V. sont fennecs, ce qui s'exprime par les

Vérifions d'abord que l'on aura

Z V', = 0, pourvu que l'on ait l'une des deux bomologies (*) :

Si en effet nous avons, par exemple, la seconde homolojie f2j, c'est qu'on aura :

'(. étant un coefficient ne dépendant que de y.

D'un autre côté, la première des congruences (1) peut se déduire de l'une des suivantes :

(3) *;«Z*î«ii.

d'où

Ta./;1 sTy«{K«|,

En égalant a zéro le coefficient de b°- , il vient successivement:

Z "■ sy,i = °> Z Z a, ï> B/,j = °> Z a: "i = °> c- Cl- F- D-

On raisonnerait de même si on avait la première homologie (2).

Je dis maintenant que si la seconde homologie (2) n'a pas lieu, on peut choisir les a; de telle façon que Yx reste fermée et cependant

que Za;ai ne s0lt Pas nu^-

En effet, dire que la seconde homologie (2) n'a pas lieu, c

(*) Or. Anal y si s situs, pag. 42.

dire qu'on ne peut pas trouver des nombres £ . tels que l'on ait :

Dire que V Y reste fermée, c'est dire que les a. sont assujettis aux conditions :

(5) H*i*ii = 0.

Or il est clair que si les <r/ ne satisfont pas à des égalités de la forme (4), l'équation linéaire 2 a. a'. = 0 sera distincte des équations (5); on pourra donc toujours trouver des nombres a. , qui satisfassent

aux équations (5) sans satisfaire à /a,17-; = Q-

Remarquons d'ailleurs que nous n'avons pas restreint la généralité en supposant que nos variétés Vx et V \ étaient des combinaisons des b\ et des a*, quelle que soit la variété V, dont la subdivision forme les polyèdres P et P ' . Quelles que soient les variétés V1 et V2 , nous pouvons toujours subdiviser V, de manière à former deux polyèdres réciproques P et P' tels que Vx soit une combinaison des arêtes du second, et V2 une combinaison des faces du premier.

Il faudrait voir comment le tableau (1) du § 8 et les tableaux analogues, peuvent nous permettre de déterminer les nombres de B e 1 1 i, tels que Betti les définit lui-même, et non plus les nombres de Betti définis de la seconde manière, c'est-à-dire ceux que nous avons considérés jusqu'à présent.

Considérons, par exemple, un tableau analogue au tableau (1), mais relatif aux arêtes du polyèdre P et à leurs relations avec les faces et les sommets. Considérons, en particulier, les colonnes de la 2de sorte et les signes de la ière sorte, où figurent les nombres s2 .. Soit T le tableau partiel ainsi obtenu. A l'aide de ce tableau on pourra former les congruences

d'où l'on déduit les homologies

Alors pour reconnaître si plusieurs lignes fermées, formées de

COMPLÏ •■;!.•. ! ■• '■'■■■■■

iîdmbinaisû :• destina i ta -n de la i dé/i

l «.lire, au fém de Be 1 1 i, il fau I,m]; olo • 1 1 1 1 • ci) combinant par aik.

soustraction ou multiplication, mais fan

Supposotis qu'on ait appliqué à i érie de

nvn sfdrmation ., • ] u ■ j'ai appelées arithmétiques au

Sbit Y-.\ le nombre qui, clans le tableau tra;. ligne de la rrc sorte et la /•' ■ colonne de i la variété qui correspond à la yinu ligne de la itri sorte de notre tableau transformé en vertu des conventions du § rès ce que nou .

avons vu dans Ce § 8, cette variété n'est qu'une combinaison a1-. Nous aurons alors les homologies

Ces homologies ne sont que des combinaisons des honioîo jies (6), que l'on peut obtenir sans ai-vision, et réciproquement on peut tirer des homologies (6) des homologies (6his) sans division, c'est là une conséquence du caractère arithmétique des transformations.

On peut donc, quand on veut s'assurer si deux lignes ten sont distinctes au sens de 15e tti, se servir des homologies (6 lieu des homologies (6).

Nous pouvons supposer qu'on s'est servi des transformations arithmétiques pour réduire le tableau, comme je l'ai expliqué au § 8, et par conséquent que Ç* . est nul : i° si / > y; 2° si ; ^> A\.

Le tableau réduit aux colonnes de la 2Jc sorte et aux lignes de la ï*" sorte prendra, par exemple, la forme suivante:

48 H. PO INC A RÉ.

J'ai supposé 6 lignes et 5 colonnes; j'ai supposé que l'un des nombres Q . est égal à zéro, de façon qu'une des colonnes du tableau transformé soit entièrement composée de zéros. J'ajoute que si d était égal à 1, les nombres h, k, 1, qui figurent à la même ligne, seraient nuls.

Cela posé, si d n'est pas égal à 1, les deux définitions des nombres de Betti ne coïncident pas, parce que l'on a l'homologie de <^>o, d'où l'on ne pourrait déduire l'homologie c <r^> o que par division. Si d — 1, on a h — k=l==o, et si c n'est pas égal à 1, on aura l'homologie c r, <^s o, et les deux définitions ne concorderont pas; et ainsi, de suite.

