui servent de frontière aux b\\ soient bf~a les variél p — 2 dimensions, qui servent de frontières aux />[1; ... et, enfin, b° les variétés a o dimensions (sommets), qui servent de frontières aux b] (arêtes).
On aura ainsi un nouveau polyèdre V, qui sera dérivé du polyèdre F, au sens que j'ai attaché à ce mot a la page 101 de . lysis situs.
On peut supposer, d'ailleurs, que si une variété v , simplement ou multiplement connexe, sert de frontière à deux variétés elle ne forme pas forcément une seule des variétés &?-1, mais peut être elle-même subdivisée en plusieurs variétés bf~z. Dans ce cas, pour reprendre la terminologie des pages 102 et 103 de VAtuUysis situs, ces variétés M-1 seront irrégulières et les variétés /-p-, qui les séparent les unes des autres, seront singulières,
I» H. PO INC ARE.
Cela posé, recherchons une classification des variétés b\.
Si une variété b\ ne fait pas partie d'une des variétés aq, elle fera partie d'une des variétés aq+\ ou d'une des variétés aq+1, . . . , ou, tout au moins, d'une des variétés ap.
Peut-elle faire partie à la fois de deux variétés a™ et a™ ?
D'après la façon dont la subdivision a été supposée faite, en ajoutant toujours de nouvelles frontières, sans en supprimer jamais, cela ne pourra arriver que si ces deux variétés a™ et a™ sont contigùes et ont une frontière commune a1]!'1 , et si b\ fait partie de cette frontière a™'1.
Je suppose alors que b\ fasse partie de ah-, et ne fasse partie d'aucune variété a™, où m <^ h. La variété a. existe toujours et l'on a h^.q; de plus, la variété ah, est unique, c'est-à-dire que b\ ne peut faire partie à la fois de deux variétés différentes ah et a\.
Si donc je conviens de ranger dans une même classe toutes les variétés b\ , qui font .partie de la variété a, , sans faire partie d'aucune des variétés a™} où m <[ h, toute variété b\ fera partie d'une classe et d'une seule.
Je pourrai alors représenter b\ par une notation à quatre indices
l'indice q indique le nombre des dimensions de b\\ les indices h et ;' indiquent que b\ fait partie de la classe a.; et l'indice h sert à distinguer les unes des autres les dirTér entes variétés d'une même classe. On a h > q.
Nous aurons, alors, pour définir le polyèdre V et sa subdivision : i° Les congruences (3, q), relatives au polyèdre V, que j'écrirai :
(3, q} i) a\^^i\.ay\
2° Les équations qui donnent la subdivision de la variété a\ : (1, q, ï) aqi==J B(q, q, i, k).
30 Les congruences analogues aux congruences (3), mais relatives
comi'I.i'.mi.nt \ l'a:-; au polyèdre V; je les écrirai :
(2, q, h, j, k) BOh b, y, k)=*Z.ZB(q - i, //, /',
Les £ sont des nombres égaux à ±1 i , <m à '<; ils dépendent des sept indices </, /;, y, k, //, j', le', de sortJ que je les écrirai, quand cela sera nécessaire, sous la forme :
Ç& /;, /, fe, //, y', *').
Sous le signe £, les indices //, ;', fe' peuvent prendre toutes les valeurs. Observons, cependant, que les BÇq — i), qui serve.. t de frontière a B(q, h, y, k), doivent, comme B(q, h, j, k), faire partie de ah ; mais pourront faire partie d'autres variétés fll d'un nombre moindre de dimensions, mais faisant partie de a\ On aura donc
fe'^Jb, h'^q — i.
D'ailleurs si /?' = h, on aura y' = y.
Pour que les relations (i), (2), (3) puissent définir une véritable subdivision, elles doivent satisfaire à certaines conditions. Les relations (1, q, i), (3, q, i) donnent
Si dans le premier membre je remplace £((7, y, 1, À-) par sa valeur, tirée de (2, #, q, i, k), et rt?1 par sa valeur tirée de (1, q — 1, ;'), les deux membres devront devenir identique; voilà une première condition, qui est évidente; elle n'est d'ailleurs pas suffisante.
