DU CYLINDRE CENTRAL

Nous distinguerons, dans celte détermination, deux cas diffé* rents, suivant que la hauteur totale du bloc est plus petite ou plus* grande que le rayon d'activité.

Premier cas : H < /•

Il est évident que nous n'aurons, dans cette condition, à tenir aucun compte de la valeur /. Chaque partie de la hauteur comprise sous le poinçon (figure 58) entrera, pour sa part propor-

Figure 58.

tionnelle, dans la diminution de la hauteur; on aura simplement la proportionnalité suivante :

et cette même loi serait encore applicable à la limite pour laquelle on aurait /=H.

Pendant toute la durée du poinçonnage, les faces de joint entre les plaques, primitivement équidistantes, seraient encore équidis-

tantes sous le poinçon , mais elles seront plus rapprochées les unes des autres qu avant Topération, dans le même rapport que

Second céw : H > /.

Les relations sont alors plus complexes, et le phénomène doit présenter plusieurs phases différentes,

1^ Enfoncement du poinçon jusqu à la distance / de la base du bloc ou <C H — /.

En raison de Thypothèse énoncée à la page 70^1 les abaissements des divers points placés au-dessus du plan inférieur de la

Figure 69.

2one d^activité étant proportionnels aux hauteurs de ces points au-dessus de ce plan inférieur, on a nécessairement (figure Sq)

dy y-{h-l) dh~ l

ou /(fy=(7+/— A)<tt,

et, en posant y+l—h^z,

l{dz + dh)'^zdh.

Poinçonnage des mëUiix.

d'où

^dz dh

et, en intégrant,

c]ui, parle remplacement de zen fonction de y, conduit à

(.) \og'{-y + h) = \h+C,

la constante c devant être déterminée par la considération de la position occupée primitivement par la couche y.

S'il s'agit d'une couche qui était située à une distance de la face supérieure du bloc moindre que /, cette couche « dont nous voulons obtenir la transformée, était à la distance j^o de la base du bloc, quand A était égal à H.

L'équation précédente devra donc être satisfaite par j»jo et /i = H, ce qui donne

iog'(-y„+H)-|H+c.

et, en éliminante,

W log'55^ = J(H-A).

équation qui peut encore se mettre sous la forme

Dans cette partie du solide primitif, les couches primitivement équidistantes le seront encore, bien quelles^ se soient simultanément rapprochées les unes des autres.

S'il s'agit d'une couche située à une distance plus grande que / de la face supérieure du bloc, on reconnaît facilement que sa distance j^ à la face inférieure du bloc a dû rester constante tant que la hauteur existante sous le poinçon, est plus grande que jo + /•

POINÇONNAGE DES METAUX. 9t

Nous pourrons donc, quand cette dislance aura décru jusqu'à /, dans les conditions exprimées par Téquation (i), déterminer la valeur de la constante c, en écrivant que notre équation est satisfaite pour y=yo et h^yo+L

Ce qui donne successivement, en mettant pourc sa nouvelle valeur dans Téquation (i),

log'/=}(j^+/)+c et

ce qui revient à

h-y,-l (3) h-j=le—l

Au-dessous du plan éloigné d\me distance / de la position finale de Textrémité du poinçon, les parallèles ont seuls conservé entre eux leurs distances primitives.

2^ Enfoncement du poinçon égal à H — /.

Les équations déjà formulées s'appliquent alors de la manière suivante :

Si Ton considère, comme à la page précédente, une. couche placée primitivement à une distance moindre que / de ja face supérieure du bloc, il suffît de faire, dans Téquation (3), h^U ce qui donne

(4) ^-r=(H-jo)«~^'

Si, au contraire, on étudie une couche placée primitivement à une distance de la face supérieure plus grande que U il faudra faire la même substitution dans la formule (3), ce qui conduit à

3^ Enfoncement du poinçon plus grand que H — /.

On peut alors poser j'=jj, ce qui donne respectivement, pour

les deux positions examinées dlns le paragraphe jH^cédent,

(7) h^y=^he r

La disposition des couches qui résulte de ces équations sera ultérieurement comparée avec les résultats directs des expériences déjà décrites.