En résumé, pour que les deux définitions concordent, il faut et il suffit que le produit abcd soit égal à 1.

Pour interpréter ce résultat, revenons au tableau non transformé. Le produit abcd sera le plus grand commun diviseur de tous les déterminants obtenus en supprimant N2 — N lignes dans le tableau T, ■ pourvu que ces déterminants ne soient pas tous nuls (auquel cas il n'y aurait pas dans le tableau transformé de colonne exclusivement composée de zéros). Si les déterminants sont tous nuls, on en formera d'autres en supprimant dans le tableau T une colonne et À72 — AT, -j- 1 lignes; le produit abcd sera le plus grand commun diviseur de tous ces déterminants, s'ils ne sont pas tous nuls; et ainsi de suite.

Nous arrivons ainsi à la règle suivante.

Soit A le plus grand commun diviseur des déterminants obtenus en partant du tableau T et y supprimant p lignes et N2 — A7 -J- p colonnes. La condition nécessaire et suffisante pour que les deux définitions des nombres de Betti coïncident, c'est que le premier des A qui ne s'annule pas, soit égal à 1 (le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres égaux à zéro étant zéro par définition).

Supposons que la variété V1 = Z-^ib], considérée au début de ce paragraphe, ne peut pas être frontière d'une variété à deux dimensions, mais satisfait à l'homologie V1 <^> 0. En d'autres termes, l'homologie V x c-o o peut se déduire des homologies (6) par division, mais non pas sans division. Dans ce cas, on aura néanmoins :

DêmonsPr<ttion arithmétique de ffuu

tirs théorèmen thi , VII.

Voici une manière de former les homologies qui pourra être utile à connaître.

Soit b" un sommet du polyèdre P', situé à l'intérieur d'une ! a] du polyèdre P. Soit, d'autre part, a[ un sommet de 1\ appar: à la case a\. Joignons b" a flj par une ligne que j'appellerai simplement è?fl°.

Soit maintenant b\ une arête de P', dont les deux extrémités sont b" et //;j, de telle sorte que l'une des congruences (3) (cfr. $ 2) relatives à P' soit :

Soit, d'autre part, rt^ la face de P qui correspond à l'arête b\ de P', et a°k un des sommets de a*; nous aurons l'homologie :

(1) b\^a\b]-albl.

Soit flï une arête de P, dont les deux extrémités sont a° et a°hi de sorte que l'une des congruences (3) relatives à P soit :

ai = */ — av

Soit a£ l'une des cases de P auxquelles appartient a], et ^ le sommet correspondant de P'; on aura l'homologie :

(2) a] ~ b\a) - by*.

Je dis maintenant que toutes les homologies entre les a) peuvent se déduire des homologies (2).

En effet, soit a] une face quelconque de P, et soit :

JO H. POINCARE.

la congruence de la forme (3) qui lui correspond; on en déduit l'homologie :

et nous avons vu au § 6 que toutes les homologies entre les arêtes de P sont des combinaisons de celles qu'on obtient de la sorte.

Soit alors a1, l'une des arêtes de P qui figurent dans l'homologie (3), et soit:

Soit d'ailleurs a\ l'une des cases dont fait partie a]. Nous aurons l'homologie :

Si nous additionnons les homologies (2bis) qui sont de la forme (2), après les avoir multipliées par z\ . , tous les termes du second membre disparaîtront en vertu des relations (5) du § 2; on retrouverait donc l'homologie (3). c. q.. f. d.

On démontrerait de même que toutes les homologies entre les b\ peuvent se déduire des homologies (1).

Nous avons vu plus haut, au § 7, que si l'on a une congruence :

on peut trouver une autre congruence entre les arêtes de P':

et de telle façon qu'on ait l'homologie :

Je dis maintenant que cette homologie (4) peut être déduite des homologies (1) et (2).

Découpons, en effet, le premier membre de notre congruence 2 a] = o en un certain nombre de groupes, de telle façon que les

M'I.i'mi.w ;i

, d'un môme groupe appartiennent A une même y* a1, l'un de cas groupes; nous aurons la congruence:

a° et tf! étant les deux extrémités de la ligne formée par l'ensemble irêtes de ce groupe. Je suppose que toutes ces arêtes appartiennent A la case a\. Soit

l'une de ces arêtes; nous aurons l'homologie :

et on ajoutant toutes ces homologies, on trouverait :

Ajoutons d'une part toutes les homologies (6), d'autre part toutes les congruences (5), qui correspondent aux différents groupes. L'addition des congruences (5) doit nous donner la congruence X a\ = o; il s'en suit que si un sommet a°m figure dans une des congruences (5) avec le signe -j-, il devra figurer dans une autre avec le signe — . L'addition des homologies (6) nous donnera donc :

En écrivant cette relation je suppose que a°m figure dans deux des congruences (5), une fois avec le signe -\- dans la congruence qui correspond à la case a\ , et une fois avec le signe — dans la congruence qui correspond à la case a\

Observons maintenant que b\ et b° sont deux sommets de P', et que ces deux sommets appartiennent l'un et l'autre A la case On peut alors trouver une ligne formée d'arêtes de P', appartenant A cette case b>n, et allant de b°k A h*. Soit s b\ cette ligne; on aura