Influence de la subdivision sur les nombres de Jietti
réduits.
Soit 2-*B(q, b, j, k) une combinaison des variétés i?, qui représente une variété fermée à q dimensions, de telle sorte que l'on
20 H. PO INC ARE.
ait, avec nos notations,
(1) Z«5fo h, ;, k) = 0, (h^q)
Parmi les variétés b\ qui figurent dans le premier membre de (i), réunissons celles qui appartiennent à une même classe. Soit
SaB(q, h, j, h)
l'ensemble de celles qui appartiennent à la classe ah ; le signe de sommation S signifie, donc, qu'on ne prend que les variétés d'une même classe, tandis que le signe ^ signifie qu'on les prend toutes. On aura alors:
(2) SxB(q, h, j, k) slM(î - I, V, j', n
c'est-à-dire que la variété à q — i dimensions ^$B(q — i,h', j', k') forme la frontière complète de la variété à q dimensions
Les variétés àK doivent appartenir à la frontière de a'., ou se confondre avec ah\ en effet, B(q — i, h', j', k') appartient à a?'., et, d'autre part, à l'une des B(q, h, j, F), qui fait lui-même partie de a1}, si donc c& ne faisait pas partie de ah., B(q — i, //,/', &') ferait partie d'une variété a™, partie commune à ah. et a1'-',, et qui aurait moins de h' dimensions. Cela est contraire à la définition que nous avons donnée des classes.
D'autre part ah.', ne peut pas se confondre avec ah-.
Soit, en effet,
S^Bfa hs, ]\, &J = ^*B(q, h, j, k) — S*B(q, h, j, k)
l'ensemble des variétés qui figurent dans le premier membre de (i), et qui n'appartiennent pas à la classe ah. ; on aura évidemment :
st*tB(q> *,« L> K) ^ -iRj - 1, v, y, n
COMPLÉMENT \ r/v. 21
Donc B(q — I, //, j', k') doit faire partie à la fois de tf* et de l'une des B(q, hx , /, , kt), et, par conséquent, de l'une des a)\ , différentes de a1'. Si doue a.', se confondait avec
B(q- i, //,;', lc') = B(q-i, h, j, k)
devrait appartenir à une variété </", partie commune à ah et a)\. De deux choses, l'une : ou bien a. ne ferait pas partie de ar\ , et alors on aurait encore m < /;, ce qui serait encore contraire à la définition des classes; ou bien a. ferait partie de a)\ , et alors on aurait bt > h. Supposons que j'ai choisi la classe a., qui correspond au plus g nombre /;. Alors on ne pourra pas avoir bt ^> /;, et a/, devra appartenir à la frontière de a1'-.
La congruence (2) entraîne l'homologie
comme, d'autre part, a, est simplement connexe et que toutes le riétés B(q — 1, //, /', k') sont situées sur la frontière de a . premier membre de (3), représentant une variété fermée à q — 1 dimensions, située sur cette frontière, formera la frontière complète d'une variété à q dimensions
XyB(q, b",j", k"),
également située sur la frontière de a.. (Il y aurait exception si l'on avait /; = </). De sorte qu'on aura la congruence
(4) lM(ï-i, h', /', *') sIïD (.7, //', /", *")■
D'ailleurs, comme B(q, h", j", k") est sur la frontière de a en sera de même de arZ\ car si B(q> h", j", k") fait partie à la fois de a'..' et d'une variété a'.- , faisant partie de la frontière de a . bien a'p ne fait pas partie de a£, et alors B devrait taire partie de a™, où m < h", et nous avons vu que cela était impossible.
Ï2 H. POÏNCARÈ.
