J2 H. POIX C A RÉ
De même que de la congruence (5) des homologies (2ter), qui sont de la forme (2), nous avons déduit l'homologie (6); de même de la congruence (jrLi) et d'homologies de la forme (1), nous pourrons déduire l'homologie :
A chaque terme du second membre de (7) correspond une homologie (6bL=). En les additionnant, on trouvera :
d'où:
(8) I^ + II^o,
homologie de la forme (4), qui se déduit, comme on le voit, des homologies (1) et (2). c. o. f. d.
On peut se demander pourquoi j'ai jugé nécessaire de revenir sur un théorème déjà démontré au ~ 7- On le comprendra si on se rend compte de la nature géométrique, pour ainsi dire, de la démonstration du § 7. La présente démonstration a, au contraire, un caractère arithmétique; elle n'invoque que des propriétés des schémas définis au £ 2, et des tableaux construits au Ç 8; et elle conserverait sa valeur alors même qu'à ces schémas et à ces tableaux ne correspondrait aucun polyèdre.
Qu'avons-nous supposé en effet ? C'est que si oc* , oc* , oc* sont les nombres des sommets, des arêtes et des faces appartenant à une même case, et si '- . ont les nombres des cases, des faces et
des arêtes auxquelles appartient un même sommet, on a :
et en outre que deux sommets quelconques a° et a° sont liés par l'homologie :
d; ~ 4 Or on peut reconnaître si un sommet appartient à une face, par
GOMM.LJ4EVT \LYSS STUS.
exemple, en appliquant au tableau du S 8 des règles puiuncm aritb-
Jtne ma si une
logic tell. a lieu.
Pmmibilit ''■
Tout ce qui "été quelconque peut être
subdivisée es s simple: -e manière à former on
polyèdre P, à p os, pour lequel les
a° sont toutes simplemer.: . temple, toute variété à trois
dimensions pou: .s simplement conne
.5 les unes des autres pc: mplemen: connexes.
Cest cela qu'il nous re>:. ntrer, «.: .moostration
que je vais donner. Je : je vais me utt
;on i former un po- .
Je supposerai que le théorème :mr ihk
— i dîmensk os, et je me s de
dimensions.
Noos présenta s h. forme
suivante, qui comprendra les s donnée
Noos aurons les équations et les inégalités
îs inégalitt
lùr .1, non :'. :ia-
-que j'appelle] . ...,»..
Deux de ces variétés seront dites eontigùes, si elles ont une partie commune, et je puis supposer que l'on peut passer d'un point quelconque de l'une de ces variétés à un point quelconque d'une autre quelconque d'entre elles, sans sortir de l'ensemble de ces variétés. Cet ensemble constituera la variété que j'appellerai V, et qu'il s'agissait de définir.
Je supposerai que cette variété V est bilatère. •
C'est évidemment là la façon la plus générale possible de définir une variété.
Considérons la variété partielle vl3 définie par les équations (i).
D'après le théorème des fonctions implicites, on pourra satisfaire aux équations
A = o, en faisant
les y étant des fonctions holomorphes des ^; mais les séries il pourront ne pas converger pour tous les points de la variété vt.
Les conditions de convergence seront certaines inégalités :
Quand on remplacera les y en fonctions des ^, les relations :
deviendront :
Alors l'ensemble des relations
(ibis) xi = %, ?;>o, »lt>0
définira une certaine variété v\ , de telle façon que l'ensemble des variétés analogues à v reproduira la variété vv
COMPLÉMENT À I.'.VNAI , si . ;
Nous sommes ainsi ramenés à la seconde définition de YAnalysis situs.
Cela pose, soit v't une autre variété v\ satisfaisant aux conditions
suivantes : clic sera tout entière contenue dans v\ ; elle comprendra tous les points de v\ qui ne lui sont pas communs avec une rictés contigùes; par conséquent la frontière complète de I -out
entière dans la partie commune à v\ et aux variétés contL' A chacune des variétés
dont l'ensemble constitue V, correspondra ainsi une variété
satisfaisant aux conditions que je viens d'énoncer; et il est clair qu'on peut s'arranger de telle façon que tout point de V appartienne à l'une des variétés v ", et à une seule, à moins qu'il ne soit sur la frontière de l'une des variétés v", auquel cas il devra appartenir, en outre, à la frontière au moins d'une autre variété ;".
La variété Vs ainsi subdivisée en variétés v", constitue un polv. P, au sens donné à ce mot au § 2. Mais ce polvèdre ne convient pas encore à la question, car nous ne pouvons savoir si les varM sont des tétraèdres généralisés, ou même sont simplement connexe
Considérons la variété v"x , et soit :
m = °> lz = °» - • • > ïp = °
un point intérieur à cette variété; considérons la variété à une dimension:
où les a sont des constantes, et où nous ferons varier / depuis o jusqu'à -\- oc. C'est ce que j'appellerai un rayon vecteur.
