T= RT

d'où

d( =KxAdrX27rr^.

En considérant dr comme la différentielle de r, et en intégrant depuis r«-o jusqu'à r=Ri, on trouve

/2-K7rAxÇiRÎ = K7rARi5Ri,

expression que Ton peut ramener à la même forme que la précédente , par la condition tirée de la constance du volume

RÎ5A = îiRi5RiA,d'où enfin

3^ Travail radial ou travail nécessaire au raccourcissement du rayon.

Pour un anneau r

As=K(tf<î=KX27rrAx^(dr).

On peut écrire, comme précédemment,

ce qui conduit à

A3 = KX27rrAx^(rfr) = Kx27rrAxd.^r=-KX27rrA^(/r,

et, en intégrant entre les mêmes limites,

Ï3 = Kx ttA Ç^ R? = KttARi^R, ,

ce qui revient à

En faisant la somme de ces trois quantités, on trouve, enfin,

t^ti + t^ + h^-iKnRlSh.

Cest ce que Ton aurait pu écrire tout d'abord, en doublant, comme Tindiquc le théorème précédent, la valeur du travail de déformation longitudinale.

Pour un cylindre de rayon r, on aurait, de même,

et, pour Teffort à exercer sur toute Tétendue de la paroi latérale, effort qui revient, par mètre carré, à une pression

r S 2irrh

Pour que le cylindre se comprime sous cette action , la charge par mètre carré, sur toute Tétendue de la paroi extérieure, doit être égale au double du coefficient de résistance K.

COflfPARAISON ENTRE LES DEUX MODES DE DÉFORMATION.

Lorsque Teffort moteur est appliqué sur la base du cylindre,

la pression par mètre carré est égale à 2K, et Ton a ainsi, d'une

manière constante,

pour la mesure de la pression ou de la traction , par mètre carré , à exercer, dans chacun de ces deux cas, sur la base ou sur la paroi qui doit directement obéir à son action.

Dans les deux cas aussi , le travail de déformation est le même et égal à

ou

La charge totale ne sera pas la même dans ces différentes circonstances, et elle s^obiiendra en divisant successivement les différentes expressions de la valeiu* de i par la déformation linéaire perpendiculaire à la face d^action, ce qui donne, suivant les cas,

F==2K7rR?, r = 4K7rRiA.

Cette conclusion peut s'énoncer ainsi qu'il suit : un cylindre homogène, à base circulaire, constitue un solide qui jouit de la propriété de permettre à toutes les files de molécules qui le composent de se déformer absolument comme si elles étaient isolées; et le travail de déformation s'obtient en multipliant par K la somme du volume abandonné et du volume envahi par le cylindre.

Toutefois cette règle n'est pas générale, et nous rencontrerons des déformations auxquelles elle ne serait -pas applicable.

CAS où IL Y AURAIT UN£ RESISTANCE EXTERIEURE À CONSIDERER.

Si le paralléllpipède ou le cylindre que Ton veut déformer, en exerçant une pression sur sa base , était , sur toute Tétendue de sa paroi latérale, soumis à une pression p par mètre carré, il faudrait évidemment, pour déterminer la déformation, augmenter l'effort sur la base de manière à augmenter le travail moteur d'une quantité égale au travail supplémentaire provenant de la pression p, c'est-à-dire de p'x 2irrSrXh ou de />'x«^, si l'on désigne par €û la base et par S le raccourcissement du cylindre.

Ces deux expressions sont, en effets équivalentes, à cause de la constance des volumes, qui est alors exprimée par

w^=37rr5rxA.

Le travail total de déformation, y compris le travail résistant ,

serait alors

Ce qui montre que la force supplémentaire F\ qu'il faudrait appliquer sur la base pour vaincre la pression résistante p, serait

ou, en d^autres termes, qu'il faudrait exercer sur la base du cylindre une pression supplémentaire, par mètre carré, précisément égale à la pression résistante p\

Nos hypothèses reviennent ainsi à admettre que, déduction faite des résistances provenant de la déformation de la matière, les pressions extérieures se transmettraient, dans le cas particulier dont nous nous occupons, sur les parois latérales qui envelopperaient notre solide, avec la même intensité par mètre carré.