On a donc
Les congruences (2) et (4) donnent
S*B(q, h,j, k)^J lB(q,h",j", k"),
et, comme toutes les variétés qui figurent dans cette congruence, font partie de a., ou de sa frontière, comme, d'autre part, ah. est simplement connexe, on aura l'homologie
SxB(q, h, ;, k)^XlB(q, h",j", F)-
On peut, donc, remplacer, dans le premier membre de (1), l'ensemble des termes SaBÇq, h, j, 1ï) par l'ensemble des termes
Si on opère de même pour toutes les classes correspondantes à une même valeur de /;, la plus grande de toutes, on aura remplacé le premier membre de (1) par
ZMfo K> U* K\
où la plus grande valeur de h2 sera plus petite que la plus grande valeur de h. On aura, d'ailleurs, l'homologie
Za5(?> h h K) ™ Z^-Sfe K> j\» h)-
En continuant de la sorte, on pourra diminuer encore la plus grande valeur de h. On ne sera arrêté que quand on aura partout h = q.
On peut donc, finalement, remplacer le premier membre de (1) par :
COMF'Ll'.MI.*;; 2j
et on aura d'ailleurs :
(5) !**(?, h, i; k)< ■ 1/ B - fi/#> I
Cela posé, dans le premier membre de (V>) prenons les COQ* gruences qui appartiennent à une classe déterminé it :
Nous aurons :
(7) 5a0 5 fo , ft ;0 , k0) slM(î-^;. /'.'. . * )•
Nous verrions, comme plus haut, que a? doit taire partie de 1a frontière de rtj0 , d'où b0 < V (et, comme b'0 X 7 — 1 , on aura
Soit alors :
l'équation (1, q, yo), qui définit la subdivision de la variété a , et soient BÇq, q, jo, 1) et B(q, q, jo, 2) deux variétés, figurant dans le second membre de (S); je dis qu'elles devront figurer dans le premier membre de (6) avec le même coefficient ao.
Supposons, d'abord, que ces deux variétés soient limitrophes; parmi les variétés à q — 1 dimensions qui leur serviront de frontière commune, il y en aura, au moins, une qui n'appartiendra pas à la frontière de ajo, qui fera, par conséquent, partie de la classe a^0.
Soit B(q — 1, q, j0, 1) cette variété: elle n'appartiendra pas à aucune autre des variétés B(q, q, ;0, À).
Soit alors
G?) B (g, q,jo, 2)^£M-
les congruences (2, q, q, jo, 1), (2, q, q, jo, 2), (2, q, q, ;o, &), qui nous font connaître les frontières des variétés B (q, q, /o). Voyons avec quel coefficient £ la variété B(q — 1, q, jo, 1) figurera dans ces congruences.
D'après ce que nous venons de voir, ce sera avec le coefficient -j- 1 dans la première, avec le coefficient — 1 dans la seconde, avec le coefficient o dans les autres.
Soient donc a.i et a2 les valeurs des coefficients ao, correspondantes aux deux variétés B(q, q, j0, 1) et B(q, q, jo, 2).
La combinaison des congruences (9) nous fournira une congruence
(10) Sx0B(q, q,j0, Usi^,
qui devra être identique à (7), et le coefficient s, avec lequel figurera B(q — 1, q, j0, 1) dans le second membre de (10), sera évidemment a.t — a.,. Mais B(q — 1, q, jo, 1) ne peut pas figurer dans le second membre de (7), puisque nous avons vu que dans ce second membre on doit avoir h'0 = q — 1. Donc on doit avoir a.i — a2 = 0.
Ainsi les deux variétés B (q, q, j0, 1 ) et B (q, q, j0 , 2) devront avoir même coefficient ao, si elles sont limitrophes. Cela sera encore vrai, si elles ne le sont pas, parce que aqj0 étant d'un seul tenant, on pourra passer d'une de ces variétés à l'autre par une suite d'autres variétés analogues, chacune d'elles étant limitrophe de celle qui la précède.
Donc le coefficient a0 est le même pour toutes nos variétés. D'où :
s«0#(?, h h> h) = aoZ5fe v> /o> h) = ao4>-
La congruence (6) et l'homologie (5) peuvent donc s'écrire: (5bi0 I.«B(q,h,j, *)~2>„4,
Si un nombre quelconque de congruences de la forme (1) sont distinctes, c'est-à-dire si aucune combinaison linéaire de leurs premiers
COMl'J.l'.MI.M \ !.\\ / , -, ITL'S.
membres m'est pas homologue à o, je d i , .. seront également distinctes, et réciproquement
En effet la comparaison des relations (\ otre
que si l'on a
on aura également
et réciproquement.
