HYPOTHÈSES QUI SERVIRONT DE BASE AUX CALCULS

. Soit P un poinçon que nous voulons faire pénétrer dans le hloc cylindrique A , maintenu entre les deux plaques horizontales B et B'.

Il est évident que le poinçon ne pourra pénétrer dans le bloc qu'à la condition de chasser devant lui une partie de la face supérieure de ce bloc, et, dans l'hypothèse déjà vérifiée de la constance de h densité de la matière, cette pénétration ne pourra avoir lieu, dans le cas où il n'y aurait pas de contre-matrice, sans que le dia-» mètre du bloc augmente sur certains points.

Tout étant d'ailleurs symétrique autour de l'axe commun du bloc cylindrique et du poinçon, toutes les déformations devront être de même symétriques, chaque parallèle du bloc primitif ne pouvant se transformer dès lors qu'en une parallèle de plus grand ou de plus petit diamètre.

Nous supposerons que l'action du poinçon ne se fait pas sentir, dans le sens de sa marche, en tous les points du bloc, mais seu* lement dans une certaine région, que nous caractériserons par l'expression de zone dCaclivité,

Nous admettrons ensuite que cette zone d'activité s'étend latéralement jusqu'à la paroi cylindrique du bloc, mais qu'elle est limitée, à sa partie supérieure, par le plan qu'occupe à chaque instant le plan de la face inférieure du poinçon; qu'enfin elle est terminée, à sa partie inférieure, par un plan parallèle et situé à une distance / du premier. Cette distance /, mesurée parallèlement à l'axe, est ce que nous appellerons le rayon (Tactiviié.

Nous devons dire, pour la justification de ces deux hypothèses, que, d'une part, lorsque le poinçon est entré dans un bloc, il n'exerce plus une action nécessaire sur la partie de ce bloc qu'il a déjà traversée, et dans laquelle on peut concevoir qu'il continue à se déplacer sans frottement; et que, d'autre part, lorsque l'effort maximum n'est pas assez 'grand pour écraser le

bloc, rexpérience prouve que la pénétration du poinçon est souvent sans action sensible sur les dimensions de la base de ce bloc.

Il ne faudrait pas attacher une trop grande importance à l'hypothèse que nous faisons ainsi sur la hauteur de la zone d'activité. Nous l'avons admise seulement parce qu'elle facilitera nos calculs, et qu elle ne saurait, d'ailleurs, nous conduire à aucune erreur dans l'étude des déformations qui se produisent, sous le poinçon, dans l'espace cylindrique que ce poinçon occuperait s'il était complètement enfoncé, et que nous désignerons, comme dans nos précédents travaux sur l'écoulement des corps solides, sous le nom de cylindre ceniral.

Aucime déformation ne devant avoir lieu en dehors de la zone d'activité, c'est seulement pour les déplacements produits dans l'intérieur de cette zone qu'il faut admettre un mode défmi de déformation. C'est en nous plaçant à ce point de vue que, comme dans nos précédents Mémoires sur l'écoulement des corps solides, nous avons admis :

1° Qu'à l'intérieur du cylindre central, les verticales et les horizontales restent respectivement verticales et horizontales; il résulte nécessairement, de cette première hypothèse, que l'abaissement d'un point quelconque situé dans le cylindre central est proportionnel à sa distance au plan hypothétique qui hmite la zone d'activité à sa partie inférieure;

2° Qu'à fextérieur du cylindre central, les verticales et les horizontales restent encore verticales et horizontales, et que, dans cette région , les divers points ne se déplacent que suivant des rayons , sans aucunement éprouver d'abaissement parallèle à l'axe du bloc, pendant l'action du poinçon.

11 convient de faire remarquer que les deux hypothèses précédentes ne s'appliquent que dans les circonstances pour lesquelles la vitesse de chaque molécule est assez faible pour qu'on puisse admettre que les trajectoires ne se raccordent pas tangentiellement aux points de passage de l'une des régions dans l'autre.

Dans le cas du poinçonnage avec contre-matrice , nous admet-

Irons, au contraire, qu à partir de ce moment, où la face inférieure du poinçon ne sera plus Cjuk une dislance / de la base inférieure du bloc, il n'y aura plus de déformation, ni à l'extérieur du cylindre central, ni dans la débouchure, qui, se déplaçant tout entière dans l'intérieur du cylindre central , sera peu à peu détachée du bloc et rejetée au dehors par le poinçon.

' Tant que la distance de l'extrémité du poinçon à la base du bloc sera plus grande que /, la matière se déplacera dans la limite de la zone d'activité, comme si le solide de longueur / reposait sur le plan de sa base inférieure.

Dans le cas du poinçonnage sans contre-matrice, lorsque la face inférieure du poinçon se sera rapprochée de ia base inférieure du bloc, jusqu'à une distance moindre que l, le plan de cette base jouera alors le même rôle que le plan limite qui forme la base de notre zone d'activité, telle qu'elle a été définie ci-dessus.