Chaque rayon vecteur rencontrera la frontière complète 1 un nombre impair de points; en effet, quand on suivra ce rayon, en
$6 H. P OIN C A RÉ.
faisant varier X de o à -j- co, on sortira de la variété v'x\ on pourra y rentrer ensuite et en sortir plusieurs fois, mais on finira toujours par en sortir pour n'y plus rentrer.
Il pourra se faire qu'un rayon vecteur rencontre la frontière de v'î en deux points confondus. Les rayons vecteurs qui satisfont à cette condition s'appelleront les rayons remarquables.
L'ensemble des rayons remarquables formera une ou plusieurs variétés à p — i dimensions, que j'appellerai les cônes remarquables.
Les intersections des cônes remarquables avec la frontière de v"x formeront une ou plusieurs variétés à p — 2 dimensions, que j'appellerai U, et ces variétés U partageront la frontière de v[ en régions que j'appellerai R.
Une région R ne peut être rencontrée par un rayon vecteur en plus d'un point; mais d'après ce que nous venons de voir, il peut se présenter deux cas : quand on suit ce rayon vecteur, en faisant croître / de 0 à 00, on peut, au moment où on rencontre R, sortir de v'[ ou y rentrer. Si le premier cas, par exemple, se présente pour un des vecteurs qui rencontrent R, il se présentera pour tous les vecteurs qui rencontrent R.
D'où la distinction des régions R en régions de la ière sorte, que les rayons vecteurs rencontrent en sortant de v\ , et en régions de la 2de sorte, que les rayons vecteurs rencontrent en rentrant dans tT.
Les régions R étant des variétés à p — 1 dimensions pourront, d'après l'hypothèse faite au début, être subdivisées en tétraèdres généralisés.
Supposons, pour fixer les idées, qu'un rayon vecteur rencontre trois fois la frontière de v"t , qu'il rencontre successivement les régions Ri9 R2, R ; Rx et R, seront de la ière sorte, R2 sera de la 2de sorte.
Subdivisons Rx et R, en tétraèdres généralisés à p — 1 dimensions.
Si T1 est une des subdivisions de Rl} menons tous les rayons vecteurs qui passent par les différents points de Tx , et conservons la partie de ces rayons vecteurs qui est comprise entre le point ^. = o et le rayon RL (partie qui est intérieure à z/'); l'ensemble de ces vecteurs formera un tétraèdre généralisé à p dimensions, ayant pour sommet le point ^. = o, et pour base le tétraèdre généralisé à p — 1 dimensions r,.
C0HPLÉM1
Soit maintenant T} une des subdivisions Je À',; menon tous les rayons vecteurs qui passent par les différents poi conservons la partie de ces rayons vecteur, qui est COmjM A*.
e R (partie qui est intérieure à v'j. Cet ensemble forme un.
à p — i dimensions que l'on pourrait appeler un tronc de tétraèdre généralise, dont les deux bases sont T. et un tétraèdre générale p — I dimensions, que j'appellerai T2 et qui fera partie de A' en d'autres termes, la différence de deux tétraèdres généralisés, avant pour sommet commun le point ~ . = o et pour bases l'un 7 , l'autre T2.
Ce tronc de tétraèdre généralisé pourra a son tour être paren p tétraèdres généralisés, de même que dans le théorème classique, le tronc de pyramide triangulaire se partage en trois pvramides triangulaires.
Finalement v"t sera partagé en tétraèdres général!
Une difficulté subsiste cependant; on peut subdiviser comme vi les autres variétés analogues v"2, v" , ... ; considérons la subdivision de en tétraèdres généralisés T, et celle de v"2 en tétraèdres généralisés T2. La frontière commune de v"s et v"2 se trouvera subdivisée d'une part en tétraèdres généralisés à p — i dimensions t, , qui seront les faces des r, , et d'autres part en tétraèdres généralisés à p — i dimensions fa, qui seront les faces des T2; mais il n'est pas évident que : su b divisions coïncident.
Considérons alors la partie commune a. l'un des t et à l'un des t2 ; je pourrai, d'après l'hypothèse faite au début, la subdiviser en tétraèdres généralisés à p — i dimensions a. Ainsi chacun des tétraèdres Tj et chacun des tétraèdres t, sera subdivisé en tétraèdres g.
Soit maintenant rj une des variétés à q dimensions appar tx (j'emploie ici le mot appartenir dans le même sens que quand je dis que les faces, les arêtes et les sommets d'un tétraèdre ordixu appartiennent a ce tétraèdre, ou quand je disais au § 2 que les var\ a\ appartenaient au polyèdre P). Soit de même r, une des va q dimensions appartenant à t,. Ces deux variétés rj t tétraèdres généralisés, puisque d'après la définition du tétraèdn ralisé, toute variété qui appartient a un tétraèdre généralisé, est elle-même un tétraèdre généralisé. Alors v et V se trouveront subdivisés en
traèdres généralisés à q dimensions cr, qui appartiendront aux tétraèdres. k p — 1 dimensions s.