11 résulte de là que si les a\ et les b\ sont simplement conne les nombres de Betti réduits sont les mêmes pour les deux polyèdres V et V.
Soit maintenant W une variété quelconque, fermée, à q dimensions, située sur V. On peut toujours construire un polyèdre /'', dérivé de V, au sens de la page loi de YAnalysis slUis, et tel que W soit une combinaison des b\.
Nous devons donc conclure que: si les a\ sont simplement connexes, les nombres de Betti réduits, relatifs au polyèdre V, sont identiques aux nombres de Betti proprement dits, de finis de la seconde mai lier e.
S vi.
Retour sur les démonstrations du § III.
Nous avons a revenir ici sur un point essentiel du raisonnement qui précède. J'ai dit plus haut qu'il n'y avait d'autre homologie que les homologies (9, </), obtenues au § 3. Cela n'est pas évident . ne serait pas même toujours vrai, si nous ne supposions pas k simplement connexes.
Démontrons-le d'abord pour un polyèdre P, dans l'espace à 4 dimensions.
Considérons un certain nombre de variétés •:•, ou «', appartenant à ce polyèdre; je les appellerai ses l\\ccs, de même que les a\ les a\ et les a] de ce polyèdre P pourront s'appeler ses cases, ses ai ses sommets.
26 H. PO INC ARE.
Supposons que l'on ait entre ces faces a] une homologie
Cette homologie signifie qu'il existe une variété à 3 dimensions, F, faisant partie de P, et admettant /a) comme frontière complète.
Je dis que V se compose d'un certain nombre de cases de P.
Si, en effet, un point d'une case appartient à F, il en sera de même de tout autre point de cette case, car on peut aller du premier point au second, sans rencontrer aucune face et, par conséquent, sans rencontrer la frontière de V et sans sortir de V.
Le théorème est donc évident en ce qui concerne les polyèdres de l'espace à 4 dimensions et les homologies entre les faces.
Soit maintenant une homologie entre les arêtes :
«NJ 0,
les b1 étant un cetain nombre d'arêtes a\. Cela veut dire qu'il existe une variété à 2 dimensions, V, dont 2-.bl est la frontière 'complète.
Je désignerai par VÇa'l) l'ensemble des points communs à V et à a).
Les V(a\) seront des variétés à 2 dimensions, dont la frontière sera formée soit par quelques-unes des arêtes bl , soit par les F(a2), les a2, étant les faces qui servent de frontière à la case a\. On ne peut, en effet, sortir de V (a?) qu'en sortant de V par sa frontière, c'està-dire, en traversant une des b1 , ou qu'en sortant de a] par sa frontière, c'est-à-dire en traversant une face a2, , et, comme on reste sur V, en traversant une des lignes V(a2\
La variété totale V est formée de l'ensemble des V{a}^).
Considérons maintenant V(a2^)\ nous devons distinguer deux cas :
i° ou bien aucune des arêtes bl n'appartient à a2. Nous ne pourrons alors sortir de V(a2), qu'en sortant de a2, c'est-à-dire en traversant une des arêtes a1.; la frontière de V(a2} est donc formée par les V(a^).
r.oMi'i.i'.Mi vi \r.vsts 01 27
2" OU bien une (ou plusieurs) arête bt t'ait partie de a]\ dai. cas clic fera également partie tic V{a il pourra se faire cjuc
V \a2) se compose, outre l'arête btl d'autres lignes; ces lignes auront pour frontières des points V(al), <>u des points situés sur br ( points situés sur bt, et où les autrjs ligne, dont
viennent se terminer sur l'arête />, , seront ce que j'appellerai des points iiodaux.
Dans tous les cas V (ji]) sera une ligne ou un ensemble delignes; si, en effet, V Ça2;) était une surface, c'est que a*, ou une portion de cette face, ferait partie de V. Mais j'ai le droit de déformer V, pourvu que je ne change pas sa frontière ^bt; je puis toujours, par une déformation infiniment petite, éviter qu'une région de partie de y.
Pour la même raison je puis toujours supposer que y(a\) se réduit à un ou plusieurs points, sauf si a] est l'une des arêtes bt , auquel cas y (a]) sera cette arête elle-même.
Cela posé, je puis déformer F:
i° de manière que tous les y {a]) [autres que F (/>,)] soient des sommets. Soit a0 un sommet de a]. Soit M l'un des points dont se compose y(a\)\ autour du point M et sur V décrivons une petite courbe fermée C. Soit K l'aire infiniment petite découpée sur V par cette courbe C. Construisons une sorte de manchon, infiniment délié, entourant l'arête a\ et passant par C. Par le sommet a° je mène une surface quelconque S; elle viendra découper sur le manchon une courbe fermée très petite C. Soit K' la portion de la surface S limitée par C; soit H la surface du manchon comprise entre C et C . On figurera ainsi une sorte de tambour, dont H sera la surface latérale, À' et K' les deux bases.
Considérons alors la variété
Cette variété aura même frontière que V\ mais elle ne cou; plus a) en M, puisqu'on a supprimé la portion À' de T, où se trouvait ce point M. En revanche, H ne coupera pas l'arête a), et À'' coupera cette arête en a°.
En opérant de même sur tous les points d'intersection de V et de a), on amènerait tous ces points à coincider avec a°.
2° de manière que tous les points nodaux soient des sommets. Soit, en effet, a] une face passant par l'arête bl ; l'intersection de
V et a) comprendra, outre b1 , d'autres lignes; soit c l'une de ces lignes, venant se terminer sur b1 en un point nodal D. Soient a° et a°k les deux sommets de bs. Par b1 je fais passer une surface 5, faisant partie de P et ne coupant pas a]. Comme a°. et a°k sont sur la frontière de V, je joins ces deux points par une ligne L, située sur V et s'êcartant peu de bx. Cette ligne s'écartant peu de bl} je puis mener par L une autre surface 5', qui ne passera pas par bx , mais qui coupera 5 suivant une ligne L', très peu différente de br Ces trois lignes L, bI et L' auront mêmes extrémités a° et a\.
Soit V1 la portion de V, comprise entre L et b1 ; soit 5x la portion de S, comprise entre L' et blt et S2 la portion de S', comprise entre L et U.
Je remplace V par
V a mêmes frontières que V, mais V' (a)) ne présente plus de points nodaux, en dehors de a0 et a\\ car si une ligne analogue à c venait aboutir à un point nodal, situé entre a° et a°h , la portion de cette ligne c, voisine de ce point nodal, devrait se trouver sur Si , ce qui est impossible, puisque 5 ne coupe pas a\.
En résumé : nous pouvons toujours supposer que les V{a%^) sont des lignes, dont les extrémités sont des sommets de a\.
Soit alors L une des lignes, dont se compose V Ça]), ayant pour extrémités deux sommets a° et a°h de a*. On peut aller de a° à a°, en suivant le périmètre de a] ; soit ^ alm l'ensemble des arêtes de a) , comprises entre a° et a°k. Comme la face a] est supposée simplement connexe, la ligne L la divisera en deux parties. Soit Q l'une de ces parties, comprise entre L et / a[,.
Soient a> et a? les deux cases séparées par a\. Par les arêtes jT a)n je fais passer une surface 5, peu différente de la face a] et située toute entière dans la case a3 ; par les mêmes arêtes je fais passer une seconde
Ipd Ml .'.T À L'AN 29
surface S', peu différente de <i] et située dans la case tf^; ces deux surfaces S et .S' couperont / , suivant deu) / i dif-
férentes de L, et avant pour extrén ités a'' et S, la portion
de S comprise entre Aflj, et /. ; OU .Y la poition de S' OOmprtte entre / d\. et L \ soit V\ la portion dl /' comprise entre c'est sur V t que se trouvera /.. Soit maintenant
r = v - vt + s, + s;.