Cela à la rigueur pourrait nous suffire; nos variétés v"l9 etc., seraient partagées en tétraèdres généralisés à p dimensions Tp, leurs frontières en tétraèdres à p — 1 dimensions Tp~\ etc.; seulement ces tétraèdres Tp~l ne seraient pas ceux qui appartiennent aux tétraèdres Tpy. cela en seraient seulement des subdivisions.
Mais nous pouvons aller plus loin.
Considérons l'un des tétraèdres à p dimensions Tp dans lequel v'x est subdivisé. Je rappelle qu'on les a obtenus en subdivisant les troncs de tétraèdres généralisés, dont il a été question plus haut. Par conséquent Tp a tous ses sommets sur la frontière de v'[ (il y aurait exception pour les tétraèdres dont un sommet est au point ^. = 0, mais pour ceux-là il n'y a pas de difficulté).
Supposons, par exemple, que les points communs à Tp et à la région que j'ai appelée plus haut R^ forment un tétraèdre généralisé à q dimensions Tq appartenant à Tp, et que les points communs à Tp et à la région R2 forment un tétraèdre kp — q — 1 dimensions Tp~q~ï> appartenant à Tp.
Les tétraèdres Tq et Tp~q~l sont analogues aux tétraèdres xt traités plus haut; ils peuvent donc être subdivisés en tétraèdres analogues à ceux que j'ai appelés cr'; soient S\, S? ,., les tétraèdres analogues à cr', qui sont des subdivisions de Tq; soient Sp~q~\ Sp~q~\ . . . les tétraèdres analogues à cr' qui sont des subdivisions de Tp~q~\ Je dis qu'on peut subdiviser Tp en tétraèdres à p dimensions de telle façon que les variétés S2 , Sq2 , . . . , S^'1, Sp~q~\ , . . appartiennent à Tp.
Pour le démontrer je suppose d'abord que Tp soit un tétraèdre rectiligne (cfr. § 2 in fine). On sait qu'un tétraèdre rectiligne est entièrement défini quand on connaît ses p -j- 1 sommets. Alors Tp est le tétraèdre rectiligne qui a pour sommets ceux de Tq et de Tp~q~\
Supposons que Tq se décompose en g tétraèdres partiels :
sq , sq , . . . , sq
et Tp~q~l en h tétraèdres partiels :
rp~q-l Cp-q-I Çp-q-l
COMPLÉMENT À I.'av a
On vérifiera alors que T: se décOD
qui sont ceux dont les sommets sont ceux de
Sj et S; '- (t=i, 2, ..., r; *=i, j,
Si le tétraèdre T> n'est pas rectiligne, le résultat subsiste pu: un tétraèdre quelconque est homéomorphe a un tétraèdre rectil;
Ainsi notre variété est décomposée en tétraèdres à p dimen -,'. de façon à former un polyèdre tel que toute variété appartenant à ce polyèdre, appartient à l'un de ces tétraèdres.
On est ainsi débarrassé des derniers doutes qui pouvaient subsister au sujet de la possibilité de subdiviser une variété V de façon à for un polyèdre P, pour lequel tous les a'I soient simplement conne
Paris, mars 1899.
RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO
Dl PALERMO
Direttore : Prof. G. B. G u c c i a.
A partire da gennajo 1888 questa raccolta matematica si pubblica per fascicoli bimestrali in-8° grande, caratteri elzeviri. 6 fascicoli formano ogni anno un volume di circa 300 pagine, che comprende due parti: ia Memorie e Comunicazioni, 2a Biblioteca Matematica. Al volume vanno annessi gl'indici e la copertina. Prezzo del Tomo I (1884-1887) in-8° grande, di pagine 414 . . . L. 15 » » » II (1888) in-8° grande, di pagine 319 (due parti) . L. 15
» » » III (1889) in-8° grande, di pagine 352 (due parti) . L. 15
» » » IV (1890) in-8° grande, di pagine 378 (due parti) . L. 15
» » » V (1891) in-8° grande, di pagine 404 (due parti) . L. 15
» » » VI (1892) in-8° grande, di pagine 374 (due parti) . L. 15 » » » VII (1893) in-8° grande, di pagine 400 (due parti) . L. 15 » » » VIII (1894) in-8° grande, di pagine 434 (due parti) . L. 15 » » » IX (1895) in-8° grande, di pagine 385 (due parti) . L. 15
» » » X (1896) in-8° grande, di pagine 383 (due parti) . L. 15
[Con VIndice générale délie Memorie e Comunicazioni contenute nella Parte Prima dei tomi I-X] . L. 15 » » » XI (1897) in-8° grande, di pagine 364 (due parti) . L. 15
» » » XII (1898) in-8° grande, di pagine 408 (due parti) . L. 15. È aperta l'associazione pel Tomo XIII (1899) al prezzo di L. 15, franco di porto in tutti gli Stati âe.ÏÏ Unione Générale Postale. Inviare vaglia postale al
Tesoriere del Circolo Matematico, Via Ruggiero Settimo, 28, Palermo.
Tipografia Matematica, Via Villareale, n, Palermo. Os^) 16-V1-99.
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