F' a mêmes frontières que F; F' ne passe plus par L, mais en revanche passe pat les arêtes / </',.
En opérant de la même manière pour toutes les lignes telles que L, on voit qu'on peut toujours supposer que tous les / (w'J se réduisent à des combinaisons d'arêtes.
Comme les frontières de V {a]) sont ou des bt ou des /'(</'), on voit que les frontières des V(a)') sont des combinaisons d'arêtes de P, et, bien entendu, toutes ces arêtes doivent appartenir a a]. Ainsi donc VÇa)) est une surface simplement ou multiplement connexe, limitée par une ou plusieurs lignes fermées, qui, elles-mêmes, sont des combinaisons d'arêtes de a).
Comme la case a\ est simplement connexe, ces lignes fers subdiviseront la surlace de cette case en un certain nombre de régions, et comme ces lignes fermées sont des combinaisons d'arêtes de ces régions seront des combinaisons des faces de d\.
On pourra toujours trouver une combinaison de ces régions, qui aura mêmes frontières que VCaf), Supposons, par exemple, que la frontière de V(a}^) se compose de trois lignes fermées L, L,, L.\ la ligne L divisera la sur lace de a] en deux régions R et R'; les lignes LI et L2 diviseront de même cette surface en deux régions Rt et Ri , ou R^ et R2. Je suppose qu'en parcourant L dans un certain sens, on ait à sa gauche V(n^, et R et R' à sa droite; je suppose de même qu'en parcourant Lt et L, dans un sens convenable, en ait à sa gauche Jr(a]) et Rti ou V(aQ et R2.
Alors la variété R -j- Rt -j- R, aura même frontière que /*(-0: on pourra donc remplacer VÇaQ par R -j- Rt -f- R2.
30 H. POtNCARE.
En opérant de la même manière sur tous les V(a]), on aura remplacé V par une autre variété, qui aura même frontière Z-b1, et qui sera une combinaison de faces de P.
Le théorème est donc démontré en ce qui concerne les polyèdres de l'espace à 4 dimensions et les homologies entre les arêtes.
On le démontrerait de même pour un polyèdre quelconque.
S vu.
Po lyèdre réc iproque.
Soit P un polyèdre dans l'espace à 4 dimensions; ce polyèdre sera subdivisé en un certain nombre de variétés v , que j'appellerai ses cases, et que je désignerai par a]. Ces cases seront séparées les unes des autres par des variétés vz ou a], que j'appellerai les faces; ces faces auront pour frontières des variétés vi , ou a) , que j'appellerai les arêtes, et les extrémités des arêtes seront des points vo ou #°, que j'appellerai les sommets.
Je supposerai, bien entendu, que les cases et les faces sont simplement connexes.
Marquons, à l'intérieur de chaque case a), un point P(aV); à l'intérieur de chaque face a], un point P(a2^); sur chaque arête a), un point P(a1^); chaque arête se trouvera ainsi partagée en deux parties par le point P (adjoignons par des lignes le point PÇa]) à chacun des sommets de la face a) et à chacun des points P(V), correspondant aux diverses arêtes a1, de la face a2. Toutes ces lignes devront être tracées sur la face a2. Cette face sera ainsi partagée en triangles, et le nombre de ces triangles sera double du nombre des arêtes de a2. Nous ferons de même pour toutes les autres faces.
Considérons maintenant une case a]; décomposons en triangles T toutes les faces a2 de cette case, ainsi que nous venons de le dire. Construisons des triangles curvilignes, ayant pour sommet commun le point P(^3j) et pour bases les différents côtés des différents triangles T. La case a] sera ainsi décomposée en tétraèdres, ayant P(a$ pour sommet commun et pour bases les différents triangles T.
■i-i.r mi. m . : 31
Nous distin de
no, tétraèdres) :
celles de la I ' SOIte JO ommet n[ i un ;
cliaque arête sera ainsi formée de d le la 1 "Tte;
celles de l.i 2* sorte joindront un p
